BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară Rezervă 2016 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (13−14):112=1\left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}\right) : \dfrac{1}{12} = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
13−14=112\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12}
2
2 puncte
112:112=1\dfrac{1}{12} : \dfrac{1}{12} = 1
Exercițiul 2
Arătați că 4(x1+x2)−3x1x2=24(x_1 + x_2) - 3x_1 x_2 = 2, unde x1x_1 și x2x_2 sunt soluțiile ecuației x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0.

Rezolvare

1
2 puncte
x1+x2=5x_1 + x_2 = 5, x1x2=6x_1 x_2 = 6
2
3 puncte
4(x1+x2)−3x1x2=4⋅5−3⋅6=24(x_1 + x_2) - 3x_1 x_2 = 4 \cdot 5 - 3 \cdot 6 = 2
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x−1=2\sqrt{x - 1} = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
x−1=4x - 1 = 4
2
2 puncte
x=5x = 5, care verifică ecuația
Exercițiul 4
După o ieftinire cu 10%10\%, prețul unui obiect este 9090 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de ieftinire.

Rezolvare

1
3 puncte
p−10%⋅p=90p - 10\% \cdot p = 90, unde pp este prețul obiectului înainte de ieftinire
2
2 puncte
p=100p = 100 de lei
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(5,1)A(5,1) și B(3,1)B(3,1). Calculați lungimea segmentului ABAB.

Rezolvare

1
3 puncte
AB=(3−5)2+(1−1)2AB = \sqrt{(3 - 5)^2 + (1 - 1)^2}
2
2 puncte
=2= 2
Exercițiul 6
Dacă x∈(0,π2)x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right) și cos⁡x=45\cos x = \dfrac{4}{5}, arătați că sin⁡x=35\sin x = \dfrac{3}{5}.

Rezolvare

1
3 puncte
sin⁡2x=1−cos⁡2x=1−(45)2=925\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 = \dfrac{9}{25}
2
2 puncte
Cum x∈(0,π2)x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right), obținem sin⁡x=35\sin x = \dfrac{3}{5}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(2332)A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} și B=(x11x)B = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡A=−5\det A = -5. b) Arătați că A⋅B=B⋅AA \cdot B = B \cdot A, pentru orice număr real xx. c) Determinați numărul real xx, pentru care A⋅A−3(A+B)=I2A \cdot A - 3(A + B) = I_2, unde I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡A=∣2332∣=2⋅2−3⋅3\det A = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - 3 \cdot 3
2
2 puncte
=4−9=−5= 4 - 9 = -5
b)5 puncte
3
2 puncte
b) A⋅B=(2x+32+3x3x+23+2x)A \cdot B = \begin{pmatrix} 2x + 3 & 2 + 3x \\ 3x + 2 & 3 + 2x \end{pmatrix}
4
3 puncte
B⋅A=(2x+33x+22+3x3+2x)=A⋅BB \cdot A = \begin{pmatrix} 2x + 3 & 3x + 2 \\ 2 + 3x & 3 + 2x \end{pmatrix} = A \cdot B, pentru orice număr real xx
c)5 puncte
5
2 puncte
c) A⋅A=(13121213)A \cdot A = \begin{pmatrix} 13 & 12 \\ 12 & 13 \end{pmatrix}, A+B=(2+x442+x)A + B = \begin{pmatrix} 2 + x & 4 \\ 4 & 2 + x \end{pmatrix}
6
3 puncte
A⋅A−3(A+B)=I2⇔(13−3(2+x)12−1212−1213−3(2+x))=(1001)A \cdot A - 3(A + B) = I_2 \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 13 - 3(2 + x) & 12 - 12 \\ 12 - 12 & 13 - 3(2 + x) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, de unde obținem x=2x = 2
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=13xy+x+yx \ast y = \dfrac{1}{3}xy + x + y. a) Arătați că 1∗(−3)=−31 \ast (-3) = -3. b) Demonstrați că x∗y=13(x+3)(y+3)−3x \ast y = \dfrac{1}{3}(x + 3)(y + 3) - 3, pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați numerele reale nenule xx, pentru care x∗1x=−3x \ast \dfrac{1}{x} = -3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 1∗(−3)=13⋅1⋅(−3)+1+(−3)1 \ast (-3) = \dfrac{1}{3} \cdot 1 \cdot (-3) + 1 + (-3)
2
2 puncte
=−1+1+(−3)=−3= -1 + 1 + (-3) = -3
b)5 puncte
3
3 puncte
b) x∗y=13xy+x+y+3−3=13(xy+3x+3y+9)−3x \ast y = \dfrac{1}{3}xy + x + y + 3 - 3 = \dfrac{1}{3}(xy + 3x + 3y + 9) - 3
4
2 puncte
=13(x(y+3)+3(y+3))−3=13(x+3)(y+3)−3= \dfrac{1}{3}(x(y + 3) + 3(y + 3)) - 3 = \dfrac{1}{3}(x + 3)(y + 3) - 3, pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
3 puncte
c) 13(x+3)(1x+3)−3=−3⇔(x+3)(1x+3)=0\dfrac{1}{3}(x + 3)\left(\dfrac{1}{x} + 3\right) - 3 = -3 \Leftrightarrow (x + 3)\left(\dfrac{1}{x} + 3\right) = 0
6
2 puncte
x=−3x = -3 sau x=−13x = -\dfrac{1}{3}

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x. a) Arătați că f′(x)=3(x−1)(x+1)f'(x) = 3(x - 1)(x + 1), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Arătați că lim⁡x→0f(x)+3xx=0\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) + 3x}{x} = 0. c) Demonstrați că f(x)≥−2f(x) \geq -2, pentru orice x∈[−1,+∞)x \in [-1, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3
2
2 puncte
=3(x2−1)=3(x−1)(x+1)= 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1), x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→0f(x)+3xx=lim⁡x→0x3x\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) + 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x^3}{x}
4
3 puncte
=lim⁡x→0x2=0= \displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 = 0
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)=0⇔x=−1f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1 sau x=1x = 1
6
1 punct
x∈[−1,1]⇒f′(x)≤0x \in [-1, 1] \Rightarrow f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe [−1,1][-1, 1]
7
1 punct
x∈[1,+∞)⇒f′(x)≥0x \in [1, +\infty) \Rightarrow f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty)
8
1 punct
Cum f(1)=−2f(1) = -2, obținem f(x)≥−2f(x) \geq -2, pentru orice x∈[−1,+∞)x \in [-1, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x4+x+1f(x) = x^4 + x + 1. a) Arătați că ∫01(f(x)−x−1) dx=15\displaystyle\int_0^1 (f(x) - x - 1) \, dx = \dfrac{1}{5}. b) Arătați că ∫1e(f(x)−x4−1)ln⁡x dx=e2+14\displaystyle\int_1^e (f(x) - x^4 - 1) \ln x \, dx = \dfrac{e^2 + 1}{4}. c) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x = 0 și x=1x = 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) ∫01(f(x)−x−1) dx=∫01(x4+x+1−x−1) dx=∫01x4 dx\displaystyle\int_0^1 (f(x) - x - 1) \, dx = \int_0^1 (x^4 + x + 1 - x - 1) \, dx = \int_0^1 x^4 \, dx
2
3 puncte
=x55∣01=15−0=15= \left. \dfrac{x^5}{5} \right|_0^1 = \dfrac{1}{5} - 0 = \dfrac{1}{5}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫1e(f(x)−x4−1)ln⁡x dx=∫1exln⁡x dx=x22ln⁡x∣1e−∫1ex22⋅1x dx\displaystyle\int_1^e (f(x) - x^4 - 1) \ln x \, dx = \int_1^e x \ln x \, dx = \dfrac{x^2}{2} \ln x \bigg|_1^e - \int_1^e \dfrac{x^2}{2} \cdot \dfrac{1}{x} \, dx
4
2 puncte
=e22−12∫1ex dx=e22−e24+14=e2+14= \dfrac{e^2}{2} - \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_1^e x \, dx = \dfrac{e^2}{2} - \dfrac{e^2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{e^2 + 1}{4}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A=∫01∣f(x)∣ dx=∫01(x4+x+1) dx=x55∣01+x22∣01+x∣01\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 |f(x)| \, dx = \int_0^1 (x^4 + x + 1) \, dx = \left. \dfrac{x^5}{5} \right|_0^1 + \left. \dfrac{x^2}{2} \right|_0^1 + \left. x \right|_0^1
6
2 puncte
=15+12+1=1710= \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{17}{10}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară Rezervă 2016 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Toamnă 2016 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac