Grile de Inele și corpuri — Clasa a 12-a

262 întrebări cu variante de răspuns • Algebra

Teorie Inele și corpuri — Formule si exemple rezolvate

Probleme de Inele și corpuri

224 exerciții cu rezolvare pas cu pas

→
Ușor#1
Mulțimea numerelor întregi Z\mathbb{Z} cu operațiile de adunare și înmulțire este:
A) Inel
B) Corp
C) Grup abelian
D) Spațiu vectorial
E) Monoid
F) Nici una dintre variantele de mai sus

Explicație

Z\mathbb{Z} cu adunarea și înmulțirea formează un inel deoarece adunarea este grup abelian, înmulțirea este asociativă și distributivă, dar nu toate elementele nenule au invers multiplicativ, deci nu este corp.
Mediu#2
Care dintre următoarele mulțimi cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire formează un corp?
A) N\mathbb{N} (numerele naturale)
B) Z\mathbb{Z} (numerele întregi)
C) Q\mathbb{Q} (numerele raționale)
D) R∖Q\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} (numerele iraționale)
E) Mulțimea matricelor pătratice de ordin 2 cu coeficienți reali
F) Mulțimea polinoamelor cu coeficienți reali

Explicație

Q\mathbb{Q} este un corp: adunarea și înmulțirea sunt comutative, au element neutru, și fiecare element nenul are invers. Celelalte nu sunt corpuri: N\mathbb{N} nu are opuse, Z\mathbb{Z} nu are inverse, R∖Q\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} nu este închisă la adunare, iar matricile și polinoamele nu au inverse multiplicative pentru toate elementele nenule.
Mediu#3
Care dintre următoarele inele este un corp finit?
A) Z\mathbb{Z}
B) Q\mathbb{Q}
C) Z6\mathbb{Z}_6
D) Z5\mathbb{Z}_5
E) R\mathbb{R}
F) Z4\mathbb{Z}_4

Explicație

Un corp finit este un inel comutativ cu unitate în care fiecare element nenul are invers multiplicativ și are un număr finit de elemente. Z5\mathbb{Z}_5 are 5 elemente și este corp deoarece 5 este prim, în timp ce celelalte opțiuni nu îndeplinesc toate condițiile.
Mediu#4
Care este inversul multiplicativ al elementului 3 în inelul Z10\mathbb{Z}_{10}?
A) 1
B) 3
C) 7
D) 9
E) 0
F) 5

Explicație

În Z10\mathbb{Z}_{10}, un element a are invers multiplicativ dacă gcd(a,10)=1. Pentru a=3, gcd(3,10)=1, și inversul este numărul b astfel încât 3b ≡ 1 (mod 10). 37=21≡1 mod 10, deci inversul este 7.
Mediu#5
Mulțimea Z4={0,1,2,3}\mathbb{Z}_4 = \{0,1,2,3\} cu adunarea și înmulțirea modulo 4 este:
A) Inel și corp
B) Inel dar nu corp
C) Corp dar nu inel
D) Nici inel, nici corp
E) Grup comutativ
F) Inel necomutativ

Explicație

Z4\mathbb{Z}_4 este inel deoarece adunarea și înmulțirea modulo 4 sunt operații asociative, comutative, distributive și au element neutru. Nu este corp, deoarece elementul 22 nu are invers multiplicativ în Z4\mathbb{Z}_4.
Ușor#6
Într-un corp, pentru orice element x≠0x \neq 0:
A) Există invers aditiv
B) Există invers multiplicativ
C) Există atât invers aditiv, cât și invers multiplicativ
D) Nu există niciun invers
E) Există doar invers aditiv
F) Există doar invers multiplicativ

Explicație

Într-un corp, toate elementele au invers aditiv, iar elementele diferite de zero au și invers multiplicativ. Astfel, pentru x≠0x \neq 0, are atât invers aditiv, cât și invers multiplicativ.
Mediu#7
Care dintre următoarele este un corp finit?
A) Z\mathbb{Z} cu operațiile uzuale
B) Q\mathbb{Q} cu operațiile uzuale
C) Z5\mathbb{Z}_5 cu adunarea și înmulțirea modulo 5
D) R\mathbb{R} cu operațiile uzuale
E) Mulțimea numerelor pare cu operațiile uzuale
F) Z6\mathbb{Z}_6 cu adunarea și înmulțirea modulo 6

Explicație

Z5\mathbb{Z}_5 este un corp finit deoarece 5 este prim și fiecare element nenul are un invers multiplicativ modulo 5. Z\mathbb{Z} și mulțimea numerelor pare nu sunt corpuri, Q\mathbb{Q} și R\mathbb{R} sunt corpuri infinite, iar Z6\mathbb{Z}_6 nu este corp datorită divizorilor lui zero.
Ușor#8
Care dintre următoarele proprietăți este specifică corpurilor față de inele?
A) Există element neutru la adunare.
B) Orice element nenul are invers multiplicativ.
C) Înmulțirea este comutativă.
D) Adunarea este asociativă.
E) Nu există divizori ai lui zero.
F) Toate elementele sunt inversabile la adunare.

Explicație

Într-un corp, fiecare element nenul are un invers multiplicativ, proprietate care nu este garantată în toate inelele. Celelalte proprietăți sunt comune și inelelor.
Mediu#9
Care dintre următoarele mulțimi cu operațiile obișnuite formează un inel care nu este corp?
A) Mulțimea numerelor naturale N\mathbb{N} cu adunarea și înmulțirea.
B) Mulțimea numerelor întregi Z\mathbb{Z} cu adunarea și înmulțirea.
C) Mulțimea numerelor raționale Q\mathbb{Q} cu adunarea și înmulțirea.
D) Mulțimea numerelor reale R\mathbb{R} cu adunarea și înmulțirea.
E) Mulțimea numerelor complexe C\mathbb{C} cu adunarea și înmulțirea.
F) Mulțimea numerelor iraționale cu adunarea și înmulțirea.

Explicație

Mulțimea Z\mathbb{Z} este un inel deoarece adunarea și înmulțirea sunt asociative, comutative, au elemente neutre (0 și 1), fiecare element are invers aditiv, dar nu toate au invers multiplicativ, deci nu este corp. N\mathbb{N} nu are inverse aditive, Q\mathbb{Q}, R\mathbb{R}, C\mathbb{C} sunt corpuri, iar numerele iraționale nu sunt închise la adunare.
Ușor#10
Care dintre următoarele proprietăți este caracteristică corpurilor, dar nu este adevărată pentru toate inelele?
A) Existența elementului neutru pentru adunare.
B) Comutativitatea înmulțirii.
C) Existența elementului neutru pentru înmulțire.
D) Existența inversului multiplicativ pentru fiecare element nenul.
E) Asociativitatea adunării.
F) Distributivitatea înmulțirii față de adunare.

Explicație

Un corp este un inel comutativ în care fiecare element nenul are un invers multiplicativ. Această proprietate nu este valabilă pentru toate inelele; de exemplu, în Z\mathbb{Z}, elementul 2 nu are invers multiplicativ întreg. Celelalte proprietăți sunt comune inelelor.
Mediu#11
Care dintre următoarele mulțimi, cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire, formează un inel dar nu un corp?
A) Z\mathbb{Z}
B) Q\mathbb{Q}
C) R\mathbb{R}
D) C\mathbb{C}
E) N\mathbb{N}
F) Mulțimea numerelor iraționale

Explicație

Z\mathbb{Z} are toate proprietățile unui inel (operații asociative, comutative, cu elemente neutre și inverse aditive), dar nu este corp deoarece elementele nenule, cum ar fi 22, nu au inverse multiplicative în Z\mathbb{Z}.
Ușor#12
Într-un corp, pentru orice element nenul aa, există un element bb astfel încât a⋅b=1a \cdot b = 1. Care este denumirea corectă a lui bb?
A) inversul aditiv al lui aa
B) inversul multiplicativ al lui aa
C) opusul lui aa
D) elementul neutru la înmulțire
E) elementul simetric al lui aa la adunare
F) niciunul dintre cele de mai sus

Explicație

Definiția unui corp cere ca fiecare element a≠0a \neq 0 să aibă un invers multiplicativ bb cu a⋅b=1a \cdot b = 1, unde 11 este elementul neutru la înmulțire.

Și alte 250 grile disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Accesează toate cele 262 probleme de Inele și corpuri cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.