BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară Rezervă 2011 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Calculați log⁡7(3+2)+log⁡7(3−2)\log_7\left(3 + \sqrt{2}\right) + \log_7\left(3 - \sqrt{2}\right).

Rezolvare

1
3 puncte
log⁡7(3+2)+log⁡7(3−2)=log⁡7[(3+2)(3−2)]\log_7\left(3 + \sqrt{2}\right) + \log_7\left(3 - \sqrt{2}\right) = \log_7\left[\left(3 + \sqrt{2}\right)\left(3 - \sqrt{2}\right)\right]
2
2 puncte
=log⁡77=1= \log_7 7 = 1
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+ax+bf(x) = x^2 + ax + b. Determinați numerele reale aa și bb pentru care graficul funcției ff conține punctele A(2,3)A(2, 3) și B(−1,0)B(-1, 0).

Rezolvare

1
2 puncte
A(2,3)∈Gf⇒f(2)=3⇒4+2a+b=3A(2, 3) \in G_f \Rightarrow f(2) = 3 \Rightarrow 4 + 2a + b = 3
2
2 puncte
B(−1,0)∈Gf⇒f(−1)=0⇒1−a+b=0B(-1, 0) \in G_f \Rightarrow f(-1) = 0 \Rightarrow 1 - a + b = 0
3
1 punct
a=0a = 0, b=−1b = -1
Exercițiul 3
Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuația 3x+3x+1=363^x + 3^{x+1} = 36.

Rezolvare

1
2 puncte
3x+3⋅3x=363^x + 3 \cdot 3^x = 36
2
2 puncte
3x=93^x = 9
3
1 punct
x=2x = 2
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea {10,11,12,…,99}\{10, 11, 12, \ldots, 99\}, acesta să fie divizibil cu 44.

Rezolvare

1
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibilep = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
2
2 puncte
Numerele divizibile cu 44: 12,16,…,96⇒2212, 16, \ldots, 96 \Rightarrow 22 cazuri favorabile
3
1 punct
Sunt 9090 de cazuri posibile
4
1 punct
p=2290=1145p = \dfrac{22}{90} = \dfrac{11}{45}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele M(2,−1)M(2, -1) și N(−1,3)N(-1, 3). Determinați coordonatele vectorului OM→+ON→\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{ON}.

Rezolvare

1
3 puncte
OM→+ON→=2i⃗−j⃗−i⃗+3j⃗=i⃗+2j⃗\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{ON} = 2\vec{i} - \vec{j} - \vec{i} + 3\vec{j} = \vec{i} + 2\vec{j}
2
2 puncte
Coordonatele sunt (1,2)(1, 2)
Exercițiul 6
Determinați lungimea laturii unui triunghi echilateral, care are aria egală cu 434\sqrt{3}.

Rezolvare

1
3 puncte
A=l234\mathcal{A} = \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}
2
2 puncte
l=4l = 4

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră punctele An(2n,3n)A_n\left(2^n, 3^n\right), unde n∈Nn \in \mathbb{N}. a) Scrieți ecuația dreptei A0A1A_0A_1. b) Demonstrați că punctele A1A_1, A2A_2, A3A_3 nu sunt coliniare. c) Determinați numărul natural nn pentru care aria triunghiului AnAn+1An+2A_nA_{n+1}A_{n+2} este egală cu 216216.

Rezolvare

1
1 punct
a) A0(1,1)A_0(1, 1), A1(2,3)A_1(2, 3)
2
2 puncte
A0A1:∣xy1111231∣=0A_0A_1: \begin{vmatrix} x & y & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0
3
2 puncte
A0A1:y=2x−1A_0A_1: y = 2x - 1
4
1 punct
b) A1(2,3)A_1(2, 3), A2(4,9)A_2(4, 9), A3(8,27)A_3(8, 27)
5
4 puncte
Verificarea faptului că ∣2314918271∣≠0\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 9 & 1 \\ 8 & 27 & 1 \end{vmatrix} \neq 0
6
1 punct
c) A=12∣Δ∣\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}|\Delta|, Δ=∣2n3n12n+13n+112n+23n+21∣=2⋅6n\Delta = \begin{vmatrix} 2^n & 3^n & 1 \\ 2^{n+1} & 3^{n+1} & 1 \\ 2^{n+2} & 3^{n+2} & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 6^n
7
3 puncte
2⋅6n2=216⇒n=3\dfrac{2 \cdot 6^n}{2} = 216 \Rightarrow n = 3
Exercițiul 2
Pe mulțimea R\mathbb{R} se definește legea de compoziție asociativă x∘y=12(xy−x−y+3)x \circ y = \dfrac{1}{2}(xy - x - y + 3). a) Verificați dacă elementul neutru al legii este e=3e = 3. b) Determinați simetricul elementului 22 în raport cu legea ∘\circ. c) Arătați că mulțimea H={2k+1∣k∈Z}H = \{2k + 1 \mid k \in \mathbb{Z}\} este parte stabilă a lui R\mathbb{R} în raport cu legea de compoziție ∘\circ.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) x∘3=12(x⋅3−x−3+3)=xx \circ 3 = \dfrac{1}{2}(x \cdot 3 - x - 3 + 3) = x
2
2 puncte
3∘x=12(3⋅x−3−x+3)=x3 \circ x = \dfrac{1}{2}(3 \cdot x - 3 - x + 3) = x
3
1 punct
33 este element neutru
b)5 puncte
4
1 punct
b) Căutăm a∈Ra \in \mathbb{R} astfel încât a∘2=2∘a=3a \circ 2 = 2 \circ a = 3
5
1 punct
2∘a=a∘22 \circ a = a \circ 2
6
1 punct
12(2a−2−a+3)=3\dfrac{1}{2}(2a - 2 - a + 3) = 3
7
2 puncte
a+1=6⇒a=5a + 1 = 6 \Rightarrow a = 5
c)5 puncte
8
1 punct
c) Fie x,y∈H⇒x=2k+1x, y \in H \Rightarrow x = 2k + 1, y=2p+1y = 2p + 1, k,p∈Zk, p \in \mathbb{Z}
9
2 puncte
x∘y=12(4kp+2k+2p+1−2k−1−2p−1+3)x \circ y = \dfrac{1}{2}(4kp + 2k + 2p + 1 - 2k - 1 - 2p - 1 + 3)
10
2 puncte
x∘y=2kp+1∈Hx \circ y = 2kp + 1 \in H

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡x+exf(x) = \ln x + e^x. a) Arătați că xf′(x)=1+xexxf'(x) = 1 + xe^x, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul A(1,e)A(1, e). c) Calculați lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=1x+exf'(x) = \dfrac{1}{x} + e^x
2
2 puncte
xf′(x)=1+xexxf'(x) = 1 + xe^x
b)5 puncte
3
2 puncte
b) y−f(1)=f′(1)(x−1)y - f(1) = f'(1)(x - 1)
4
2 puncte
f′(1)=1+ef'(1) = 1 + e, f(1)=ef(1) = e
5
1 punct
y=(e+1)x−1y = (e + 1)x - 1
c)5 puncte
6
3 puncte
c) lim⁡x→+∞ln⁡x+exx=lim⁡x→+∞1x+ex1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x + e^x}{x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\dfrac{1}{x} + e^x}{1}
7
2 puncte
=+∞= +\infty
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x2+2x+1f(x) = 3x^2 + 2x + 1. a) Calculați aria suprafeței cuprinse între graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x = 0 și x=1x = 1. b) Arătați că orice primitivă a funcției ff este concavă pe intervalul (−∞,−13)\left(-\infty, -\dfrac{1}{3}\right). c) Demonstrați că, oricare ar fi a≥2a \geq 2, are loc inegalitatea ∫0af(x) dx≥3a2+2\displaystyle\int_0^a f(x) \, dx \geq 3a^2 + 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) A=∫01∣f(x)∣ dx=∫01(3x2+2x+1)dx\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 |f(x)| \, dx = \int_0^1 \left(3x^2 + 2x + 1\right) dx
2
2 puncte
=(x3+x2+x)∣01=3= \left.(x^3 + x^2 + x)\right|_0^1 = 3
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Fie gg o primitivă a funcției f⇒g′(x)=f(x)f \Rightarrow g'(x) = f(x), oricare ar fi x∈Rx \in \mathbb{R}
4
1 punct
g′′(x)=f′(x)=6x+2g''(x) = f'(x) = 6x + 2
5
2 puncte
x<−13⇒g′′(x)<0x < -\dfrac{1}{3} \Rightarrow g''(x) < 0, deci gg este concavă pe intervalul (−∞,−13)\left(-\infty, -\dfrac{1}{3}\right)
c)5 puncte
6
2 puncte
c) ∫0af(x) dx=(x3+x2+x)∣0a=a3+a2+a\displaystyle\int_0^a f(x) \, dx = \left.(x^3 + x^2 + x)\right|_0^a = a^3 + a^2 + a
7
3 puncte
a3+a2+a≥3a2+2⇔(a−2)(a2+1)≥0a^3 + a^2 + a \geq 3a^2 + 2 \Leftrightarrow (a - 2)(a^2 + 1) \geq 0, adevărată oricare ar fi a≥2a \geq 2

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2011 — Științele Naturii

Următor →

Bac Toamnă 2011 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac