Probleme de Inducție matematică — Clasa a 9-a

Exerciții pentru școalăAlgebra • 391 probleme cu rezolvări complete
Teorie Inducție matematică — Formule si exemple rezolvate

Inducția matematică este o metodă de demonstrare a proprietăților valabile pentru toate numerele naturale. Include pasul de bază și pasul inductiv.

Verificat de profesori de matematică

Ușor

31

probleme

Mediu

67

probleme

Grile de Inducție matematică

293 întrebări cu variante de răspuns

→

Exemple de probleme

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificarea pentru n=1: a1=1a_1 = 1 și 21−1=12^1 - 1 = 1, deci egalitatea este adevărată.
23 puncte
Presupunem că pentru un k≥1k \geq 1, ak=2k−1a_k = 2^k - 1 (ipoteza de inducție).
35 puncte
Demonstrația pentru n=k+1: ak+1=2ak+1=2(2k−1)+1=2k+1−2+1=2k+1−1a_{k+1} = 2a_k + 1 = 2(2^k - 1) + 1 = 2^{k+1} - 2 + 1 = 2^{k+1} - 1, ceea ce confirmă formula.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificarea pentru n=1: x1−1=x−1x^1 - 1 = x-1, care este evident divizibil cu x−1x-1.
23 puncte
Presupunem că pentru un k≥1k \geq 1, xk−1x^k - 1 este divizibil cu x−1x-1, adică există un polinom Q(x) astfel încât xk−1=(x−1)Q(x)x^k - 1 = (x-1)Q(x).
35 puncte
Demonstrația pentru n=k+1: xk+1−1=x⋅xk−1=x(xk−1)+x−1=x(x−1)Q(x)+(x−1)=(x−1)(xQ(x)+1)x^{k+1} - 1 = x \cdot x^k - 1 = x(x^k - 1) + x - 1 = x(x-1)Q(x) + (x-1) = (x-1)(xQ(x) + 1), deci divizibil cu x−1x-1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificarea pentru n=1n=1. Se calculează: ∑k=11k3=13=1\sum_{k=1}^{1} k^3 = 1^3 = 1 și (1⋅22)2=12=1\left( \frac{1 \cdot 2}{2} \right)^2 = 1^2 = 1, deci egalitatea este adevărată.
22 puncte
Ipoteza de inducție: se presupune că pentru un n≥1n \geq 1, egalitatea este adevărată, adică ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
36 puncte
Demonstrația pentru n+1n+1. Se calculează ∑k=1n+1k3=∑k=1nk3+(n+1)3\sum_{k=1}^{n+1} k^3 = \sum_{k=1}^{n} k^3 + (n+1)^3. Folosind ipoteza de inducție, acesta devine (n(n+1)2)2+(n+1)3\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 + (n+1)^3. Se factorizează (n+1)2(n+1)^2: (n+1)2(n24+n+1)=(n+1)2(n2+4n+44)=(n+1)2(n+2)24=((n+1)(n+2)2)2(n+1)^2 \left( \frac{n^2}{4} + n+1 \right) = (n+1)^2 \left( \frac{n^2 + 4n + 4}{4} \right) = (n+1)^2 \frac{(n+2)^2}{4} = \left( \frac{(n+1)(n+2)}{2} \right)^2, ceea ce demonstrează egalitatea pentru n+1n+1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificarea pentru n=1n=1. Se calculează a1=2a_1 = 2 din enunț și 3⋅21−1−1=3⋅1−1=23 \cdot 2^{1-1} - 1 = 3 \cdot 1 - 1 = 2, deci egalitatea este adevărată.
22 puncte
Ipoteza de inducție: se presupune că pentru un n≥1n \geq 1, are loc an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1.
36 puncte
Demonstrația pentru n+1n+1. Folosind relația de recurență, an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1. Înlocuind ipoteza, an+1=2(3⋅2n−1−1)+1=3⋅2n−2+1=3⋅2n−1a_{n+1} = 2(3 \cdot 2^{n-1} - 1) + 1 = 3 \cdot 2^n - 2 + 1 = 3 \cdot 2^n - 1. Dar 3⋅2(n+1)−1−1=3⋅2n−13 \cdot 2^{(n+1)-1} - 1 = 3 \cdot 2^n - 1, deci an+1=3⋅2(n+1)−1−1a_{n+1} = 3 \cdot 2^{(n+1)-1} - 1, ceea ce demonstrează afirmația pentru n+1n+1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Inducție matematicăIdentități algebrice
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
12 puncte
Verificăm pentru n=1n=1. Avem 13=11^3 = 1 și (1(1+1)2)2=(22)2=1\left( \frac{1(1+1)}{2} \right)^2 = \left( \frac{2}{2} \right)^2 = 1, deci egalitatea este adevărată.
28 puncte
Presupunem că egalitatea este adevărată pentru n=kn=k, adică ∑i=1ki3=(k(k+1)2)2\sum_{i=1}^{k} i^3 = \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2. Demonstrăm pentru n=k+1n=k+1: ∑i=1k+1i3=∑i=1ki3+(k+1)3=(k(k+1)2)2+(k+1)3\sum_{i=1}^{k+1} i^3 = \sum_{i=1}^{k} i^3 + (k+1)^3 = \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2 + (k+1)^3. Calculăm: (k(k+1)2)2+(k+1)3=k2(k+1)24+(k+1)3=(k+1)2(k24+k+1)=(k+1)2(k2+4k+44)=(k+1)2(k+2)24=((k+1)(k+2)2)2\left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2 + (k+1)^3 = \frac{k^2 (k+1)^2}{4} + (k+1)^3 = (k+1)^2 \left( \frac{k^2}{4} + k+1 \right) = (k+1)^2 \left( \frac{k^2 + 4k + 4}{4} \right) = (k+1)^2 \frac{(k+2)^2}{4} = \left( \frac{(k+1)(k+2)}{2} \right)^2, care este exact expresia pentru n=k+1n=k+1. Prin principiul inducției matematice, egalitatea este adevărată pentru orice n≥1n \geq 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an<2a_n < 2 pentru toți n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#7Inducție matematicăProgresii AritmeticeIdentități algebrice
Folosind inducția matematică, demonstrați că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1n(3k−1)=n(3n+1)2\sum_{k=1}^{n} (3k-1) = \frac{n(3n+1)}{2}.
Ușor#8Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1=2 și an+1=2an+3a_{n+1} = 2a_n + 3 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, an=5⋅2n−1−3a_n = 5 \cdot 2^{n-1} - 3.
Mediu#9Inducție matematicăȘiruri de numere realeIdentități algebrice
Să se demonstreze prin inducție matematică că pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, are loc egalitatea ∑k=1n1k(k+1)=nn+1\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}. Apoi, folosind această relație, să se calculeze limita șirului definit prin xn=∑k=1n1k(k+1)x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}.
Ușor#10Inducție matematicăMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră matricea A=(1101)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Să se demonstreze prin inducție matematică că pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, An=(1n01)A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Folosind acest rezultat, să se rezolve sistemul de ecuații liniare: {x+ny=5y=2\begin{cases} x + ny = 5 \\ y = 2 \end{cases}, unde n∈N∗n \in \mathbb{N}^* este același exponent din demonstrație, iar x,yx, y sunt necunoscute reale.

Și alte 88 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Accesează toate cele 391 probleme de Inducție matematică cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Alte capitole pentru clasa a 9-a

→Algebră și Calcule cu Numere Reale
511 probleme
→Aplicații ale trigonometriei în geometrie
411 probleme
→Funcția de gradul I
399 probleme
→Identități algebrice
396 probleme
→Logică matematică
398 probleme

Câștigă XP și badge-uri rezolvând probleme

Sistem de niveluri (1-20), clasament săptămânal și serie zilnică de învățare. Începe gratuit cu 50 de credite.