Clasa 12Algebră

Inele și corpuri — Teorie, Formule si Exemple

Inelele și corpurile sunt structuri algebrice cu două operații (adunare și înmulțire) legate prin distributivitate — materie obligatorie de Matematica M1, clasa a 12-a. La examenul de Bacalaureat, aceste structuri apar la Subiectul II, unde cerințele tipice sunt „Arătați că

(A, +, \cdot)

este inel/corp" sau „Demonstrați că

\mathbb{Z}_n

nu este corp". Cunoașterea definițiilor exacte, a exemplelor clasice (

\mathbb{Z}

\mathbb{Q}

\mathbb{R}

\mathbb{Z}_p

p

prim), a criteriului pentru corpuri finite și a noțiunii de divizor al lui zero este suficientă pentru punctaj complet.

Definiția inelului — axiomele adunării, înmulțirii și distributivitatea

Inel: O tripletă

(A, +, \cdot)

unde

A

este o mulțime nevidă, satisfăcând: Axiomele adunării (A1):

$(A, +)$ este grup abelian: operația $+$ este internă, asociativă, are element neutru $0$ , fiecare element $a$ are un opus $-a$ , și $+$ este comutativă.

Axiomele înmulțirii:

A2 (Asociativitate): $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c),\quad \forall a, b, c \in A$
A3 (Element unitar — opțional): $\exists\, 1 \in A: a \cdot 1 = 1 \cdot a = a,\quad \forall a \in A$ (definește un inel unitar)

Distributivitate (legătura dintre cele două operații):

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
$(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$

Inel comutativ: Dacă înmulțirea este și comutativă:

a \cdot b = b \cdot a,\quad \forall a, b \in A

. Proprietăți imediate (decurg din axiome):

$a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$ (elementul neutru al adunării „absoarbe" înmulțirea)
$a \cdot (-b) = -(a \cdot b)$
$(-a) \cdot (-b) = a \cdot b$
$(-1) \cdot a = -a$ (într-un inel unitar)

usorExercițiu de identificare

Verificați că

(\mathbb{Z}, +, \cdot)

este inel comutativ unitar.

3 puncte

$(\mathbb{Z}, +)$ este grup abelian: neutrul este

0

, inversul lui

n

este

-n

, adunarea este asociativă și comutativă. ✓

3 puncte

Înmulțirea este asociativă și comutativă:

(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)

și

a \cdot b = b \cdot a

pentru orice

a, b, c \in \mathbb{Z}

. Elementul unitar este

1

. ✓

2 puncte

Distributivitate:

a(b + c) = ab + ac

— proprietate standard în

\mathbb{Z}

. ✓ Concluzie:

(\mathbb{Z}, +, \cdot)

este inel comutativ unitar.

mediuVariantă frecventă BAC

Fie mulțimea

A = \{a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z}\}

. Arătați că

(A, +, \cdot)

este inel comutativ unitar.

3 puncte

$(A, +)$ grup abelian:

(a_1 + b_1\sqrt{2}) + (a_2 + b_2\sqrt{2}) = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)\sqrt{2} \in A

. Neutrul:

0 + 0\sqrt{2} = 0

. Opusul:

-(a+b\sqrt{2}) = (-a)+(-b)\sqrt{2} \in A

. Comutativitate: evidentă. ✓

3 puncte

Înmulțire:

(a_1+b_1\sqrt{2})(a_2+b_2\sqrt{2}) = (a_1a_2+2b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)\sqrt{2} \in A

(deoarece

a_1a_2+2b_1b_2 \in \mathbb{Z}

și

a_1b_2+a_2b_1 \in \mathbb{Z}

). Asociativitate și comutativitate — moștenite din

\mathbb{R}

. Unitate:

1 = 1 + 0\sqrt{2} \in A

. ✓

2 puncte

Distributivitate: Moștenită din

\mathbb{R}

(A este submulțime a lui

\mathbb{R}

). Concluzie:

(A, +, \cdot)

este inel comutativ unitar. ✓

Divizorii lui zero — obstacol pentru structura de corp

Divizor al lui zero: Într-un inel

(A, +, \cdot)

, un element

a \neq 0

se numește divizor al lui zero dacă există

b \neq 0

cu:

a \cdot b = 0 \quad \text{sau} \quad b \cdot a = 0

De ce contează: Un element care este divizor al lui zero nu poate avea invers față de înmulțire. Dacă un inel are cel puțin un divizor al lui zero, el nu poate fi corp. Demonstrație: Presupunem prin absurd că

a

este divizor al lui zero (

a \cdot b = 0

b \neq 0

) și are invers

a^{-1}

. Atunci:

b = 1 \cdot b = (a^{-1} \cdot a) \cdot b = a^{-1} \cdot (a \cdot b) = a^{-1} \cdot 0 = 0

, contradicție cu

b \neq 0

. Inel integru (domeniu de integritate): Un inel comutativ unitar fără divizori ai lui zero. Orice corp este inel integru, dar nu orice inel integru este corp (de exemplu,

\mathbb{Z}

). Regulă practică pentru $\mathbb{Z}_n$ : Dacă

n = p \cdot q

1 < p, q < n

, atunci

p

și

q

sunt divizori ai lui zero în

\mathbb{Z}_n

, deci

\mathbb{Z}_n

nu este inel integru și nu este corp.

usorExercițiu de identificare

Găsiți toți divizorii lui zero din

\mathbb{Z}_6

3 puncte

\mathbb{Z}_6 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}

. Căutăm produse de elemente nenule egale cu

0

modulo

6

2 \cdot 3 = 6 \equiv 0 \pmod{6}

, deci

2

și

3

sunt divizori ai lui zero.

3 puncte

4 \cdot 3 = 12 \equiv 0 \pmod{6}

, deci

4

este de asemenea divizor al lui zero. Verificăm:

1 \cdot k \neq 0

pentru orice

k \neq 0

;

5 \cdot k \neq 0

pentru orice

k \neq 0

(deoarece

5

este coprim cu

6

2 puncte

Concluzie: Divizorii lui zero din

\mathbb{Z}_6

sunt

\{2, 3, 4\}

. Observați că aceștia sunt exact elementele care nu sunt coprime cu

6

mediuProblemă de antrenament

Arătați că în inelul matricelor

M_2(\mathbb{R})

există divizori ai lui zero.

2 puncte

Fie

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

și

B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

. Ambele sunt nenule.

3 puncte

A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O_2

2 puncte

Am găsit

A \neq O_2

B \neq O_2

, dar

A \cdot B = O_2

. Deci

A

și

B

sunt divizori ai lui zero. Concluzie:

(M_2(\mathbb{R}), +, \cdot)

nu este inel integru și nu este corp.

Definiția corpului — diferența față de inel și criteriul pentru corpuri finite

Corp: Un inel unitar comutativ

(K, +, \cdot)

în care orice element nenul are invers față de înmulțire:

\forall a \in K,\, a \neq 0:\; \exists\, a^{-1} \in K \text{ cu } a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1

Echivalent:

(K^*, \cdot)

este grup abelian, unde

K^* = K \setminus \{0\}

. Un corp are deci două structuri de grup:

$(K, +)$ — grup abelian (adunare)
$(K^*, \cdot)$ — grup abelian (înmulțire)

Diferența inel — corp (tabel sintetic): | Proprietate | Inel (general) | Corp | |---|---|---| |

(A,+)

grup abelian | ✓ | ✓ | |

\cdot

asociativă | ✓ | ✓ | |

\cdot

comutativă | nu obligatoriu | ✓ | | element unitar

1

| nu obligatoriu | ✓ | | inversi față de

\cdot

\mathbb{Z}_n \text{ este corp} \iff n \text{ este număr prim}

Dacă

n = p

prim, algoritmul lui Euclid garantează că orice

a \in \{1, 2, \ldots, p-1\}

are invers modulo

p

usorExercițiu model BAC

Verificați că

(\mathbb{Z}_5, +_5, \cdot_5)

este corp.

2 puncte

\mathbb{Z}_5 = \{0, 1, 2, 3, 4\}

. Deoarece

5

este prim, conform criteriului,

\mathbb{Z}_5

este corp. Verificăm explicit inversele elementelor nenule:

3 puncte

1^{-1} = 1

(deoarece

1 \cdot 1 = 1

);

2^{-1} = 3

(deoarece

2 \cdot 3 = 6 \equiv 1 \pmod{5}

);

3^{-1} = 2

;

4^{-1} = 4

(deoarece

4 \cdot 4 = 16 \equiv 1 \pmod{5}

2 puncte

Fiecare element nenul are invers în

\mathbb{Z}_5

. Deci

(\mathbb{Z}_5, +_5, \cdot_5)

este corp. ✓

mediuVariantă BAC — demonstrație de corp prin subcorp

Fie

A = \{a + b\sqrt{3} \mid a, b \in \mathbb{Q}\}

. Demonstrați că

(A, +, \cdot)

este corp.

3 puncte

Subinel al $\mathbb{R}$ :

(a_1+b_1\sqrt{3}) - (a_2+b_2\sqrt{3}) = (a_1-a_2)+(b_1-b_2)\sqrt{3} \in A

✓.

(a_1+b_1\sqrt{3})(a_2+b_2\sqrt{3}) = (a_1a_2+3b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)\sqrt{3} \in A

✓. Elementul unitar:

1 = 1 + 0\sqrt{3} \in A

✓.

2 puncte

Invers față de înmulțire: Fie

a + b\sqrt{3} \neq 0

. Trebuie

a^2 - 3b^2 \neq 0

(altfel

\sqrt{3} = \pm a/b \in \mathbb{Q}

, imposibil deoarece

\sqrt{3}

este irațional).

3 puncte

Inversul:

(a+b\sqrt{3})^{-1} = \dfrac{a - b\sqrt{3}}{a^2 - 3b^2} = \dfrac{a}{a^2-3b^2} + \dfrac{-b}{a^2-3b^2}\sqrt{3} \in A

✓. Deci

(A, +, \cdot)

este corp (subcorp al lui

\mathbb{R}

Exemple clasice de inele și corpuri — clasificare completă

Inele care NU sunt corpuri:

$(\mathbb{Z}, +, \cdot)$ : inel comutativ unitar. Nu este corp: $2 \neq 0$ dar $2$ nu are invers în $\mathbb{Z}$ .
$(M_n(\mathbb{R}), +, \cdot)$ cu $n \geq 2$ : inel unitar. NU comutativ (înmulțirea matricelor nu comută). NU corp (matricele cu $\det = 0$ sunt nenule dar neinversabile).
$(2\mathbb{Z}, +, \cdot)$ : inel comutativ fără element unitar ( $1 \notin 2\mathbb{Z}$ ).
$(\mathbb{Z}_4, +_4, \cdot_4)$ : inel comutativ unitar. Nu este corp: $2 \cdot 2 = 4 \equiv 0 \pmod{4}$ , deci $2$ este divizor al lui zero.
$(\mathbb{Z}_6, +_6, \cdot_6)$ : nu este corp ( $6 = 2 \cdot 3$ , deci $2$ și $3$ sunt divizori ai lui zero).

Corpuri — exemple fundamentale:

$(\mathbb{Q}, +, \cdot)$ : corpul numerelor raționale. Inversul lui $\frac{p}{q}$ este $\frac{q}{p}$ .
$(\mathbb{R}, +, \cdot)$ : corpul numerelor reale.
$(\mathbb{C}, +, \cdot)$ : corpul numerelor complexe. Inversul lui $z = a + bi$ este $\frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2}$ .
$(\mathbb{Z}_p, +_p, \cdot_p)$ cu $p$ prim: cel mai mic corp finit cu $p$ elemente.

Lanțul de incluziuni:

\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

—

\mathbb{Z}

este inel (dar nu corp), celelalte sunt corpuri.

\mathbb{Q}

este subcorp al lui

\mathbb{R}

, care este subcorp al lui

\mathbb{C}

usorExercițiu de clasificare

Clasificați

(\mathbb{Z}_4, +_4, \cdot_4)

: este inel? Corp? Justificați.

2 puncte

\mathbb{Z}_4 = \{0, 1, 2, 3\}

. Este inel comutativ unitar (standard pentru orice

\mathbb{Z}_n

). Elementul unitar este

1

3 puncte

4

nu este prim (

4 = 2 \cdot 2

). Verificăm:

2 \cdot 2 = 4 \equiv 0 \pmod{4}

, deci

2

este divizor al lui zero. Un element care este divizor al lui zero nu poate avea invers.

2 puncte

Concluzie:

(\mathbb{Z}_4, +_4, \cdot_4)

este inel comutativ unitar, dar nu este corp.

mediuExercițiu de antrenament

Construiți tabela de înmulțire pentru

\mathbb{Z}_7^* = \{1,2,3,4,5,6\}

și găsiți inversul fiecărui element.

4 puncte

7

este prim, deci

\mathbb{Z}_7

este corp. Calculăm inversele:

1 \cdot 1 = 1

;

2 \cdot 4 = 8 \equiv 1 \pmod{7}

;

3 \cdot 5 = 15 \equiv 1 \pmod{7}

;

6 \cdot 6 = 36 \equiv 1 \pmod{7}

3 puncte

Inversele:

1^{-1}=1

2^{-1}=4

3^{-1}=5

4^{-1}=2

5^{-1}=3

6^{-1}=6

. Observați: fiecare element nenul are un invers unic, confirmând structura de corp.

Subinele și subcorpuri — criterii de verificare și morfisme de inele

Criteriu de subinel (

B \subseteq A

, unde

(A, +, \cdot)

este inel):

$B \neq \emptyset$
$\forall a, b \in B:\; a - b \in B$ (subgrup al adunării)
$\forall a, b \in B:\; a \cdot b \in B$ (închidere față de înmulțire)

Criteriu de subcorp (

L \subseteq K

, unde

(K, +, \cdot)

este corp):

$L \neq \{0\}$ (echivalent: $1 \in L$ )
$\forall a, b \in L:\; a - b \in L$
$\forall a, b \in L,\, b \neq 0:\; a \cdot b^{-1} \in L$

Atenție: Un subinel al unui corp nu este neapărat subcorp! Exemplu:

\mathbb{Z}

este subinel al

\mathbb{R}

, dar nu este subcorp (elementul

2

nu are invers în

\mathbb{Z}

). Morfism de inele

f: (A,+,\cdot) \to (B,+,\cdot)

f(a + b) = f(a) + f(b) \quad \text{și} \quad f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b)

Proprietăți:

f(0_A) = 0_B

;

f(-a) = -f(a)

. Dacă

A

este inel unitar și

f

este surjectiv, atunci

f(1_A) = 1_B

. Nucleul:

\ker f = \{a \in A \mid f(a) = 0_B\}

este ideal al lui

A

(subinel cu proprietatea suplimentară:

\forall r \in A, a \in \ker f: r \cdot a \in \ker f

mediuExercițiu de verificare

Arătați că

B = \{a + b\sqrt{5} \mid a, b \in \mathbb{Z}\}

este subinel al lui

\mathbb{R}

1 punct

$B \neq \emptyset$ :

0 = 0 + 0\sqrt{5} \in B

. ✓

3 puncte

Diferența:

(a_1 + b_1\sqrt{5}) - (a_2 + b_2\sqrt{5}) = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)\sqrt{5} \in B

, deoarece

a_1 - a_2 \in \mathbb{Z}

și

b_1 - b_2 \in \mathbb{Z}

. ✓

3 puncte

Produsul:

(a_1+b_1\sqrt{5})(a_2+b_2\sqrt{5}) = (a_1a_2+5b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)\sqrt{5} \in B

. ✓ Deci

B

este subinel al lui

\mathbb{R}

. Notă:

B

nu este subcorp — de exemplu,

2 \in B

dar

\frac{1}{2} \notin B

greuProblemă de antrenament

Fie

f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_6

definită prin

f(n) = \hat{n}

(restul lui

n

la împărțirea cu

6

). Arătați că

f

este morfism de inele și determinați

\ker f

4 puncte

Morfism:

f(m + n) = \widehat{m+n} = \hat{m} +_6 \hat{n} = f(m) +_6 f(n)

✓.

f(m \cdot n) = \widehat{m \cdot n} = \hat{m} \cdot_6 \hat{n} = f(m) \cdot_6 f(n)

✓. (Aceste proprietăți sunt esența aritmeticii modulare.)

3 puncte

\ker f = \{n \in \mathbb{Z} \mid f(n) = \hat{0}\} = \{n \in \mathbb{Z} \mid 6 \mid n\} = 6\mathbb{Z}

. Acesta este idealul multiplilor de

6

din

\mathbb{Z}

Greșeli frecvente la inele și corpuri

✗

\mathbb{Z}

este corp deoarece are element unitar

✓

\mathbb{Z}

este inel comutativ unitar, dar NU corp:

2 \in \mathbb{Z}

nu are invers în

\mathbb{Z}

Corpul necesită inversi față de înmulțire pentru TOȚI elementele nenule.

2 \cdot x = 1

nu are soluție în

\mathbb{Z}

(ar trebui

x = \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}

). Existența elementului unitar nu este suficientă.

✗

\mathbb{Z}_n

este corp pentru orice

n \geq 2

✓

\mathbb{Z}_n

este corp dacă și numai dacă

n

este număr prim

Dacă

n

are un factor

d

1 < d < n

, atunci

d

și

n/d

sunt divizori ai lui zero în

\mathbb{Z}_n

, deci

\mathbb{Z}_n

nu este corp. Exemplu:

\mathbb{Z}_4

nu este corp (

2 \cdot 2 \equiv 0

✗

Un subinel al unui corp este automat subcorp

✓

\mathbb{Z} \subset \mathbb{R}

este subinel, dar nu subcorp

Subinelul nu moștenește existența inverselor față de înmulțire. Un subcorp necesită verificarea separată că

a \cdot b^{-1} \in L

pentru toți

b \neq 0

✗

Orice inel are element unitar (adică

1 \in A

)

✓Inelele nu necesită element unitar; definim separat "inel unitar"

(2\mathbb{Z}, +, \cdot)

(mulțimea numerelor pare) este inel comutativ fără element unitar, deoarece

1 \notin 2\mathbb{Z}

✗

Dacă

a \cdot b = 0

atunci

a = 0

b = 0

(în orice inel)

✓Regula produsului nul este valabilă doar în inele integre (fără divizori ai lui zero)

În

\mathbb{Z}_6

2 \cdot 3 = 0

dar nici

2

, nici

3

nu sunt nuli. Regula „

ab = 0 \Rightarrow a = 0

b = 0

" funcționează în corpuri și inele integre, nu în orice inel.

Strategii pentru inele și corpuri la Bacalaureat

Relevanță la Bac: Inelele și corpurile apar la Subiectul II din programa M1, de obicei sub forma: „Arătați că

(A, +, \cdot)

este inel/corp" sau „Arătați că

\mathbb{Z}_n

nu este corp". Frecvența este mai mică decât la grupuri, dar subiectul apare regulat.

Strategia „demonstrați că e corp": Verificați în ordine: (1)

(A, +)

este grup abelian? (2) Înmulțirea este asociativă și comutativă? (3) Există element unitar

1 \in A

? (4) Distributivitatea este satisfăcută? (5) Orice element nenul are invers? Dacă mulțimea este submulțime a lui

\mathbb{R}

\mathbb{C}

, axiomele (2)-(4) sunt moștenite — trebuie doar să demonstrați că

A

este închis la operații și că inversele rămân în

A

Cum demonstrezi că NU e corp: Cel mai rapid: găsiți un divizor al lui zero (produs de doi nenuli egal cu zero) sau un element nenul fără invers. Un singur contraexemplu concret este suficient. La

\mathbb{Z}_n

n

compus: factorizați

n = p \cdot q

și scrieți

p \cdot q \equiv 0

Formulare riguroasă: La Bac, punctajul se acordă pe pași. Scrieți explicit: „

(A, +)

este grup abelian deoarece...", „Înmulțirea este asociativă deoarece...", „Distributivitatea:

a(b+c) = ab + ac

deoarece...". Fiecare axiomă verificată = puncte.

Trucul cu $\mathbb{Z}_p$ : Dacă vi se cere să arătați că

\mathbb{Z}_n

este corp, verificați dacă

n

este prim. Dacă da, invocați teorema: „

\mathbb{Z}_n

este corp

\iff

n

este prim". Pentru punctaj complet, calculați și inversele explicit (de exemplu, în

\mathbb{Z}_7

3^{-1} = 5

deoarece

3 \cdot 5 = 15 \equiv 1

Formulele esențiale pentru inele și corpuri

Inel — axiomele adunării

(A, +)

grup abelian

Internă, asociativitate, element neutru

0

, opuși

-a

, comutativitate.

Inel — axiomele înmulțirii

(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)

Înmulțirea este asociativă. Elementul unitar și comutativitatea sunt opționale (definesc inel unitar, respectiv inel comutativ).

Distributivitate

a(b+c) = ab + ac

și

(a+b)c = ac + bc

Legătura dintre cele două operații. Trebuie verificată în ambele sensuri dacă inelul nu este comutativ.

Corp — condiția suplimentară

\forall a \neq 0:\; \exists\, a^{-1}

a \cdot a^{-1} = 1

Orice element nenul are invers față de înmulțire. Echivalent:

(K^*, \cdot)

este grup abelian.

Criteriu corp finit

\mathbb{Z}_n

corp

\iff

n

prim

Cel mai important criteriu la BAC. Dacă

n

nu este prim,

\mathbb{Z}_n

are divizori ai lui zero.

Divizor al lui zero

a \neq 0,\; b \neq 0,\; a \cdot b = 0

Elementele nenule al căror produs este zero. Un corp nu are niciodată divizori ai lui zero.

Criteriu de subinel

a - b \in B

și

a \cdot b \in B

\forall a, b \in B

Închis față de scădere (deci subgrup al adunării) și închis față de înmulțire.

Criteriu de subcorp

a - b \in L

și

a \cdot b^{-1} \in L

\forall a \in L,\, b \in L^*

Închis la scădere și la împărțire (înmulțire cu inversul).

Morfism de inele

f(a+b) = f(a)+f(b)

și

f(ab) = f(a)f(b)

Respectă ambele operații. Nucleul

\ker f

este ideal al inelului sursă.

Capitole inrudite

Grupuri Legi de compoziție Matrici Determinanți

Exerciteaza 224 probleme de Inele și corpuri

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 262 grile de Inele și corpuri

Intrebari cu variante de raspuns

→

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.