BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară Rezervă 2013 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că numărul 8−2(2−3)\sqrt{8} - 2\left(\sqrt{2} - 3\right) este natural.

Rezolvare

1
2 puncte
8=22\sqrt{8} = 2\sqrt{2}
2
3 puncte
22−22+6=6∈N2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 6 = 6 \in \mathbb{N}
Exercițiul 2
Calculați (f∘f)(0)(f \circ f)(0) pentru funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x+1f(x) = 3x + 1.

Rezolvare

1
2 puncte
f(0)=1f(0) = 1
2
3 puncte
(f∘f)(0)=f(1)=4(f \circ f)(0) = f(1) = 4
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x2+1)=log⁡25\log_2\left(x^2 + 1\right) = \log_2 5.

Rezolvare

1
3 puncte
x2+1=5x^2 + 1 = 5
2
2 puncte
Rezultă x=−2x = -2 sau x=2x = 2, care verifică ecuația
Exercițiul 4
După o ieftinire cu 20%20\% prețul unui produs scade cu 200200 de lei. Calculați prețul produsului după ieftinire.

Rezolvare

1
2 puncte
Se notează cu xx prețul inițial ⇒20%⋅x=200\Rightarrow 20\% \cdot x = 200
2
3 puncte
x=1000x = 1000, deci prețul după ieftinire este 800800 de lei
Exercițiul 5
Determinați numărul real aa pentru care vectorii u⃗=(a−1)i⃗+4j⃗\vec{u} = (a - 1)\vec{i} + 4\vec{j} și v⃗=2i⃗−4j⃗\vec{v} = 2\vec{i} - 4\vec{j} sunt opuși.

Rezolvare

1
3 puncte
u⃗=−v⃗⇒a−1=−2\vec{u} = -\vec{v} \Rightarrow a - 1 = -2
2
2 puncte
a=−1a = -1
Exercițiul 6
Calculați lungimea medianei din AA în triunghiul dreptunghic ABCABC cu ipotenuza BC=10BC = 10.

Rezolvare

1
3 puncte
MM mijlocul lui (BC)⇒AM=BC2(BC) \Rightarrow AM = \dfrac{BC}{2}
2
2 puncte
AM=5AM = 5

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x−y+2z=a2x−y=0y−z=1\begin{cases} x - y + 2z = a \\ 2x - y = 0 \\ y - z = 1 \end{cases}, unde aa este un număr real. a) Determinați numărul real aa știind că (x,y,z)=(1,2,1)(x, y, z) = (1, 2, 1) este soluție a sistemului. b) Calculați determinantul matricei sistemului. c) Rezolvați sistemul pentru a=−2a = -2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 1−2+2⋅1=a1 - 2 + 2 \cdot 1 = a, 2⋅1−2=02 \cdot 1 - 2 = 0 și 2−1=12 - 1 = 1
2
2 puncte
a=1a = 1
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Determinantul sistemului este ∣1−122−1001−1∣\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}
4
3 puncte
=1+4+0−0−0−2=3= 1 + 4 + 0 - 0 - 0 - 2 = 3
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x=0x = 0
6
2 puncte
y=0y = 0
7
1 punct
z=−1z = -1
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−X+af = X^3 - X + a, unde aa este număr întreg. a) Pentru a=−2a = -2, calculați f(2)f(2). b) Arătați că x12+x22+x32=2x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 2, unde x1x_1, x2x_2, x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff. c) Arătați că, dacă polinomul ff are o rădăcină întreagă, atunci aa este multiplu de 66.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f=X3−X−2⇒f(2)=23−2−2f = X^3 - X - 2 \Rightarrow f(2) = 2^3 - 2 - 2
2
2 puncte
=4= 4
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x1+x2+x3=0x_1 + x_2 + x_3 = 0, x1x2+x1x3+x2x3=−1x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = -1
4
3 puncte
x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)=2x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) = 2
c)5 puncte
5
2 puncte
c) k∈Zk \in \mathbb{Z} este rădăcină a lui f⇒k3−k+a=0f \Rightarrow k^3 - k + a = 0
6
3 puncte
a=−(k−1)⋅k⋅(k+1)⇒aa = -(k - 1) \cdot k \cdot (k + 1) \Rightarrow a este număr întreg multiplu de 66, deoarece este divizibil cu trei numere întregi consecutive

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=2x+ln⁡xf(x) = \dfrac{2}{x} + \ln x. a) Arătați că f′(x)=x−2x2f'(x) = \dfrac{x - 2}{x^2}, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați punctele de extrem ale funcției ff. c) Arătați că funcția ff este convexă pe intervalul (0,4)(0, 4).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=(2x+ln⁡x)′=2(1x)′+1xf'(x) = \left(\dfrac{2}{x} + \ln x\right)' = 2\left(\dfrac{1}{x}\right)' + \dfrac{1}{x}
2
3 puncte
=−2x2+1x=x−2x2= -\dfrac{2}{x^2} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{x - 2}{x^2}, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f′(x)=0⇔x=2f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2
4
2 puncte
f′(x)<0f'(x) < 0, pentru x∈(0,2)x \in (0, 2) și f′(x)>0f'(x) > 0, pentru x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty)
5
1 punct
Punctul de extrem este x=2x = 2
c)5 puncte
6
3 puncte
c) f′′(x)=(x−2x2)′=1⋅x2−(x−2)⋅2xx4=4−xx3f''(x) = \left(\dfrac{x - 2}{x^2}\right)' = \dfrac{1 \cdot x^2 - (x - 2) \cdot 2x}{x^4} = \dfrac{4 - x}{x^3}
7
2 puncte
x∈(0,4)⇒4−x>0⇒f′′(x)>0⇒fx \in (0, 4) \Rightarrow 4 - x > 0 \Rightarrow f''(x) > 0 \Rightarrow f este convexă pe intervalul (0,4)(0, 4)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(1,+∞)→Rf : (1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=1x2−1f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 1}. a) Arătați că ∫24(x−1)f(x) dx=ln⁡53\displaystyle\int_2^4 (x - 1)f(x) \, dx = \ln\dfrac{5}{3}. b) Calculați ∫23(x3−1)f(x) dx\displaystyle\int_2^3 \left(x^3 - 1\right)f(x) \, dx. c) Arătați că aria suprafeței delimitate de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuație x=2x = 2 și x=3x = 3, este egală cu 12ln⁡32\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{3}{2}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) ∫24(x−1)f(x) dx=∫241x+1 dx\displaystyle\int_2^4 (x - 1)f(x) \, dx = \int_2^4 \dfrac{1}{x + 1} \, dx
2
3 puncte
=ln⁡(x+1)∣24=ln⁡53= \ln(x + 1)\Big|_2^4 = \ln\dfrac{5}{3}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) ∫23(x3−1)⋅1x2−1 dx=∫23x2+x+1x+1 dx\displaystyle\int_2^3 \left(x^3 - 1\right) \cdot \dfrac{1}{x^2 - 1} \, dx = \int_2^3 \dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1} \, dx
4
3 puncte
=∫23(x+1x+1)dx=(x22+ln⁡(x+1))∣23=52+ln⁡43= \displaystyle\int_2^3 \left(x + \dfrac{1}{x + 1}\right) dx = \left.\left(\dfrac{x^2}{2} + \ln(x + 1)\right)\right|_2^3 = \dfrac{5}{2} + \ln\dfrac{4}{3}
c)5 puncte
5
2 puncte
c) A=∫23∣f(x)∣ dx=∫231x2−1 dx\mathcal{A} = \displaystyle\int_2^3 |f(x)| \, dx = \int_2^3 \dfrac{1}{x^2 - 1} \, dx
6
3 puncte
=12ln⁡(x−1x+1)∣23=12ln⁡32= \dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{x - 1}{x + 1}\right)\Bigg|_2^3 = \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{3}{2}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară Rezervă 2013 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Vară Rezervă 2013 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac