BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară Rezervă 2013 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 2(5−2)+22=102\left(5 - \sqrt{2}\right) + 2\sqrt{2} = 10.

Rezolvare

1
2 puncte
2(5−2)=10−222\left(5 - \sqrt{2}\right) = 10 - 2\sqrt{2}
2
3 puncte
10−22+22=1010 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 10
Exercițiul 2
Calculați f(−3)+f(3)f(-3) + f(3) pentru funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−9f(x) = x^2 - 9.

Rezolvare

1
2 puncte
f(−3)=0f(-3) = 0
2
2 puncte
f(3)=0f(3) = 0
3
1 punct
f(−3)+f(3)=0f(-3) + f(3) = 0
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 52x=255^{2x} = 25.

Rezolvare

1
2 puncte
52x=525^{2x} = 5^2
2
3 puncte
x=1x = 1
Exercițiul 4
Prețul unui obiect este 100100 de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu 20%20\%.

Rezolvare

1
2 puncte
20%⋅100=2020\% \cdot 100 = 20
2
3 puncte
Prețul după scumpire este 120120 de lei
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,1)A(1, 1) și B(3,1)B(3, 1). Calculați distanța de la punctul AA la punctul BB.

Rezolvare

1
3 puncte
AB=(3−1)2+(1−1)2AB = \sqrt{(3 - 1)^2 + (1 - 1)^2}
2
2 puncte
AB=2AB = 2
Exercițiul 6
Calculați cos⁡30°+cos⁡150°\cos 30° + \cos 150°.

Rezolvare

1
2 puncte
cos⁡30°=32\cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
2
2 puncte
cos⁡150°=−32\cos 150° = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}
3
1 punct
cos⁡30°+cos⁡150°=0\cos 30° + \cos 150° = 0

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(1−101)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și B=(x−10x)B = \begin{pmatrix} x & -1 \\ 0 & x \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Calculați det⁡A\det A. b) Pentru x=0x = 0 arătați că A−B=I2A - B = I_2. c) Determinați numărul real xx pentru care det⁡(A+B)=0\det(A + B) = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡A=∣1−101∣=1−0\det A = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0
2
2 puncte
=1= 1
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x=0⇒B=(0−100)x = 0 \Rightarrow B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
4
3 puncte
A−B=(1−101)−(0−100)=(1001)=I2A - B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A+B=(1+x−201+x)⇒det⁡(A+B)=(1+x)2A + B = \begin{pmatrix} 1 + x & -2 \\ 0 & 1 + x \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A + B) = (1 + x)^2
6
2 puncte
(1+x)2=0⇔x=−1(1 + x)^2 = 0 \Leftrightarrow x = -1
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă dată de x∘y=x+y+3x \circ y = x + y + 3. a) Calculați 2∘(−2)2 \circ (-2). b) Arătați că e=−3e = -3 este elementul neutru al legii de compoziție ∘\circ. c) Determinați numărul real xx pentru care 2013∘(−2013)=x∘x2013 \circ (-2013) = x \circ x.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 2∘(−2)=2+(−2)+32 \circ (-2) = 2 + (-2) + 3
2
2 puncte
=3= 3
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∘(−3)=x+(−3)+3=xx \circ (-3) = x + (-3) + 3 = x, pentru orice număr real xx
4
3 puncte
(−3)∘x=(−3)+x+3=x⇒x∘(−3)=(−3)∘x=x(-3) \circ x = (-3) + x + 3 = x \Rightarrow x \circ (-3) = (-3) \circ x = x, pentru orice număr real xx
c)5 puncte
5
2 puncte
c) 2013∘(−2013)=32013 \circ (-2013) = 3
6
3 puncte
3=x∘x⇔3=2x+3⇔x=03 = x \circ x \Leftrightarrow 3 = 2x + 3 \Leftrightarrow x = 0

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x+1xf(x) = \dfrac{x + 1}{x}. a) Calculați lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x). b) Arătați că funcția ff este descrescătoare pe intervalul (0,+∞)(0, +\infty). c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x0=1x_0 = 1, situat pe graficul funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) lim⁡x→+∞x+1x=lim⁡x→+∞(1+1x)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x + 1}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)
2
2 puncte
=1= 1
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f′(x)=−1x2f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
4
3 puncte
f′(x)<0f'(x) < 0, pentru orice x∈(0,+∞)⇒fx \in (0, +\infty) \Rightarrow f este descrescătoare pe intervalul (0,+∞)(0, +\infty)
c)5 puncte
5
2 puncte
c) y−f(1)=f′(1)⋅(x−1)y - f(1) = f'(1) \cdot (x - 1)
6
3 puncte
f′(1)=−1f'(1) = -1, f(1)=2⇒f(1) = 2 \Rightarrow ecuația tangentei este y=−x+3y = -x + 3
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x2+1f(x) = 3x^2 + 1. a) Calculați ∫01f′(x) dx\displaystyle\int_0^1 f'(x) \, dx. b) Arătați că funcția F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, F(x)=x3+x+1F(x) = x^3 + x + 1 este o primitivă a funcției ff. c) Calculați aria suprafeței delimitate de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuație x=0x = 0 și x=1x = 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫01f′(x) dx=f(x)∣01\displaystyle\int_0^1 f'(x) \, dx = f(x)\Big|_0^1
2
2 puncte
=f(1)−f(0)=3= f(1) - f(0) = 3
b)5 puncte
3
3 puncte
b) F′(x)=(x3+x+1)′=3x2+1F'(x) = \left(x^3 + x + 1\right)' = 3x^2 + 1
4
2 puncte
F′(x)=f(x)F'(x) = f(x), pentru orice x∈R⇒Fx \in \mathbb{R} \Rightarrow F este o primitivă a funcției ff
c)5 puncte
5
2 puncte
c) A=∫01∣f(x)∣ dx=∫01(3x2+1)dx\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 |f(x)| \, dx = \int_0^1 \left(3x^2 + 1\right) dx
6
3 puncte
=(x3+x)∣01=2= \left.(x^3 + x)\right|_0^1 = 2

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară Rezervă 2013 — Științele Naturii

Următor →

Bac Toamnă 2013 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac