BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară Rezervă 2013 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că numărul n=(3−1)2+23n = \left(\sqrt{3} - 1\right)^2 + 2\sqrt{3} este natural.

Rezolvare

1
3 puncte
(3−1)2=4−23\left(\sqrt{3} - 1\right)^2 = 4 - 2\sqrt{3}
2
2 puncte
n=4∈Nn = 4 \in \mathbb{N}
Exercițiul 2
Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+1f(x) = x + 1 și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=2x−1g(x) = 2x - 1.

Rezolvare

1
2 puncte
f(x)=g(x)⇔x+1=2x−1f(x) = g(x) \Leftrightarrow x + 1 = 2x - 1
2
3 puncte
x=2⇒y=3x = 2 \Rightarrow y = 3
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 26−x2=2x2^{6 - x^2} = 2^x.

Rezolvare

1
3 puncte
6−x2=x⇒x2+x−6=06 - x^2 = x \Rightarrow x^2 + x - 6 = 0
2
2 puncte
x=−3x = -3 sau x=2x = 2
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, suma cifrelor acestuia să fie egală cu 22.

Rezolvare

1
2 puncte
Numerele abc‾\overline{abc} cu a+b+c=2a + b + c = 2 sunt 101101, 110110 și 200⇒3200 \Rightarrow 3 cazuri favorabile
2
1 punct
Numărul numerelor de 33 cifre este 900⇒900900 \Rightarrow 900 de cazuri posibile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=1300p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{1}{300}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,3)A(1, 3) și B(3,1)B(3, 1). Determinați ecuația mediatoarei segmentului ABAB.

Rezolvare

1
2 puncte
Mijlocul segmentului ABAB este punctul M(2,2)M(2, 2)
2
2 puncte
mAB=yB−yAxB−xA=−1⇒m_{AB} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = -1 \Rightarrow panta mediatoarei segmentului ABAB este egală cu 11
3
1 punct
Ecuația mediatoarei segmentului ABAB este y=xy = x
Exercițiul 6
Calculați raza cercului circumscris triunghiului ABCABC dreptunghic în AA, știind că BC=8BC = 8.

Rezolvare

1
3 puncte
△ABC\triangle ABC dreptunghic în A⇒R=BC2A \Rightarrow R = \dfrac{BC}{2}
2
2 puncte
R=4R = 4

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Pentru fiecare număr real xx se consideră matricea A(x)=(1x11−11x−11)A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ x & -1 & 1 \end{pmatrix}. a) Calculați A(0)⋅A(1)A(0) \cdot A(1). b) Arătați că det⁡(A(x))=x2−1\det\left(A(x)\right) = x^2 - 1, pentru orice număr real xx. c) Determinați numerele întregi xx pentru care inversa matricei A(x)A(x) are elementele numere întregi.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(0)⋅A(1)=(1011−110−11)⋅(1111−111−11)A(0) \cdot A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}
2
3 puncte
=(202111000)= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) det⁡(A(x))=∣1x11−11x−11∣=−1−1+x2+x−x+1\det(A(x)) = \begin{vmatrix} 1 & x & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ x & -1 & 1 \end{vmatrix} = -1 - 1 + x^2 + x - x + 1
4
2 puncte
=x2−1= x^2 - 1
c)5 puncte
5
1 punct
c) (A(x))−1(A(x))^{-1} este inversa lui A(x)⇒A(x)⋅(A(x))−1=I3⇒det⁡(A(x))⋅det⁡((A(x))−1)=1A(x) \Rightarrow A(x) \cdot (A(x))^{-1} = I_3 \Rightarrow \det(A(x)) \cdot \det\left((A(x))^{-1}\right) = 1
6
1 punct
x∈Z⇒det⁡(A(x))∈Zx \in \mathbb{Z} \Rightarrow \det(A(x)) \in \mathbb{Z}
7
1 punct
(A(x))−1(A(x))^{-1} are elementele numere întregi ⇒det⁡((A(x))−1)∈Z\Rightarrow \det\left((A(x))^{-1}\right) \in \mathbb{Z}
8
2 puncte
det⁡(A(x))=±1⇒x=0\det(A(x)) = \pm 1 \Rightarrow x = 0 care verifică cerința
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă dată de x∘y=x2y2+x2+y2x \circ y = \sqrt{x^2y^2 + x^2 + y^2}. a) Calculați 2∘32 \circ 3. b) Arătați că x∘y=(x2+1)(y2+1)−1x \circ y = \sqrt{\left(x^2 + 1\right)\left(y^2 + 1\right) - 1}, pentru orice xx și yy numere reale. c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∘x∘x=xx \circ x \circ x = x.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 2∘3=4⋅9+4+92 \circ 3 = \sqrt{4 \cdot 9 + 4 + 9}
2
2 puncte
=7= 7
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∘y=x2(y2+1)+y2=x2(y2+1)+(y2+1)−1x \circ y = \sqrt{x^2\left(y^2 + 1\right) + y^2} = \sqrt{x^2\left(y^2 + 1\right) + \left(y^2 + 1\right) - 1}
4
3 puncte
=(x2+1)(y2+1)−1= \sqrt{\left(x^2 + 1\right)\left(y^2 + 1\right) - 1}, pentru orice x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x∘x∘x=(x2+1)3−1x \circ x \circ x = \sqrt{\left(x^2 + 1\right)^3 - 1}
6
3 puncte
(x2+1)3−1=x⇒x=0\sqrt{\left(x^2 + 1\right)^3 - 1} = x \Rightarrow x = 0, care verifică ecuația

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcțiile f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=exf(x) = e^x și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=x2+2x+2g(x) = x^2 + 2x + 2. a) Calculați g′(2)g'(2). b) Arătați că lim⁡x→02f(x)−g(x)2x3=16\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{2f(x) - g(x)}{2x^3} = \dfrac{1}{6}. c) Demonstrați că 2f(x)≥g(x)2f(x) \geq g(x), pentru orice x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) g′(x)=2x+2g'(x) = 2x + 2, pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}
2
2 puncte
g′(2)=6g'(2) = 6
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→02ex−x2−2x−22x3=lim⁡x→02ex−2x−26x2\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{2e^x - x^2 - 2x - 2}{2x^3} = \lim_{x \to 0} \dfrac{2e^x - 2x - 2}{6x^2}
4
3 puncte
=lim⁡x→0ex−16x=16= \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{6x} = \dfrac{1}{6}
c)5 puncte
5
2 puncte
c) h:[0,+∞)→Rh : [0, +\infty) \to \mathbb{R}, h(x)=2f(x)−g(x)⇒h′(x)=2ex−2x−2h(x) = 2f(x) - g(x) \Rightarrow h'(x) = 2e^x - 2x - 2 și h′′(x)=2ex−2≥0h''(x) = 2e^x - 2 \geq 0, pentru orice x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty)
6
1 punct
h′h' crescătoare ⇒h′(x)≥h′(0)=0\Rightarrow h'(x) \geq h'(0) = 0, pentru orice x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty)
7
2 puncte
hh crescătoare ⇒h(x)≥h(0)=0\Rightarrow h(x) \geq h(0) = 0, pentru orice x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile f:(−2,+∞)→Rf : (-2, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x+2+1x+2f(x) = x + 2 + \dfrac{1}{x + 2} și F:(−2,+∞)→RF : (-2, +\infty) \to \mathbb{R}, F(x)=x22+2x+ln⁡(x+2)F(x) = \dfrac{x^2}{2} + 2x + \ln(x + 2). a) Calculați ∫01(x+2)f(x) dx\displaystyle\int_0^1 (x + 2)f(x) \, dx. b) Verificați dacă funcția FF este o primitivă a funcției ff. c) Calculați ∫−10F(x)f(x) dx\displaystyle\int_{-1}^0 F(x)f(x) \, dx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
1 punct
a) (x+2)f(x)=x2+4x+5(x + 2)f(x) = x^2 + 4x + 5
2
2 puncte
∫01(x2+4x+5)dx=(x33+2x2+5x)∣01\displaystyle\int_0^1 \left(x^2 + 4x + 5\right) dx = \left.\left(\dfrac{x^3}{3} + 2x^2 + 5x\right)\right|_0^1
3
2 puncte
=223= \dfrac{22}{3}
b)5 puncte
4
3 puncte
b) F′(x)=(x22+2x+ln⁡(x+2))′=x+2+1x+2F'(x) = \left(\dfrac{x^2}{2} + 2x + \ln(x + 2)\right)' = x + 2 + \dfrac{1}{x + 2}, pentru orice x∈(−2,+∞)x \in (-2, +\infty)
5
2 puncte
F′(x)=f(x)F'(x) = f(x), pentru orice x∈(−2,+∞)⇒Fx \in (-2, +\infty) \Rightarrow F este o primitivă a funcției ff
c)5 puncte
6
2 puncte
c) ∫−10F(x)f(x) dx=∫−10F(x)⋅F′(x) dx\displaystyle\int_{-1}^0 F(x)f(x) \, dx = \int_{-1}^0 F(x) \cdot F'(x) \, dx
7
3 puncte
=F2(x)2∣−10=F2(0)−F2(−1)2=12(ln⁡22−94)= \left.\dfrac{F^2(x)}{2}\right|_{-1}^0 = \dfrac{F^2(0) - F^2(-1)}{2} = \dfrac{1}{2}\left(\ln^2 2 - \dfrac{9}{4}\right)

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2013 — Tehnologic (Varianta 3)

Următor →

Bac Vară Rezervă 2013 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac