BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară Rezervă 2016 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați numărul real aa, știind că numerele 2424, 10201020 și aa sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Rezolvare

1
3 puncte
24+a=2⋅102024 + a = 2 \cdot 1020
2
2 puncte
a=2016a = 2016
Exercițiul 2
Determinați numărul real mm, știind că parabola asociată funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+4x+mf(x) = x^2 + 4x + m este tangentă axei OxOx.

Rezolvare

1
3 puncte
Δ=16−4m\Delta = 16 - 4m
2
2 puncte
16−4m=0⇒m=416 - 4m = 0 \Rightarrow m = 4
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația (13)2x−3=27\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2x-3} = 27.

Rezolvare

1
3 puncte
(3−1)2x−3=33⇔−2x+3=3(3^{-1})^{2x-3} = 3^3 \Leftrightarrow -2x + 3 = 3
2
2 puncte
x=0x = 0
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={1,2,3,…,25}A = \{\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \ldots, \sqrt{25}\}, acesta să fie număr rațional.

Rezolvare

1
1 punct
Mulțimea AA are 2525 de elemente, deci sunt 2525 de cazuri posibile
2
2 puncte
Sunt 55 numere raționale în mulțimea AA (și anume 1\sqrt{1}, 4\sqrt{4}, 9\sqrt{9}, 16\sqrt{16}, 25\sqrt{25}), deci sunt 55 cazuri favorabile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=525=15p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{5}{25} = \dfrac{1}{5}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,1)A(0, 1), B(−2,−1)B(-2, -1) și C(2,3)C(2, 3). Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul AA și este perpendiculară pe dreapta BCBC.

Rezolvare

1
2 puncte
d⊥BC⇒md⋅mBC=−1d \perp BC \Rightarrow m_d \cdot m_{BC} = -1 și, cum mBC=1m_{BC} = 1, obținem md=−1m_d = -1
2
3 puncte
Deoarece A∈dA \in d, ecuația dreptei dd este y−yA=md(x−xA)y - y_A = m_d(x - x_A), adică y=−x+1y = -x + 1
Exercițiul 6
Calculați lungimea razei cercului circumscris unui triunghi ABCABC, în care m(∡A)=45°m(\measuredangle A) = 45° și BC=22BC = 2\sqrt{2}.

Rezolvare

1
3 puncte
BCsin⁡A=2R⇒R=222⋅22\dfrac{BC}{\sin A} = 2R \Rightarrow R = \dfrac{2\sqrt{2}}{2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}}
2
2 puncte
=2= 2

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(1aa21−1111−a)A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -a \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+ay+a2z=0x−y+z=2x+y−az=−4\begin{cases} x + ay + a^2z = 0 \\ x - y + z = 2 \\ x + y - az = -4 \end{cases}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=−1\det(A(0)) = -1. b) Demonstrați că matricea A(a)A(a) este inversabilă, pentru orice număr real aa, a≠−1a \neq -1 și a≠13a \neq \dfrac{1}{3}. c) Determinați numerele reale aa, pentru care sistemul are soluție unică (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0), iar x0=y0x_0 = y_0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
A(0)=(1001−11110)A(0) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(0))=∣1001−11110∣=\det(A(0)) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=0+0+0−0−1−0=−1= 0 + 0 + 0 - 0 - 1 - 0 = -1
b)5 puncte
3
2 puncte
det⁡(A(a))=∣1aa21−1111−a∣=(3a−1)(a+1)\det(A(a)) = \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -a \end{vmatrix} = (3a - 1)(a + 1)
4
3 puncte
Pentru orice număr real aa, a≠−1a \neq -1 și a≠13a \neq \dfrac{1}{3}, obținem det⁡(A(a))≠0\det(A(a)) \neq 0, deci matricea A(a)A(a) este inversabilă
c)5 puncte
5
2 puncte
Sistemul are soluție unică, deci a≠−1a \neq -1 și a≠13a \neq \dfrac{1}{3}; pentru fiecare număr real aa, a≠−1a \neq -1 și a≠13a \neq \dfrac{1}{3}, obținem x0=−4a(3a−1)(a+1)x_0 = \dfrac{-4a}{(3a - 1)(a + 1)} și y0=2(2−3a)3a−1y_0 = \dfrac{2(2 - 3a)}{3a - 1}
6
3 puncte
Cum x0=y0⇔3a2−a−2=0x_0 = y_0 \Leftrightarrow 3a^2 - a - 2 = 0, obținem a=−23a = -\dfrac{2}{3} sau a=1a = 1
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=−xy+2x+2y−2x \ast y = -xy + 2x + 2y - 2. a) Arătați că x∗y=2−(x−2)(y−2)x \ast y = 2 - (x - 2)(y - 2), pentru orice numere reale xx și yy. b) Determinați numerele reale xx, pentru care x∗x=1x \ast x = 1. c) Demonstrați că, dacă mm, nn și pp sunt numere întregi astfel încât m∗n∗p=2m \ast n \ast p = 2, atunci produsul numerelor mm, nn și pp este divizibil cu 22.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
x∗y=−xy+2x+2y−4+2=x \ast y = -xy + 2x + 2y - 4 + 2 =
2
3 puncte
=−x(y−2)+2(y−2)+2=2−(x−2)(y−2)= -x(y - 2) + 2(y - 2) + 2 = 2 - (x - 2)(y - 2), pentru orice numere reale xx și yy
b)5 puncte
3
2 puncte
x∗x=2−(x−2)2x \ast x = 2 - (x - 2)^2
4
3 puncte
2−(x−2)2=1⇔(x−2)2=1⇔x=12 - (x - 2)^2 = 1 \Leftrightarrow (x - 2)^2 = 1 \Leftrightarrow x = 1 sau x=3x = 3
c)5 puncte
5
2 puncte
Cum m∗n∗p=2+(m−2)(n−2)(p−2)m \ast n \ast p = 2 + (m - 2)(n - 2)(p - 2), obținem (m−2)(n−2)(p−2)=0(m - 2)(n - 2)(p - 2) = 0
6
3 puncte
m=2m = 2 sau n=2n = 2 sau p=2p = 2, deci produsul numerelor mm, nn și pp este divizibil cu 22

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ex+ln⁡x+1f(x) = e^x + \ln x + 1. a) Arătați că f′(x)=ex+1xf'(x) = e^x + \dfrac{1}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=1x = 1, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că ecuația f(x)=0f(x) = 0 are soluție unică în intervalul (0,1)(0, 1).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
f′(x)=(ex)′+(ln⁡x)′+1′=f'(x) = (e^x)' + (\ln x)' + 1' =
2
3 puncte
=ex+1x+0=ex+1x= e^x + \dfrac{1}{x} + 0 = e^x + \dfrac{1}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
f(1)=e+1f(1) = e + 1, f′(1)=e+1f'(1) = e + 1
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(1)=f′(1)(x−1)y - f(1) = f'(1)(x - 1), adică y=(e+1)xy = (e + 1)x
c)5 puncte
5
2 puncte
f′(x)>0f'(x) > 0 pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), deci ff este strict crescătoare pe (0,+∞)(0, +\infty)
6
3 puncte
Cum lim⁡x→0x>0f(x)=lim⁡x→0x>0(ex+ln⁡x+1)=−∞\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} (e^x + \ln x + 1) = -\infty, f(1)>0f(1) > 0 și ff este continuă, atunci ecuația f(x)=0f(x) = 0 are soluție unică în intervalul (0,1)(0, 1)
Exercițiul 2
Pentru fiecare număr natural nn, se consideră numărul In=∫01xn+1x+3 dxI_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^{n+1}}{x + 3} \, dx. a) Arătați că I0=1+3ln⁡34I_0 = 1 + 3\ln\dfrac{3}{4}. b) Demonstrați că In+1+3In=1n+2I_{n+1} + 3I_n = \dfrac{1}{n + 2}, pentru orice număr natural nn. c) Arătați că lim⁡n→+∞nIn=14\displaystyle\lim_{n \to +\infty} nI_n = \dfrac{1}{4}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
I0=∫01xx+3 dx=∫01(1−3x+3)dx=(x−3ln⁡(x+3))∣01=I_0 = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x}{x + 3} \, dx = \int_0^1 \left(1 - \dfrac{3}{x + 3}\right) dx = \left.(x - 3\ln(x + 3))\right|_0^1 =
2
2 puncte
=1−3ln⁡4+3ln⁡3=1+3ln⁡34= 1 - 3\ln 4 + 3\ln 3 = 1 + 3\ln\dfrac{3}{4}
b)5 puncte
3
3 puncte
In+1+3In=∫01xn+2+3xn+1x+3 dx=∫01xn+1(x+3)x+3 dx=∫01xn+1 dx=I_{n+1} + 3I_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^{n+2} + 3x^{n+1}}{x + 3} \, dx = \int_0^1 \dfrac{x^{n+1}(x + 3)}{x + 3} \, dx = \int_0^1 x^{n+1} \, dx =
4
2 puncte
=xn+2n+2∣01=1n+2= \left.\dfrac{x^{n+2}}{n + 2}\right|_0^1 = \dfrac{1}{n + 2}, pentru orice număr natural nn
c)5 puncte
5
2 puncte
nIn=n∫01xn+1x+3 dx=∫01(xn)′⋅x2x+3 dx=xn⋅x2x+3∣01−∫01xn⋅x2+6x(x+3)2 dx=14−∫01xn(1−9(x+3)2)dxnI_n = n\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^{n+1}}{x + 3} \, dx = \int_0^1 (x^n)' \cdot \dfrac{x^2}{x + 3} \, dx = x^n \cdot \dfrac{x^2}{x + 3}\bigg|_0^1 - \int_0^1 x^n \cdot \dfrac{x^2 + 6x}{(x + 3)^2} \, dx = \dfrac{1}{4} - \int_0^1 x^n \left(1 - \dfrac{9}{(x + 3)^2}\right) dx, pentru orice număr natural nenul nn
6
3 puncte
Cum 0≤∫01xn(1−9(x+3)2)dx≤∫01xn dx=1n+10 \leq \displaystyle\int_0^1 x^n \left(1 - \dfrac{9}{(x + 3)^2}\right) dx \leq \int_0^1 x^n \, dx = \dfrac{1}{n + 1} pentru orice număr natural nenul nn, obținem lim⁡n→+∞nIn=14\displaystyle\lim_{n \to +\infty} nI_n = \dfrac{1}{4}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2016 — Tehnologic (Varianta 01)

Următor →

Bac Vară Rezervă 2016 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac