BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară Rezervă 2015 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 23−1−3=1\frac{2}{\sqrt{3} - 1} - \sqrt{3} = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
23−1=3+1\frac{2}{\sqrt{3} - 1} = \sqrt{3} + 1
2
2 puncte
3+1−3=1\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} = 1
Exercițiul 2
Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției ff cu axa OyOy, unde f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x2+x+2015f(x) = 2x^2 + x + 2015.

Rezolvare

1
3 puncte
f(0)=2015f(0) = 2015
2
2 puncte
Coordonatele punctului de intersecție cu axa OyOy sunt x=0x = 0 și y=2015y = 2015
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x+2=2\sqrt{x + 2} = 2.

Rezolvare

1
2 puncte
x+2=4x + 2 = 4
2
3 puncte
x=2x = 2, care verifică ecuația
Exercițiul 4
După o reducere cu 10%10\% un obiect costă 9999 de lei. Calculați prețul obiectului înainte de reducere.

Rezolvare

1
3 puncte
p−10%⋅p=99p - 10\% \cdot p = 99, unde pp este prețul obiectului înainte de reducere
2
2 puncte
p=110p = 110 lei
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele M(2,1)M(2, 1) și N(4,1)N(4, 1). Determinați lungimea segmentului MNMN.

Rezolvare

1
3 puncte
MN=(4−2)2+(1−1)2=MN = \sqrt{(4 - 2)^2 + (1 - 1)^2} =
2
2 puncte
=2= 2
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡x=45\sin x = \frac{4}{5}, știind că x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) și cos⁡x=35\cos x = \frac{3}{5}.

Rezolvare

1
3 puncte
sin⁡2x=1−cos⁡2x=1−(35)2=1625\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}
2
2 puncte
Cum x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right), obținem sin⁡x=45\sin x = \frac{4}{5}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A=(2121)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}. a) Arătați că det⁡A=0\det A = 0. b) Determinați numărul real xx pentru care A⋅A=xAA \cdot A = xA. c) Arătați că det⁡(A+I2)+det⁡(A−I2)=2\det(A + I_2) + \det(A - I_2) = 2, unde I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) det⁡A=∣2121∣=\det A = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=2⋅1−2⋅1=0= 2 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A⋅A=(6363)A \cdot A = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}, xA=(2xx2xx)xA = \begin{pmatrix} 2x & x \\ 2x & x \end{pmatrix}
4
2 puncte
(6363)=(2xx2xx)⇔x=3\begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x & x \\ 2x & x \end{pmatrix} \Leftrightarrow x = 3
c)5 puncte
5
3 puncte
c) det⁡(A+I2)=∣3122∣=4\det(A + I_2) = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 4, det⁡(A−I2)=∣1120∣=−2\det(A - I_2) = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -2
6
2 puncte
det⁡(A+I2)+det⁡(A−I2)=4+(−2)=2\det(A + I_2) + \det(A - I_2) = 4 + (-2) = 2
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−2X2−2X+1f = X^3 - 2X^2 - 2X + 1. a) Arătați că f(1)=−2f(1) = -2. b) Arătați că polinomul ff este divizibil cu polinomul X+1X + 1. c) Determinați numărul real aa pentru care 1x1x2+1x2x3+1x3x1=a(x1x2+x2x3+x3x1)\frac{1}{x_1 x_2} + \frac{1}{x_2 x_3} + \frac{1}{x_3 x_1} = a(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1), unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f(1)=13−2⋅12−2⋅1+1=f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 + 1 =
2
2 puncte
=1−2−2+1=−2= 1 - 2 - 2 + 1 = -2
b)5 puncte
3
3 puncte
b) f(−1)=(−1)3−2⋅(−1)2−2⋅(−1)+1=f(-1) = (-1)^3 - 2 \cdot (-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 1 =
4
2 puncte
=−1−2+2+1=0= -1 - 2 + 2 + 1 = 0, deci polinomul ff este divizibil cu polinomul X+1X + 1
c)5 puncte
5
3 puncte
c) x1+x2+x3=2x_1 + x_2 + x_3 = 2, x1x2+x1x3+x2x3=−2x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = -2, x1x2x3=−1x_1 x_2 x_3 = -1
6
2 puncte
x1+x2+x3x1x2x3=a(x1x2+x2x3+x3x1)⇔2−1=a⋅(−2)⇔a=1\frac{x_1 + x_2 + x_3}{x_1 x_2 x_3} = a(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1) \Leftrightarrow \frac{2}{-1} = a \cdot (-2) \Leftrightarrow a = 1

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x−1xf(x) = x - \frac{1}{x}. a) Arătați că f′(x)=1+1x2f'(x) = 1 + \frac{1}{x^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Demonstrați că funcția ff este concavă pe intervalul (0,+∞)(0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=(x−1x)′=f'(x) = \left(x - \frac{1}{x}\right)' =
2
3 puncte
=1−(−1x2)=1+1x2= 1 - \left(-\frac{1}{x^2}\right) = 1 + \frac{1}{x^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞x2−1x2=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 1}{x^2} = 1
4
3 puncte
lim⁡x→+∞(f(x)−x)=lim⁡x→+∞(−1x)=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(f(x) - x\right) = \lim_{x \to +\infty} \left(-\frac{1}{x}\right) = 0, deci dreapta de ecuație y=xy = x este asimptotă oblică spre +∞+\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′′(x)=−2x3f''(x) = -\frac{2}{x^3}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
6
3 puncte
f′′(x)<0f''(x) < 0, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), deci funcția ff este concavă pe intervalul (0,+∞)(0, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+2f(x) = x^2 + 2. a) Arătați că ∫01(f(x)−2) dx=13\displaystyle\int_0^1 (f(x) - 2) \, dx = \frac{1}{3}. b) Determinați primitiva FF a funcției ff pentru care F(3)=5F(3) = 5. c) Arătați că suprafața delimitată de graficul funcției g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=ex⋅f(x)g(x) = e^x \cdot f(x), axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x = 0 și x=1x = 1, are aria egală cu 3e−43e - 4.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫01(f(x)−2) dx=∫01x2 dx=x33∣01=\displaystyle\int_0^1 (f(x) - 2) \, dx = \int_0^1 x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \Big|_0^1 =
2
2 puncte
=13−0=13= \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, F(x)=x33+2x+cF(x) = \frac{x^3}{3} + 2x + c, unde c∈Rc \in \mathbb{R}
4
3 puncte
F(3)=5⇒c=−10F(3) = 5 \Rightarrow c = -10, deci F(x)=x33+2x−10F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x - 10
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A=∫01ex(x2+2) dx=ex(x2+2)∣01−∫012xex dx=3e−2−(2xex∣01−∫012ex dx)=\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 e^x(x^2 + 2) \, dx = e^x(x^2 + 2) \Big|_0^1 - \int_0^1 2xe^x \, dx = 3e - 2 - \left(2xe^x \Big|_0^1 - \int_0^1 2e^x \, dx\right) =
6
2 puncte
=3e−2−2e+2ex∣01=3e−4= 3e - 2 - 2e + 2e^x \Big|_0^1 = 3e - 4

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară Rezervă 2015 — Științele Naturii

Următor →

Bac Toamnă 2015 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac