BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară Rezervă 2019 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei geometrice (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1}, știind că b1=1b_1 = 1 și b2=3b_2 = 3.

Rezolvare

1
3 puncte
q=3⇒b3=9q = 3 \Rightarrow b_3 = 9
2
2 puncte
b1+b2+b3=1+3+9=13b_1 + b_2 + b_3 = 1 + 3 + 9 = 13
Exercițiul 2
Se consideră x1x_1 și x2x_2 soluțiile ecuației x2+mx+7=0x^2 + mx + 7 = 0, unde mm este număr real. Determinați numărul real mm pentru care 2x1+2x2+3x1x2=12x_1 + 2x_2 + 3x_1 x_2 = 1.

Rezolvare

1
2 puncte
x1+x2=−mx_1 + x_2 = -m, x1x2=7x_1 x_2 = 7
2
3 puncte
−2m+21=1-2m + 21 = 1, deci m=10m = 10
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x−2)+log⁡2(x+2)=5\log_2(x - 2) + \log_2(x + 2) = 5.

Rezolvare

1
3 puncte
(x−2)(x+2)=25⇒x2−36=0(x - 2)(x + 2) = 2^5 \Rightarrow x^2 - 36 = 0
2
2 puncte
x=−6x = -6, care nu convine, x=6x = 6, care convine
Exercițiul 4
Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\}.

Rezolvare

1
2 puncte
Prima cifră se poate alege în 55 moduri; pentru fiecare alegere a primei cifre, a doua cifră se poate alege în câte 44 moduri
2
3 puncte
Pentru fiecare alegere a primelor două cifre, a treia cifră se poate alege în câte 33 moduri, deci se pot forma 5⋅4⋅3=605 \cdot 4 \cdot 3 = 60 de numere
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,6)A(2, 6) și B(6,2)B(6, 2). Determinați coordonatele punctului MM, știind că AM→=MB→\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}.

Rezolvare

1
3 puncte
Punctul MM este mijlocul segmentului ABAB
2
2 puncte
xM=4x_M = 4, yM=4y_M = 4
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC cu AB=33AB = 3\sqrt{3}, AC=4AC = 4 și A=2π3A = \dfrac{2\pi}{3}. Arătați că aria triunghiului ABCABC este egală cu 99.

Rezolvare

1
3 puncte
A△ABC=AB⋅AC⋅sin⁡2π32=33⋅4⋅322=\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \dfrac{AB \cdot AC \cdot \sin \frac{2\pi}{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} =
2
2 puncte
=12⋅34=9= \dfrac{12 \cdot 3}{4} = 9

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(a111−a−111a)A(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & -a & -1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+y+z=1x−ay−z=1x+y+az=2\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x - ay - z = 1 \\ x + y + az = 2 \end{cases}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=0\det(A(0)) = 0. b) Demonstrați că det⁡(A(a))=a(1−a)(1+a)\det(A(a)) = a(1 - a)(1 + a), pentru orice număr real aa. c) Pentru a=0a = 0, demonstrați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții de forma (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) cu x0x_0, y0y_0 și z0z_0 numere întregi.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
A(0)=(01110−1110)⇒det⁡(A(0))=∣01110−1110∣=A(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=0+1+(−1)−0−0−0=0= 0 + 1 + (-1) - 0 - 0 - 0 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
det⁡(A(a))=∣a111−a−111a∣=−a3+a=\det(A(a)) = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & -a & -1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = -a^3 + a =
4
2 puncte
=a(1−a2)=a(1−a)(1+a)= a(1 - a^2) = a(1 - a)(1 + a), pentru orice număr real aa
c)5 puncte
5
3 puncte
Pentru a=0a = 0, sistemul este compatibil nedeterminat și soluțiile sistemului sunt de forma (1+α,1−α,α)(1 + \alpha, 1 - \alpha, \alpha), unde α∈R\alpha \in \mathbb{R}
6
2 puncte
Pentru orice α\alpha număr întreg, numerele x0=1+αx_0 = 1 + \alpha, y0=1−αy_0 = 1 - \alpha și z0=αz_0 = \alpha sunt întregi
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x−2019)(y−2019)+2019x * y = (x - 2019)(y - 2019) + 2019. a) Arătați că x∗2019=2019x * 2019 = 2019, pentru orice număr real xx. b) Determinați numerele reale xx, știind că (x∗x)∗x=x(x * x) * x = x. c) Determinați perechile de numere întregi mm și nn pentru care m∗n=2020m * n = 2020.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
x∗2019=(x−2019)(2019−2019)+2019=x * 2019 = (x - 2019)(2019 - 2019) + 2019 =
2
2 puncte
=0+2019=2019= 0 + 2019 = 2019, pentru orice număr real xx
b)5 puncte
3
2 puncte
x∗x=(x−2019)2+2019x * x = (x - 2019)^2 + 2019, (x∗x)∗x=(x−2019)3+2019(x * x) * x = (x - 2019)^3 + 2019
4
3 puncte
(x−2019)3+2019=x⇔(x−2019)((x−2019)2−1)=0(x - 2019)^3 + 2019 = x \Leftrightarrow (x - 2019)((x - 2019)^2 - 1) = 0, deci x=2018x = 2018 sau x=2019x = 2019 sau x=2020x = 2020
c)5 puncte
5
2 puncte
(m−2019)(n−2019)+2019=2020⇔(m−2019)(n−2019)=1(m - 2019)(n - 2019) + 2019 = 2020 \Leftrightarrow (m - 2019)(n - 2019) = 1
6
3 puncte
Cum mm și nn sunt numere întregi, obținem m=2018m = 2018, n=2018n = 2018 sau m=2020m = 2020, n=2020n = 2020

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡xf(x) = \sqrt{x} - \ln x. a) Arătați că f′(x)=x−22xf'(x) = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{2x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff, în punctul de abscisă x=1x = 1, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că x−ln⁡x4≥2\sqrt{x} - \ln\dfrac{x}{4} \geq 2, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=12x−1x=f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - \dfrac{1}{x} =
2
2 puncte
=x2x−1x=x−22x= \dfrac{\sqrt{x}}{2x} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{2x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
f(1)=1f(1) = 1, f′(1)=−12f'(1) = -\dfrac{1}{2}
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(1)=f′(1)(x−1)y - f(1) = f'(1)(x - 1), adică y=−12x+32y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}
c)5 puncte
5
2 puncte
f′(x)=0⇔x=4f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 4; x∈(0,4]⇒f′(x)≤0x \in (0, 4] \Rightarrow f'(x) \leq 0, deci ff descrescătoare pe (0,4](0, 4] și x∈[4,+∞)⇒f′(x)≥0x \in [4, +\infty) \Rightarrow f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe [4,+∞)[4, +\infty)
6
3 puncte
Cum f(4)=2−ln⁡4f(4) = 2 - \ln 4, obținem f(x)≥2−ln⁡4f(x) \geq 2 - \ln 4, deci x−ln⁡x4≥2\sqrt{x} - \ln\dfrac{x}{4} \geq 2, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2x2+9f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 + 9}. a) Arătați că ∫01(x2+9)f(x) dx=13\displaystyle\int_0^1 (x^2 + 9) f(x)\, dx = \dfrac{1}{3}. b) Demonstrați că orice primitivă a funcției ff are un singur punct de inflexiune. c) Pentru fiecare număr natural nenul nn, se consideră In=∫01x2nf(x) dxI_n = \displaystyle\int_0^1 x^{2n} f(x)\, dx. Arătați că lim⁡n→+∞In=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫01(x2+9)f(x) dx=∫01x2 dx=x33∣01=\displaystyle\int_0^1 (x^2 + 9) f(x)\, dx = \int_0^1 x^2\, dx = \left.\dfrac{x^3}{3}\right|_0^1 =
2
2 puncte
=13−0=13= \dfrac{1}{3} - 0 = \dfrac{1}{3}
b)5 puncte
3
2 puncte
F′(x)=f(x)=x2x2+9F'(x) = f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 + 9}, F′′(x)=f′(x)=18x(x2+9)2F''(x) = f'(x) = \dfrac{18x}{(x^2 + 9)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}, unde funcția F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R} este o primitivă a lui ff
4
3 puncte
F′′(x)=0⇔x=0F''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0; x∈(−∞,0)⇒F′′(x)<0x \in (-\infty, 0) \Rightarrow F''(x) < 0 și x∈(0,+∞)⇒F′′(x)>0x \in (0, +\infty) \Rightarrow F''(x) > 0, deci FF are un singur punct de inflexiune
c)5 puncte
5
2 puncte
x∈[0,1]⇒x2n≥0x \in [0, 1] \Rightarrow x^{2n} \geq 0 și, cum 0≤f(x)≤10 \leq f(x) \leq 1, obținem 0≤x2nf(x)≤x2n0 \leq x^{2n} f(x) \leq x^{2n}
6
3 puncte
0≤In=∫01x2nf(x) dx≤∫01x2n dx=x2n+12n+1∣01=12n+10 \leq I_n = \displaystyle\int_0^1 x^{2n} f(x)\, dx \leq \int_0^1 x^{2n}\, dx = \left.\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}\right|_0^1 = \dfrac{1}{2n+1} și lim⁡n→+∞12n+1=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2n+1} = 0, deci lim⁡n→+∞In=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n = 0

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2019 — Tehnologic (Varianta 8)

Următor →

Bac Toamnă 2019 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac