BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2016 — Tehnologic (Varianta 01)

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 1−14:0,25=01 - \dfrac{1}{4} : 0{,}25 = 0.

Rezolvare

1
3 puncte
14:0,25=1\dfrac{1}{4} : 0{,}25 = 1
2
2 puncte
1−14:0,25=1−1=01 - \dfrac{1}{4} : 0{,}25 = 1 - 1 = 0
Exercițiul 2
Calculați f(−1)⋅f(1)f(-1) \cdot f(1), unde f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+1f(x) = x + 1.

Rezolvare

1
3 puncte
f(−1)=0f(-1) = 0
2
2 puncte
f(−1)⋅f(1)=0f(-1) \cdot f(1) = 0
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x−3=5\sqrt{2x - 3} = 5.

Rezolvare

1
3 puncte
2x−3=252x - 3 = 25
2
2 puncte
x=14x = 14, care verifică ecuația
Exercițiul 4
Un obiect costă 100100 de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu 20%20\%.

Rezolvare

1
3 puncte
20%20\% din 100100 este egal cu 20100⋅100=20\dfrac{20}{100} \cdot 100 = 20
2
2 puncte
Prețul după scumpire este 100+20=120100 + 20 = 120 de lei
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,4)A(2, 4) și B(5,4)B(5, 4). Calculați distanța de la punctul AA la punctul BB.

Rezolvare

1
3 puncte
AB=(5−2)2+(4−4)2AB = \sqrt{(5 - 2)^2 + (4 - 4)^2}
2
2 puncte
=3= 3
Exercițiul 6
Calculați lungimea laturii ABAB a triunghiului ABCABC, dreptunghic în AA, știind că AC=6AC = 6 și B=π4B = \dfrac{\pi}{4}.

Rezolvare

1
3 puncte
△ABC\triangle ABC este isoscel ⇒AB=AC\Rightarrow AB = AC
2
2 puncte
=6= 6

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(121−2)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} și B=(x1y−1)B = \begin{pmatrix} x & 1 \\ y & -1 \end{pmatrix}, unde xx și yy sunt numere reale. a) Arătați că det⁡A=−4\det A = -4. b) Arătați că det⁡(A−2B)=0\det(A - 2B) = 0, pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați numerele reale xx și yy, pentru care A⋅B=B⋅AA \cdot B = B \cdot A.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡A=∣121−2∣=1⋅(−2)−1⋅2\det A = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) - 1 \cdot 2
2
2 puncte
=−2−2=−4= -2 - 2 = -4
b)5 puncte
3
2 puncte
b) A−2B=(121−2)−(2x22y−2)=(1−2x01−2y0)A - 2B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2x & 2 \\ 2y & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 2x & 0 \\ 1 - 2y & 0 \end{pmatrix}
4
3 puncte
det⁡(A−2B)=∣1−2x01−2y0∣=0\det(A - 2B) = \begin{vmatrix} 1 - 2x & 0 \\ 1 - 2y & 0 \end{vmatrix} = 0, pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
2 puncte
c) A⋅B=(x+2y−1x−2y3)A \cdot B = \begin{pmatrix} x + 2y & -1 \\ x - 2y & 3 \end{pmatrix}, B⋅A=(x+12x−2y−12y+2)B \cdot A = \begin{pmatrix} x + 1 & 2x - 2 \\ y - 1 & 2y + 2 \end{pmatrix}
6
3 puncte
(x+2y−1x−2y3)=(x+12x−2y−12y+2)\begin{pmatrix} x + 2y & -1 \\ x - 2y & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 1 & 2x - 2 \\ y - 1 & 2y + 2 \end{pmatrix}, de unde obținem x=12x = \dfrac{1}{2}, y=12y = \dfrac{1}{2}
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+2x+2y+2x \circ y = xy + 2x + 2y + 2. a) Arătați că 1∘(−2)=−21 \circ (-2) = -2. b) Demonstrați că x∘y=(x+2)(y+2)−2x \circ y = (x + 2)(y + 2) - 2, pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați numerele reale nenule xx, pentru care x∘1x=xx \circ \dfrac{1}{x} = x.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 1∘(−2)=1⋅(−2)+2⋅1+2⋅(−2)+21 \circ (-2) = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + 2
2
2 puncte
=−2+2−4+2=−2= -2 + 2 - 4 + 2 = -2
b)5 puncte
3
3 puncte
b) x∘y=xy+2x+2y+4−2x \circ y = xy + 2x + 2y + 4 - 2
4
2 puncte
=x(y+2)+2(y+2)−2=(x+2)(y+2)−2= x(y + 2) + 2(y + 2) - 2 = (x + 2)(y + 2) - 2, pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
3 puncte
c) (x+2) ⁣(1x+2)−2=x⇔(x+2) ⁣(1x+2)=x+2⇔(x+2) ⁣(1x+1)=0(x + 2)\!\left(\dfrac{1}{x} + 2\right) - 2 = x \Leftrightarrow (x + 2)\!\left(\dfrac{1}{x} + 2\right) = x + 2 \Leftrightarrow (x + 2)\!\left(\dfrac{1}{x} + 1\right) = 0
6
2 puncte
x=−2x = -2 sau x=−1x = -1

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3+x2−x+1f(x) = x^3 + x^2 - x + 1. a) Arătați că f′(x)=3x2+2x−1f'(x) = 3x^2 + 2x - 1, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Arătați că lim⁡x→+∞x⋅f′(x)f(x)=3\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x \cdot f'(x)}{f(x)} = 3. c) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției ff în care tangenta la graficul funcției ff este paralelă cu dreapta y=4x+1y = 4x + 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=(x3)′+(x2)′−x′+1′f'(x) = (x^3)' + (x^2)' - x' + 1'
2
3 puncte
=3x2+2x−1+0=3x2+2x−1= 3x^2 + 2x - 1 + 0 = 3x^2 + 2x - 1, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→+∞x⋅f′(x)f(x)=lim⁡x→+∞3x3+2x2−xx3+x2−x+1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x \cdot f'(x)}{f(x)} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^3 + 2x^2 - x}{x^3 + x^2 - x + 1}
4
3 puncte
=lim⁡x→+∞3+2x−1x21+1x−1x2+1x3=3= \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2}}{1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x^3}} = 3
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)=4f'(x) = 4
6
3 puncte
3x2+2x−5=0⇔x=−533x^2 + 2x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = -\dfrac{5}{3} sau x=1x = 1
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x5+x3+2xf(x) = x^5 + x^3 + 2x. a) Arătați că ∫−11(f(x)−x3−2x) dx=0\displaystyle\int_{-1}^1 \big(f(x) - x^3 - 2x\big)\, dx = 0. b) Arătați că ∫02ex(f(x)−x5−x3+1) dx=3e2+1\displaystyle\int_0^2 e^x\big(f(x) - x^5 - x^3 + 1\big)\, dx = 3e^2 + 1. c) Demonstrați că orice primitivă a funcției ff este convexă pe R\mathbb{R}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) ∫−11(f(x)−x3−2x) dx=∫−11(x5+x3+2x−x3−2x) dx=∫−11x5 dx\displaystyle\int_{-1}^1 (f(x) - x^3 - 2x)\, dx = \int_{-1}^1 (x^5 + x^3 + 2x - x^3 - 2x)\, dx = \int_{-1}^1 x^5\, dx
2
3 puncte
=x66∣−11=16−16=0= \left.\dfrac{x^6}{6}\right|_{-1}^1 = \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{6} = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫02ex(f(x)−x5−x3+1) dx=∫02ex(2x+1) dx=ex(2x+1)∣02−∫022ex dx\displaystyle\int_0^2 e^x(f(x) - x^5 - x^3 + 1)\, dx = \int_0^2 e^x(2x + 1)\, dx = \left. e^x(2x + 1) \right|_0^2 - \int_0^2 2e^x\, dx
4
2 puncte
=5e2−1−2(e2−1)=3e2+1= 5e^2 - 1 - 2(e^2 - 1) = 3e^2 + 1
c)5 puncte
5
2 puncte
c) FF este o primitivă a funcției f⇒F′(x)=f(x)f \Rightarrow F'(x) = f(x), x∈Rx \in \mathbb{R}
6
3 puncte
F′′(x)=f′(x)=5x4+3x2+2≥0F''(x) = f'(x) = 5x^4 + 3x^2 + 2 \geq 0, pentru orice număr real xx, deci FF este convexă pe R\mathbb{R}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2016 — Științele Naturii (Varianta 01)

Următor →

Bac Vară Rezervă 2016 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac