BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară Rezervă 2021 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 13⋅(1−25)+45=1\dfrac{1}{3} \cdot \left(1 - \dfrac{2}{5}\right) + \dfrac{4}{5} = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
13⋅(1−25)+45=13⋅35+45=\dfrac{1}{3} \cdot \left(1 - \dfrac{2}{5}\right) + \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5} =
2
2 puncte
=15+45=1= \dfrac{1}{5} + \dfrac{4}{5} = 1
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1. Arătați că f(1)⋅f(3)=5f(1) \cdot f(3) = 5.

Rezolvare

1
2 puncte
f(1)=1f(1) = 1
2
3 puncte
f(3)=5⇒f(1)⋅f(3)=1⋅5=5f(3) = 5 \Rightarrow f(1) \cdot f(3) = 1 \cdot 5 = 5
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x−6=2\sqrt{5x - 6} = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
5x−6=22⇒5x−6=45x - 6 = 2^2 \Rightarrow 5x - 6 = 4
2
2 puncte
x=2x = 2, care convine
Exercițiul 4
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de 2525.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile; în mulțimea numerelor naturale de două cifre, multiplii de 2525 sunt numerele 2525, 5050 și 7575, deci sunt 33 cazuri favorabile
2
3 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=390=130p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{3}{90} = \dfrac{1}{30}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(4,0)A(4, 0), B(0,2)B(0, 2) și C(0,−2)C(0, -2). Determinați distanța de la punctul AA la mijlocul segmentului BCBC.

Rezolvare

1
2 puncte
O(0,0)O(0, 0) este mijlocul segmentului BCBC
2
3 puncte
AO=4AO = 4
Exercițiul 6
Se consideră x∈(0,π2)x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right) astfel încât cos⁡x=14\cos x = \dfrac{1}{4}. Arătați că sin⁡x=154\sin x = \dfrac{\sqrt{15}}{4}.

Rezolvare

1
3 puncte
sin⁡2x+(14)2=1⇔sin⁡2x=1516\sin^2 x + \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 = 1 \Leftrightarrow \sin^2 x = \dfrac{15}{16}
2
2 puncte
Cum x∈(0,π2)x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right), obținem sin⁡x=154\sin x = \dfrac{\sqrt{15}}{4}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(4−321)A = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} și B(x)=(x1−1x)B(x) = \begin{pmatrix} x & 1 \\ -1 & x \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡A=10\det A = 10. b) Arătați că 2B(5)+B(−1)=3B(3)2B(5) + B(-1) = 3B(3). c) Determinați numărul întreg xx pentru care det⁡(A⋅B(x)−B(4x))=0\det(A \cdot B(x) - B(4x)) = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
det⁡A=∣4−321∣=4⋅1−(−3)⋅2=\det A = \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 4 \cdot 1 - (-3) \cdot 2 =
2
2 puncte
=4+6=10= 4 + 6 = 10
b)5 puncte
3
3 puncte
B(5)=(51−15)B(5) = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} și B(−1)=(−11−1−1)⇒2B(5)+B(−1)=(93−39)=B(-1) = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow 2B(5) + B(-1) = \begin{pmatrix} 9 & 3 \\ -3 & 9 \end{pmatrix} =
4
2 puncte
=3(31−13)=3B(3)= 3\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = 3B(3)
c)5 puncte
5
3 puncte
A⋅B(x)−B(4x)=(4x+34−3x2x−12+x)−(4x1−14x)=(33−3x2x2−3x)A \cdot B(x) - B(4x) = \begin{pmatrix} 4x + 3 & 4 - 3x \\ 2x - 1 & 2 + x \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4x & 1 \\ -1 & 4x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 - 3x \\ 2x & 2 - 3x \end{pmatrix}, pentru orice număr întreg xx, deci det⁡(A⋅B(x)−B(4x))=6x2−15x+6\det(A \cdot B(x) - B(4x)) = 6x^2 - 15x + 6, pentru orice număr întreg xx
6
2 puncte
6x2−15x+6=06x^2 - 15x + 6 = 0 și, cum xx este număr întreg, obținem x=2x = 2
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x(y−2)+y(x−2)x * y = x(y - 2) + y(x - 2). a) Arătați că 2∗4=42 * 4 = 4. b) Determinați numerele reale xx pentru care x∗x=0x * x = 0. c) Determinați numărul real xx pentru care (x∗1)∗(x+1)=4(x * 1) * (x + 1) = 4.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
2∗4=2(4−2)+4(2−2)=2 * 4 = 2(4 - 2) + 4(2 - 2) =
2
2 puncte
=4+0=4= 4 + 0 = 4
b)5 puncte
3
3 puncte
x∗x=x(x−2)+x(x−2)=2x(x−2)x * x = x(x - 2) + x(x - 2) = 2x(x - 2), pentru orice număr real xx
4
2 puncte
2x(x−2)=02x(x - 2) = 0, de unde obținem x=0x = 0 sau x=2x = 2
c)5 puncte
5
3 puncte
x∗1=−2x * 1 = -2, deci (x∗1)∗(x+1)=(−2)∗(x+1)=−6x−2(x * 1) * (x + 1) = (-2) * (x + 1) = -6x - 2, pentru orice număr real xx
6
2 puncte
−6x−2=4-6x - 2 = 4, de unde obținem x=−1x = -1

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=22x2+1f(x) = \dfrac{2}{2x^2 + 1}. a) Arătați că f′(x)=−8x(2x2+1)2f'(x) = \dfrac{-8x}{(2x^2 + 1)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=0x = 0, situat pe graficul funcției ff. c) Arătați că lim⁡x→+∞(xf(x)ln⁡x)=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (xf(x) \ln x) = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=2′⋅(2x2+1)−2⋅(2x2+1)′(2x2+1)2=f'(x) = \dfrac{2' \cdot (2x^2 + 1) - 2 \cdot (2x^2 + 1)'}{(2x^2 + 1)^2} =
2
2 puncte
=−2⋅4x(2x2+1)2=−8x(2x2+1)2= \dfrac{-2 \cdot 4x}{(2x^2 + 1)^2} = \dfrac{-8x}{(2x^2 + 1)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
f(0)=2f(0) = 2, f′(0)=0f'(0) = 0
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0)y - f(0) = f'(0)(x - 0), adică y=2y = 2
c)5 puncte
5
3 puncte
lim⁡x→+∞(xf(x)ln⁡x)=lim⁡x→+∞2xln⁡x2x2+1=lim⁡x→+∞2ln⁡x+24x=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (xf(x) \ln x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x \ln x}{2x^2 + 1} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2 \ln x + 2}{4x} =
6
2 puncte
=lim⁡x→+∞12x=0= \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{2x} = 0
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3+6x+1f(x) = x^3 + 6x + 1. a) Arătați că ∫12(f(x)−x3−1) dx=9\displaystyle\int_1^2 (f(x) - x^3 - 1)\, dx = 9. b) Arătați că ∫01x2f(x)−6x dx=13ln⁡2\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^2}{f(x) - 6x}\, dx = \dfrac{1}{3} \ln 2. c) Determinați numărul real aa pentru care ∫01f(x) dx=a35\displaystyle\int_0^1 f(\sqrt{x})\, dx = \dfrac{a^3}{5}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫12(f(x)−x3−1) dx=∫126x dx=3x2∣12=\displaystyle\int_1^2 (f(x) - x^3 - 1)\, dx = \int_1^2 6x\, dx = 3x^2 \Big|_1^2 =
2
2 puncte
=12−3=9= 12 - 3 = 9
b)5 puncte
3
3 puncte
∫01x2f(x)−6x dx=∫01x2x3+1 dx=13∫01(x3+1)′x3+1 dx=13ln⁡(x3+1)∣01=\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^2}{f(x) - 6x}\, dx = \int_0^1 \dfrac{x^2}{x^3 + 1}\, dx = \dfrac{1}{3} \int_0^1 \dfrac{(x^3 + 1)'}{x^3 + 1}\, dx = \dfrac{1}{3} \ln(x^3 + 1) \Big|_0^1 =
4
2 puncte
=13ln⁡2−13ln⁡1=13ln⁡2= \dfrac{1}{3} \ln 2 - \dfrac{1}{3} \ln 1 = \dfrac{1}{3} \ln 2
c)5 puncte
5
3 puncte
∫01f(x) dx=∫01(xx+6x+1) dx=(2x2x5+6⋅2xx3+x)∣01=275\displaystyle\int_0^1 f(\sqrt{x})\, dx = \int_0^1 (x\sqrt{x} + 6\sqrt{x} + 1)\, dx = \left(\dfrac{2x^2\sqrt{x}}{5} + 6 \cdot \dfrac{2x\sqrt{x}}{3} + x\right)\Bigg|_0^1 = \dfrac{27}{5}
6
2 puncte
a35=275\dfrac{a^3}{5} = \dfrac{27}{5}, de unde obținem a=3a = 3

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară Rezervă 2021 — Științele Naturii

Următor →

Bac Toamnă 2021 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac