Grile de Inducție matematică — Clasa a 9-a

293 întrebări cu variante de răspuns • Algebra

Teorie Inducție matematică — Formule si exemple rezolvate

Probleme de Inducție matematică

98 exerciții cu rezolvare pas cu pas

→
Mediu#1
În demonstrația prin inducție matematică a formulei 1+3+5+...+(2n−1)=n21+3+5+...+ (2n-1)=n^2, presupunând că formula este adevărată pentru n=kn=k, care este expresia corectă a sumei pentru n=k+1n=k+1, înainte de a simplifica pentru a obține (k+1)2(k+1)^2?
A) k2+2k+1k^2 + 2k + 1
B) k2+2kk^2 + 2k
C) k2+kk^2 + k
D) (k+1)2(k+1)^2
E) 2k+12k+1
F) k2+1k^2 + 1

Explicație

Se presupune adevărat pentru n=kn=k: 1+3+...+(2k−1)=k21+3+...+(2k-1)=k^2. Pentru n=k+1n=k+1, se adaugă termenul (2(k+1)−1)=2k+1(2(k+1)-1)=2k+1, deci suma devine k2+2k+1k^2 + 2k+1, care este opțiunea A.
Mediu#2
În demonstrația prin inducție matematică a divizibilității 8n−3n8^n - 3^n cu 5, presupunând adevărat pentru n=kn=k, care expresie pentru 8k+1−3k+18^{k+1} - 3^{k+1} arată că este divizibilă cu 5?
A) 8(8k−3k)+5⋅3k8(8^k - 3^k) + 5 \cdot 3^k
B) 8k+1−3k+18^{k+1} - 3^{k+1}
C) 5(8k−3k)5(8^k - 3^k)
D) 8k−3k+58^k - 3^k + 5
E) (8−3)(8k+3k)(8-3)(8^k + 3^k)
F) 8⋅8k−3⋅3k8 \cdot 8^k - 3 \cdot 3^k

Explicație

Din ipoteza de inducție, 8k−3k8^k - 3^k este divizibil cu 5. Atunci 8k+1−3k+1=8⋅8k−3⋅3k=8(8k−3k)+5⋅3k8^{k+1} - 3^{k+1} = 8 \cdot 8^k - 3 \cdot 3^k = 8(8^k - 3^k) + 5 \cdot 3^k. Primul termen e divizibil cu 5 prin ipoteză, al doilea e multiplu de 5, deci suma e divizibilă cu 5.
Ușor#3
Folosind inducția matematică, se demonstrează că 12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)61^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} pentru orice nn natural. Care este valoarea sumei pentru n=5n=5?
A) 30
B) 55
C) 91
D) 140
E) 225
F) 385

Explicație

Pentru n=5n=5, formula devine 5⋅6⋅116=55\frac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} = 55. Variantele greșite provin din erori comune, cum ar fi utilizarea formulei greșite sau calcul incorect.
Ușor#4
Prin inducție matematică, se arată că 1⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=n(n+1)(n+2)31 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \cdots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} pentru orice nn natural. Calculați suma pentru n=4n=4.
A) 20
B) 30
C) 40
D) 50
E) 60
F) 70

Explicație

Pentru n=4n=4, formula dă 4⋅5⋅63=40\frac{4 \cdot 5 \cdot 6}{3} = 40, iar calculul direct: 2+6+12+20=402+6+12+20=40. Variantele incorecte rezultă din greșeli la aplicarea formulei sau la însumare.
Mediu#5
În demonstrarea prin inducție a egalității 1+3+5+⋯+(2n−1)=n21 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2, care dintre următoarele reprezintă pasul de inducție corect?
A) Presupunem că 1+3+⋯+(2k−1)=k21 + 3 + \dots + (2k-1) = k^2 și demonstrăm că 1+3+⋯+(2k−1)+(2k+1)=(k+1)21 + 3 + \dots + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)^2.
B) Presupunem că 1+3+⋯+(2n−1)=n21 + 3 + \dots + (2n-1) = n^2 pentru n=1n=1 și demonstrăm pentru n=2n=2.
C) Verificăm pentru n=1n=1: 1=121 = 1^2, deci este adevărat.
D) Presupunem adevărat pentru n=kn=k și demonstrăm că k2+2k+1=(k+1)2k^2 + 2k+1 = (k+1)^2.
E) Presupunem adevărat pentru n=kn=k și demonstrăm că suma este k2+kk^2 + k.
F) Nu este necesar pasul de inducție.

Explicație

Pasul de inducție implică presupunerea adevărată pentru un n=kn=k arbitrar și demonstrația pentru n=k+1n=k+1. Varianta A descrie corect acest proces: adăugând termenul (2(k+1)−1)=2k+1(2(k+1)-1) = 2k+1 la suma presupusă k2k^2, se obține (k+1)2(k+1)^2, ceea ce completează demonstrația.
Mediu#6
În demonstrația prin inducție că n3−nn^3 - n este divizibil cu 3 pentru orice n∈Nn \in \mathbb{N}, care expresie trebuie analizată în pasul de inducție pentru n=k+1n=k+1?
A) (k+1)3−(k+1)(k+1)^3 - (k+1)
B) k3−k+3k2+3kk^3 - k + 3k^2 + 3k
C) 3k2+3k3k^2 + 3k
D) k3+3k2+2kk^3 + 3k^2 + 2k
E) (k+1)(k2+k)(k+1)(k^2 + k)
F) k3−k+2k2+2kk^3 - k + 2k^2 + 2k

Explicație

Din ipoteza de inducție, k3−kk^3 - k este divizibil cu 3. Pentru n=k+1n=k+1, (k+1)3−(k+1)=k3+3k2+3k+1−k−1=k3−k+3k2+3k(k+1)^3 - (k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k - 1 = k^3 - k + 3k^2 + 3k. Această expresie (B) este suma dintre k3−kk^3 - k (divizibil cu 3 prin ipoteză) și 3k2+3k3k^2 + 3k (divizibil cu 3 evident), deci este divizibilă cu 3.
Ușor#7
Utilizând inducția matematică, se demonstrează că suma primelor n numere naturale este dată de formula:
A) n(n−1)2\frac{n(n-1)}{2}
B) n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}
C) n2n^2
D) n(n+1)(2n+1)6\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
E) 2n−12^n - 1
F) n!n!

Explicație

Se verifică pentru n=1: 1=1(1+1)2=11 = \frac{1(1+1)}{2} = 1. Presupunând adevărat pentru n=k, adică 1+...+k=k(k+1)21+...+k = \frac{k(k+1)}{2}, pentru n=k+1 suma devine k(k+1)2+(k+1)=(k+1)(k+2)2\frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}, ceea ce confirmă formula.
Mediu#8
În demonstrarea prin inducție matematică că 32n−13^{2n} - 1 este divizibil cu 8 pentru orice n natural, după presupunerea inductivă pentru n=k, ce trebuie demonstrat pentru n=k+1?
A) 32(k+1)−13^{2(k+1)} - 1 este divizibil cu 8
B) 32k−13^{2k} - 1 este divizibil cu 8
C) 32(k+1)−1=83^{2(k+1)} - 1 = 8
D) 32(k+1)−13^{2(k+1)} - 1 este un număr prim
E) 32k+1−13^{2k+1} - 1 este divizibil cu 8
F) 32(k+1)−1=32k⋅9−13^{2(k+1)} - 1 = 3^{2k} \cdot 9 - 1

Explicație

Pasul inductiv constă în demonstrarea afirmației pentru n=k+1, presupunând-o adevărată pentru n=k. Astfel, trebuie arătat că 32(k+1)−13^{2(k+1)} - 1 este divizibil cu 8.
Ușor#9
Folosind inducția matematică, se demonstrează că pentru orice n≥1n \ge 1, suma 1+3+5+⋯+(2n−1)1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) este egală cu:
A) n2n^2
B) n(n+1)n(n+1)
C) n(2n−1)n(2n-1)
D) 2n2−n2n^2 - n
E) n2+nn^2 + n
F) 2n−12n - 1

Explicație

Se verifică pentru n=1n=1: 1=121 = 1^2. Presupunem adevărat pentru n=kn=k: 1+3+⋯+(2k−1)=k21+3+\dots+(2k-1)=k^2. Pentru n=k+1n=k+1, adăugând (2(k+1)−1)=2k+1(2(k+1)-1)=2k+1, avem k2+2k+1=(k+1)2k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2, deci formula este corectă.
Ușor#10
Prin inducție matematică, se demonstrează că ∑i=0n(ni)=2n\sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} = 2^n. Pentru n=2n=2, suma (20)+(21)+(22)\binom{2}{0} + \binom{2}{1} + \binom{2}{2} este egală cu:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
F) 8

Explicație

Pentru n=2n=2, (20)=1\binom{2}{0}=1, (21)=2\binom{2}{1}=2, (22)=1\binom{2}{2}=1, deci suma este 1+2+1=41+2+1=4, iar 22=42^2=4, ceea ce confirmă identitatea.
Ușor#11
Prin inducție matematică, se demonstrează că suma 1+2+3+...+n este egală cu:
A) n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}
B) n(n−1)2\frac{n(n-1)}{2}
C) n2n^2
D) (n+1)(n+2)2\frac{(n+1)(n+2)}{2}
E) n(n+1)n(n+1)
F) 2n(n+1)2n(n+1)

Explicație

Se verifică pentru n=1: 1 = 1(2)/2 = 1. Presupunem adevărat pentru n și demonstrăm pentru n+1: suma până la n+1 este n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n/2 + 1) = (n+1)(n+2)/2, care corespunde formulei pentru n+1.
Ușor#12
Utilizând inducția matematică, care este formula pentru suma 1^2 + 2^2 + ... + n^2?
A) n(n+1)(2n+1)6\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
B) n(n+1)(n+2)6\frac{n(n+1)(n+2)}{6}
C) n2(n+1)24\frac{n^2(n+1)^2}{4}
D) n(n+1)(2n−1)6\frac{n(n+1)(2n-1)}{6}
E) (n(n+1)2)2\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2
F) n(n+1)(n+2)3\frac{n(n+1)(n+2)}{3}

Explicație

Se verifică pentru n=1: 1^2 = 1 și 1(2)(3)/6 = 1. Presupunem adevărat pentru n și adunăm (n+1)^2: suma este n(n+1)(2n+1)/6 + (n+1)^2 = (n+1)[n(2n+1)/6 + (n+1)] = (n+1)(2n^2+7n+6)/6 = (n+1)(n+2)(2n+3)/6, care este formula pentru n+1.

Și alte 281 grile disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Accesează toate cele 293 probleme de Inducție matematică cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.