BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară Rezervă 2012 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Calculați partea reală a numărului complex (1+2i)2(1 + 2i)^2.

Rezolvare

1
3 puncte
(1+2i)2=−3+4i(1 + 2i)^2 = -3 + 4i
2
2 puncte
Partea reală este egală cu −3-3
Exercițiul 2
Se notează cu x1x_1, x2x_2 soluțiile ecuației x2−3x+a=0x^2 - 3x + a = 0, unde aa este un număr real. Determinați aa pentru care x1+x2+x1x2=5x_1 + x_2 + x_1 x_2 = 5.

Rezolvare

1
2 puncte
x1+x2=3x_1 + x_2 = 3
2
2 puncte
x1x2=ax_1 x_2 = a
3
1 punct
a=2a = 2
Exercițiul 3
Se notează cu gg inversa funcției bijective f:(0,+∞)→(4,+∞)f : (0, +\infty) \to (4, +\infty), f(x)=2x+3f(x) = 2^x + 3. Determinați g(5)g(5).

Rezolvare

1
2 puncte
x=g(5)⇒f(x)=5x = g(5) \Rightarrow f(x) = 5
2
2 puncte
2x+3=52^x + 3 = 5
3
1 punct
x=1x = 1
Exercițiul 4
Se consideră mulțimea A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\}. Determinați probabilitatea ca, alegând la întâmplare una dintre submulțimile lui AA, aceasta să conțină exact trei elemente.

Rezolvare

1
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibilep = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
2
2 puncte
Numărul cazurilor posibile este 25=322^5 = 32
3
1 punct
Numărul submulțimilor cu 33 elemente este C53=10C_5^3 = 10, adică 1010 cazuri favorabile
4
1 punct
p=516p = \dfrac{5}{16}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,3)A(1, 3) și B(7,12)B(7, 12). Determinați coordonatele punctului MM, știind că AM→=13AB→\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}.

Rezolvare

1
2 puncte
AB→=6i⃗+9j⃗\overrightarrow{AB} = 6\vec{i} + 9\vec{j} și AM→=(xM−1)i⃗+(yM−3)j⃗\overrightarrow{AM} = (x_M - 1)\vec{i} + (y_M - 3)\vec{j}
2
2 puncte
AM→=13AB→⇔{xM−1=2yM−3=3\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \begin{cases} x_M - 1 = 2 \\ y_M - 3 = 3 \end{cases}
3
1 punct
M(3,6)M(3, 6)
Exercițiul 6
Determinați x∈(0,π2)x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right), știind că sin⁡x+2cos⁡xcos⁡x=3\dfrac{\sin x + 2\cos x}{\cos x} = 3.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡x+2cos⁡x=3cos⁡x\sin x + 2\cos x = 3\cos x
2
1 punct
sin⁡x=cos⁡x\sin x = \cos x
3
2 puncte
x=π4x = \dfrac{\pi}{4}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se notează cu D(a,b,c)D(a, b, c) determinantul matricei A(a,b,c)=(1112a2b2c3a23b23c2)∈M3(R)A(a, b, c) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2a & 2b & 2c \\ 3a^2 & 3b^2 & 3c^2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}). a) Calculați D(0,1,−1)D(0, 1, -1). b) Determinați numerele reale xx pentru care matricea A(0,1,x)A(0, 1, x) are rangul egal cu 22. c) Arătați că dacă aa, bb, cc sunt lungimile laturilor unui triunghi și D(a,b,c)=0D(a, b, c) = 0, atunci triunghiul este isoscel.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) D(0,1,−1)=∣11102−2033∣D(0, 1, -1) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 3 & 3 \end{vmatrix}
2
3 puncte
D(0,1,−1)=12D(0, 1, -1) = 12
b)5 puncte
3
1 punct
b) A(0,1,x)=(111022x033x2)A(0, 1, x) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2x \\ 0 & 3 & 3x^2 \end{pmatrix}
4
1 punct
Există minorul d=∣1102∣=2≠0⇒rang A(0,1,x)≥2d = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \neq 0 \Rightarrow \text{rang } A(0, 1, x) \geq 2
5
1 punct
rang A(0,1,x)=2⇔D(0,1,x)=0\text{rang } A(0, 1, x) = 2 \Leftrightarrow D(0, 1, x) = 0
6
2 puncte
D(0,1,x)=6x(x−1)⇒x=0D(0, 1, x) = 6x(x - 1) \Rightarrow x = 0 sau x=1x = 1
c)5 puncte
7
1 punct
c) D(a,b,c)=6⋅∣111abca2b2c2∣D(a, b, c) = 6 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}
8
2 puncte
D(a,b,c)=6(b−a)(c−a)(c−b)D(a, b, c) = 6(b - a)(c - a)(c - b)
9
2 puncte
D(a,b,c)=0⇒a=bD(a, b, c) = 0 \Rightarrow a = b sau b=cb = c sau c=ac = a, deci triunghiul este isoscel
Exercițiul 2
Se consideră inelul (Z5,+,⋅)(\mathbb{Z}_5, +, \cdot) și funcția f:Z5→Z5f : \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_5, f(x)=x3+2^x2+4^x+3^f(x) = x^3 + \hat{2}x^2 + \hat{4}x + \hat{3}. a) Calculați f(1^)+f(3^)f(\hat{1}) + f(\hat{3}). b) Descompuneți în factori ireductibili peste Z5\mathbb{Z}_5 polinomul P=X3+2^X2+4^X+3^∈Z5[X]P = X^3 + \hat{2}X^2 + \hat{4}X + \hat{3} \in \mathbb{Z}_5[X]. c) Arătați că funcția ff nu este surjectivă.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f(1^)=0^f(\hat{1}) = \hat{0}
2
2 puncte
f(3^)=0^f(\hat{3}) = \hat{0}
3
1 punct
f(1^)+f(3^)=0^f(\hat{1}) + f(\hat{3}) = \hat{0}
b)5 puncte
4
3 puncte
b) PP are rădăcinile 1^\hat{1}, 3^\hat{3} și 4^\hat{4}
5
2 puncte
P=(X−1^)(X−3^)(X−4^)=(X+4^)(X+2^)(X+1^)P = (X - \hat{1})(X - \hat{3})(X - \hat{4}) = (X + \hat{4})(X + \hat{2})(X + \hat{1})
c)5 puncte
6
2 puncte
c) f(1^)=f(3^)f(\hat{1}) = f(\hat{3}), deci ff nu este injectivă
7
3 puncte
Im f\text{Im } f nu poate avea 55 elemente, deci ff nu este nici surjectivă

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+9x2+3f(x) = \dfrac{x + 9}{\sqrt{x^2 + 3}}. a) Arătați că f′(x)x2+3=3−9xx2+3f'(x)\sqrt{x^2 + 3} = \dfrac{3 - 9x}{x^2 + 3}, pentru orice număr real xx. b) Determinați asimptota spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Determinați imaginea funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
4 puncte
a) f′(x)=3−9x(x2+3)x2+3f'(x) = \dfrac{3 - 9x}{(x^2 + 3)\sqrt{x^2 + 3}}
2
1 punct
f′(x)x2+3=3−9xx2+3f'(x)\sqrt{x^2 + 3} = \dfrac{3 - 9x}{x^2 + 3}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=1y = 1 este asimptotă orizontală spre +∞+\infty
c)5 puncte
5
2 puncte
c) lim⁡x→+∞f(x)=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1, lim⁡x→−∞f(x)=−1\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -1
6
2 puncte
Din monotonie, valoarea maximă a funcției este f(13)=27f\left(\dfrac{1}{3}\right) = 2\sqrt{7}
7
1 punct
Imaginea funcției este (−1,27]\left(-1, 2\sqrt{7}\right]
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x. a) Arătați că funcția F:(0,+∞)→RF : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, F(x)=xln⁡x−xF(x) = x\ln x - x este o primitivă a funcției ff. b) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=1x = 1 și x=ex = e. c) Arătați că (p+1)∫1xfp(t) dt+∫1xfp+1(t) dt=xfp+1(x)(p + 1)\displaystyle\int_1^x f^p(t) \, dt + \int_1^x f^{p+1}(t) \, dt = xf^{p+1}(x), pentru orice x≥1x \geq 1 și orice p>0p > 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) FF este derivabilă și F′(x)=ln⁡xF'(x) = \ln x, pentru orice x>0x > 0
2
2 puncte
F′=fF' = f
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Aria este egală cu ∫1e∣ln⁡x∣ dx\displaystyle\int_1^e |\ln x| \, dx
4
3 puncte
=F(x)∣1e=1= F(x)\Big|_1^e = 1
c)5 puncte
5
1 punct
c) (p+1)∫1xfp(t) dt=∫1xt⋅(p+1)⋅fp(t)⋅1t dt(p + 1)\displaystyle\int_1^x f^p(t) \, dt = \int_1^x t \cdot (p + 1) \cdot f^p(t) \cdot \dfrac{1}{t} \, dt
6
3 puncte
=∫1xt⋅(ln⁡p+1t)′dt=t⋅ln⁡p+1t∣1x−∫1xln⁡p+1t dt=xln⁡p+1x−∫1xln⁡p+1t dt= \displaystyle\int_1^x t \cdot \left(\ln^{p+1} t\right)' dt = t \cdot \ln^{p+1} t\Big|_1^x - \int_1^x \ln^{p+1} t \, dt = x\ln^{p+1} x - \int_1^x \ln^{p+1} t \, dt
7
1 punct
Finalizare

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2012 — Științele Naturii

Următor →

Bac Vară Rezervă 2012 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac