BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară Rezervă 2017 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (2−12):12=3\left(2 - \dfrac{1}{2}\right) : \dfrac{1}{2} = 3.

Rezolvare

1
2 puncte
2−12=322 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}
2
3 puncte
32:12=32⋅21=3\dfrac{3}{2} : \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{2}{1} = 3
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1. Calculați f(−1)⋅f(1)f(-1) \cdot f(1).

Rezolvare

1
2 puncte
f(−1)=2f(-1) = 2
2
3 puncte
f(1)=2⇒f(−1)⋅f(1)=4f(1) = 2 \Rightarrow f(-1) \cdot f(1) = 4
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 32x+2=93^{2x+2} = 9.

Rezolvare

1
3 puncte
2x+2=22x + 2 = 2
2
2 puncte
x=0x = 0
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={11,22,33,44,55,66,77,88,99}A = \{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99\}, acesta să fie multiplu de 22.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea AA are 99 elemente, deci sunt 99 cazuri posibile
2
2 puncte
Multiplii de 22 din mulțimea AA sunt 2222, 4444, 6666 și 8888, deci sunt 44 cazuri favorabile
3
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=49p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{4}{9}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,1)A(2, 1) și B(2,−1)B(2, -1). Arătați că AO=OBAO = OB.

Rezolvare

1
2 puncte
AO=5AO = \sqrt{5}
2
3 puncte
BO=5⇒AO=BOBO = \sqrt{5} \Rightarrow AO = BO
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡245°−cos⁡260°=14\sin^2 45° - \cos^2 60° = \dfrac{1}{4}.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡45°=22\sin 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡60°=12\cos 60° = \dfrac{1}{2}
2
3 puncte
sin⁡245°−cos⁡260°=(22)2−(12)2=24−14=14\sin^2 45° - \cos^2 60° = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{2}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(1331)A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} și B=(022x)B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & x \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡A=−8\det A = -8. b) Arătați că A⋅A−2A=8I2A \cdot A - 2A = 8I_2, unde I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. c) Demonstrați că det⁡(A⋅B−B⋅A)≥0\det(A \cdot B - B \cdot A) \geq 0, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
det⁡A=∣1331∣=1⋅1−3⋅3=\det A = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 3 \cdot 3 =
2
2 puncte
=1−9=−8= 1 - 9 = -8
b)5 puncte
3
3 puncte
A⋅A=(106610)A \cdot A = \begin{pmatrix} 10 & 6 \\ 6 & 10 \end{pmatrix}, 2A=(2662)2A = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 6 & 2 \end{pmatrix}
4
2 puncte
A⋅A−2A=(106610)−(2662)=(8008)=8⋅(1001)=8I2A \cdot A - 2A = \begin{pmatrix} 10 & 6 \\ 6 & 10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 6 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix} = 8 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 8I_2
c)5 puncte
5
2 puncte
A⋅B=(62+3x26+x)A \cdot B = \begin{pmatrix} 6 & 2 + 3x \\ 2 & 6 + x \end{pmatrix}, B⋅A=(622+3x6+x)B \cdot A = \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 2 + 3x & 6 + x \end{pmatrix}, deci A⋅B−B⋅A=(03x−3x0)A \cdot B - B \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 3x \\ -3x & 0 \end{pmatrix}
6
3 puncte
det⁡(A⋅B−B⋅A)=∣03x−3x0∣=9x2≥0\det(A \cdot B - B \cdot A) = \begin{vmatrix} 0 & 3x \\ -3x & 0 \end{vmatrix} = 9x^2 \geq 0, pentru orice număr real xx
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=2X3+3X2−X−2f = 2X^3 + 3X^2 - X - 2. a) Arătați că f(1)=2f(1) = 2. b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului ff la polinomul X+1X + 1. c) Determinați rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f(1)=2⋅13+3⋅12−1−2=f(1) = 2 \cdot 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 1 - 2 =
2
2 puncte
=2+3−1−2=2= 2 + 3 - 1 - 2 = 2
b)5 puncte
3
3 puncte
Câtul este 2X2+X−22X^2 + X - 2
4
2 puncte
Restul este 00
c)5 puncte
5
2 puncte
f=(X+1)(2X2+X−2)f = (X + 1)(2X^2 + X - 2)
6
3 puncte
x1=−1x_1 = -1, x2=−1−174x_2 = \dfrac{-1 - \sqrt{17}}{4} și x3=−1+174x_3 = \dfrac{-1 + \sqrt{17}}{4} sunt rădăcinile polinomului ff

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x4−2x2+12f(x) = x^4 - 2x^2 + 12. a) Arătați că f′(x)=4x(x−1)(x+1)f'(x) = 4x(x - 1)(x + 1), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Arătați că lim⁡x→+∞x2+1f(x)−x4=−12\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 + 1}{f(x) - x^4} = -\dfrac{1}{2}. c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=1x = 1, situat pe graficul funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=4x3−4x=f'(x) = 4x^3 - 4x =
2
2 puncte
=4x(x2−1)=4x(x−1)(x+1)= 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1), x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
lim⁡x→+∞x2+1f(x)−x4=lim⁡x→+∞x2+1−2x2+12=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 + 1}{f(x) - x^4} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 + 1}{-2x^2 + 12} =
4
3 puncte
=lim⁡x→+∞1+1x2−2+12x2=−12= \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1 + \dfrac{1}{x^2}}{-2 + \dfrac{12}{x^2}} = -\dfrac{1}{2}
c)5 puncte
5
2 puncte
f(1)=11f(1) = 11, f′(1)=0f'(1) = 0
6
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(1)=f′(1)(x−1)y - f(1) = f'(1)(x - 1), adică y=11y = 11
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x2+2x−4f(x) = 3x^2 + 2x - 4. a) Arătați că ∫12(f(x)−2x+4) dx=7\displaystyle\int_1^2 (f(x) - 2x + 4) \, dx = 7. b) Determinați primitiva FF a funcției ff pentru care F(1)=2017F(1) = 2017. c) Determinați numărul real aa pentru care ∫1af(x) dx=a3−2\displaystyle\int_1^a f(x) \, dx = a^3 - 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
∫12(f(x)−2x+4) dx=∫12(3x2+2x−4−2x+4) dx=∫123x2 dx=\displaystyle\int_1^2 (f(x) - 2x + 4) \, dx = \int_1^2 (3x^2 + 2x - 4 - 2x + 4) \, dx = \int_1^2 3x^2 \, dx =
2
3 puncte
=x3∣12=8−1=7= \left. x^3 \right|_1^2 = 8 - 1 = 7
b)5 puncte
3
3 puncte
F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, F(x)=x3+x2−4x+cF(x) = x^3 + x^2 - 4x + c, unde c∈Rc \in \mathbb{R}
4
2 puncte
F(1)=2017⇒c=2019F(1) = 2017 \Rightarrow c = 2019, deci F(x)=x3+x2−4x+2019F(x) = x^3 + x^2 - 4x + 2019
c)5 puncte
5
3 puncte
∫1af(x) dx=(x3+x2−4x)∣1a=a3+a2−4a+2\displaystyle\int_1^a f(x) \, dx = \left.(x^3 + x^2 - 4x)\right|_1^a = a^3 + a^2 - 4a + 2
6
2 puncte
a3+a2−4a+2=a3−2⇔(a−2)2=0a^3 + a^2 - 4a + 2 = a^3 - 2 \Leftrightarrow (a - 2)^2 = 0, deci a=2a = 2

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară Rezervă 2017 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Toamnă 2017 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac