BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară Rezervă 2021 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați termenul b4b_4 al progresiei geometrice (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1}, știind că b5=6b_5 = 6 și b6=18b_6 = 18.

Rezolvare

1
3 puncte
b52=b4b6⇒36=18b4b_5^2 = b_4 b_6 \Rightarrow 36 = 18 b_4
2
2 puncte
b4=2b_4 = 2
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+x−4f(x) = x^2 + x - 4. Determinați numerele reale mm, știind că f(m)=mf(m) = m.

Rezolvare

1
3 puncte
m2+m−4=m⇔m2−4=0m^2 + m - 4 = m \Leftrightarrow m^2 - 4 = 0
2
2 puncte
m=−2m = -2 sau m=2m = 2
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 100⋅102x=103x100 \cdot 10^{2x} = 10^{3x}.

Rezolvare

1
3 puncte
102x+2=103x⇔2x+2=3x10^{2x+2} = 10^{3x} \Leftrightarrow 2x + 2 = 3x
2
2 puncte
x=2x = 2
Exercițiul 4
Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, se pot forma cu cifre din mulțimea {0,1,2,3,4}\{0, 1, 2, 3, 4\}.

Rezolvare

1
2 puncte
Cifra unităților, fiind pară, se poate alege în 33 moduri
2
3 puncte
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor, fiind nenulă, se poate alege în câte 44 moduri, deci se pot forma 3⋅4=123 \cdot 4 = 12 numere
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(−4,0)A(-4, 0), B(4,0)B(4, 0) și C(0,4)C(0, 4). Determinați coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABCABC.

Rezolvare

1
3 puncte
OA=4OA = 4, OB=4OB = 4, OC=4OC = 4
2
2 puncte
Centrul cercului circumscris △ABC\triangle ABC are coordonatele x=0x = 0, y=0y = 0
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡2x=1\sin 2x = 1, știind că tg⁡x=1\operatorname{tg} x = 1 și x∈(0,π2)x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right).

Rezolvare

1
2 puncte
Cum tg⁡x=1\operatorname{tg} x = 1 și x∈(0,π2)x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right), obținem x=π4x = \dfrac{\pi}{4}
2
3 puncte
sin⁡2x=sin⁡2π4=sin⁡π2=1\sin 2x = \sin \dfrac{2\pi}{4} = \sin \dfrac{\pi}{2} = 1

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(x+23−1x−2)A(x) = \begin{pmatrix} x + 2 & 3 \\ -1 & x - 2 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=−1\det(A(0)) = -1. b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui xx pentru care matricea A(x)A(x) este inversabilă. c) Se consideră numerele reale aa, bb și cc, astfel încât A(a)⋅A(b)=A(c)A(a) \cdot A(b) = A(c). Demonstrați că a2+b2+2c=3a^2 + b^2 + 2c = 3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
A(0)=(23−1−2)⇒det⁡(A(0))=∣23−1−2∣=2⋅(−2)−(−1)⋅3=A(0) = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-2) - (-1) \cdot 3 =
2
2 puncte
=−4+3=−1= -4 + 3 = -1
b)5 puncte
3
2 puncte
det⁡(A(x))=∣x+23−1x−2∣=x2−1\det(A(x)) = \begin{vmatrix} x+2 & 3 \\ -1 & x-2 \end{vmatrix} = x^2 - 1, pentru orice număr real xx
4
3 puncte
Matricea A(x)A(x) este inversabilă ⇔det⁡(A(x))≠0\Leftrightarrow \det(A(x)) \neq 0, deci x∈R∖{−1,1}x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}
c)5 puncte
5
3 puncte
A(a)⋅A(b)=A(c)⇔(ab+2a+2b+13a+3b−a−bab−2a−2b+1)=(c+23−1c−2)A(a) \cdot A(b) = A(c) \Leftrightarrow \begin{pmatrix} ab + 2a + 2b + 1 & 3a + 3b \\ -a - b & ab - 2a - 2b + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c + 2 & 3 \\ -1 & c - 2 \end{pmatrix} și a+b=1a + b = 1 și c=ab+1c = ab + 1
6
2 puncte
a2+b2+2c=a2+b2+2ab+2=(a+b)2+2=1+2=3a^2 + b^2 + 2c = a^2 + b^2 + 2ab + 2 = (a + b)^2 + 2 = 1 + 2 = 3
Exercițiul 2
Pe mulțimea M=[−1,1]M = [-1, 1] se definește legea de compoziție x∘y=x1−y2+y1−x2x \circ y = x\sqrt{1 - y^2} + y\sqrt{1 - x^2}. a) Arătați că 0∘1=10 \circ 1 = 1. b) Determinați x∈Mx \in M pentru care x∘x=0x \circ x = 0. c) Demonstrați că x∘1−x2=1x \circ \sqrt{1 - x^2} = 1, pentru orice x∈[0,1]x \in [0, 1].

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
0∘1=0⋅1−1+1⋅1−0=0 \circ 1 = 0 \cdot \sqrt{1 - 1} + 1 \cdot \sqrt{1 - 0} =
2
2 puncte
=0+1=1= 0 + 1 = 1
b)5 puncte
3
2 puncte
x∘x=2x1−x2x \circ x = 2x\sqrt{1 - x^2}, pentru orice x∈Mx \in M
4
3 puncte
2x1−x2=02x\sqrt{1 - x^2} = 0, deci x=−1x = -1, x=0x = 0 sau x=1x = 1, care convin
c)5 puncte
5
3 puncte
x∘1−x2=x1−(1−x2)+1−x2⋅1−x2=xx2+1−x2=x∣x∣+1−x2x \circ \sqrt{1 - x^2} = x\sqrt{1 - (1 - x^2)} + \sqrt{1 - x^2} \cdot \sqrt{1 - x^2} = x\sqrt{x^2} + 1 - x^2 = x|x| + 1 - x^2, pentru orice x∈Mx \in M
6
2 puncte
Cum ∣x∣=x|x| = x pentru orice x∈[0,1]x \in [0, 1], obținem x∘1−x2=x2+1−x2=1x \circ \sqrt{1 - x^2} = x^2 + 1 - x^2 = 1, pentru orice x∈[0,1]x \in [0, 1]

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ex+xln⁡x−1f(x) = e^x + x \ln x - 1. a) Arătați că f′(x)=ex+ln⁡x+1f'(x) = e^x + \ln x + 1, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=1x = 1, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că ex+xln⁡x≥e+12ln⁡12e^x + x \ln x \geq \sqrt{e} + \dfrac{1}{2} \ln \dfrac{1}{2}, pentru orice x∈[12,+∞)x \in \left[\dfrac{1}{2}, +\infty\right).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
f′(x)=(ex)′+x′⋅ln⁡x+x⋅(ln⁡x)′−1′=f'(x) = (e^x)' + x' \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)' - 1' =
2
3 puncte
=ex+1⋅ln⁡x+x⋅1x=ex+ln⁡x+1= e^x + 1 \cdot \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = e^x + \ln x + 1, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
f(1)=e−1f(1) = e - 1, f′(1)=e+1f'(1) = e + 1
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(1)=f′(1)(x−1)y - f(1) = f'(1)(x - 1), adică y=(e+1)x−2y = (e + 1)x - 2
c)5 puncte
5
3 puncte
x∈[12,+∞)⇒ln⁡x≥ln⁡12x \in \left[\dfrac{1}{2}, +\infty\right) \Rightarrow \ln x \geq \ln \dfrac{1}{2}, deci f′(x)=ex+ln⁡x+1≥ex+ln⁡12>e2>ex>0f'(x) = e^x + \ln x + 1 \geq e^x + \ln \dfrac{1}{2} > \dfrac{e}{2} > e^x > 0, de unde obținem că ff este crescătoare pe [12,+∞)\left[\dfrac{1}{2}, +\infty\right)
6
2 puncte
Pentru orice x∈[12,+∞)x \in \left[\dfrac{1}{2}, +\infty\right), f(x)≥f(12)f(x) \geq f\left(\dfrac{1}{2}\right), deci ex+xln⁡x−1≥e+12ln⁡12−1e^x + x \ln x - 1 \geq \sqrt{e} + \dfrac{1}{2} \ln \dfrac{1}{2} - 1, de unde obținem ex+xln⁡x≥e+12ln⁡12e^x + x \ln x \geq \sqrt{e} + \dfrac{1}{2} \ln \dfrac{1}{2}, pentru orice x∈[12,+∞)x \in \left[\dfrac{1}{2}, +\infty\right)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+2+xx2+2f(x) = \sqrt{x^2 + 2} + \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 2}}. a) Arătați că ∫01f(x)x2+2 dx=176\displaystyle\int_0^1 f(x) \sqrt{x^2 + 2}\, dx = \dfrac{17}{6}. b) Demonstrați că orice primitivă a funcției ff este crescătoare pe R\mathbb{R}. c) Se consideră funcția g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)−xx2+2g(x) = f(x) - \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 2}}. Determinați a∈(0,+∞)a \in (0, +\infty) pentru care ∫01g(x) dx=32+ln⁡a+32\displaystyle\int_0^1 g(x)\, dx = \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \ln \dfrac{a + \sqrt{3}}{\sqrt{2}}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫01f(x)x2+2 dx=∫01(x2+2+x) dx=(x33+2x+x22)∣01=\displaystyle\int_0^1 f(x) \sqrt{x^2 + 2}\, dx = \int_0^1 (x^2 + 2 + x)\, dx = \left(\dfrac{x^3}{3} + 2x + \dfrac{x^2}{2}\right)\Bigg|_0^1 =
2
2 puncte
=13+2+12=176= \dfrac{1}{3} + 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{6}
b)5 puncte
3
3 puncte
F′(x)=f(x)=x2+x+2x2+2F'(x) = f(x) = \dfrac{x^2 + x + 2}{\sqrt{x^2 + 2}}, unde F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R} este o primitivă a funcției ff
4
2 puncte
x2+x+2>0x^2 + x + 2 > 0, pentru orice număr real xx, deci F′(x)>0F'(x) > 0, pentru orice număr real xx, de unde obținem că FF este crescătoare pe R\mathbb{R}
c)5 puncte
5
3 puncte
∫01g(x) dx=∫01x′x2+2 dx=xx2+2∣01−∫01x⋅xx2+2 dx=3−∫01(x2+2−2x2+2)dx\displaystyle\int_0^1 g(x)\, dx = \int_0^1 x' \sqrt{x^2 + 2}\, dx = x\sqrt{x^2 + 2}\Big|_0^1 - \int_0^1 x \cdot \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 2}}\, dx = \sqrt{3} - \int_0^1 \left(\sqrt{x^2 + 2} - \dfrac{2}{\sqrt{x^2 + 2}}\right) dx, deci ∫01g(x) dx=12(3+2ln⁡(x+x2+2))∣01=32+ln⁡1+32\displaystyle\int_0^1 g(x)\, dx = \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{3} + 2\ln\left(x + \sqrt{x^2 + 2}\right)\right)\Bigg|_0^1 = \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \ln \dfrac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}}
6
2 puncte
32+ln⁡1+32=32+ln⁡a+32\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \ln \dfrac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \ln \dfrac{a + \sqrt{3}}{\sqrt{2}}, de unde obținem a=1a = 1, care convine

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2021 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Vară Rezervă 2021 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac