Grile de Legi de compoziție — Clasa a 12-a

266 întrebări cu variante de răspuns • Algebra

Teorie Legi de compoziție — Formule si exemple rezolvate

Probleme de Legi de compoziție

375 exerciții cu rezolvare pas cu pas

Mediu#1

Se consideră legea de compoziție

x * y = x^2 + y^2

definită pe mulțimea numerelor reale. Care dintre afirmațiile următoare este adevărată?

A) Legea este comutativă și asociativă.

B) Legea este comutativă, dar nu este asociativă.

C) Legea este asociativă, dar nu este comutativă.

D) Legea nu este nici comutativă, nici asociativă.

E) Legea are element neutru.

F) Legea este inversabilă pentru orice element.

Explicație

Legea este comutativă deoarece

x * y = x^2 + y^2 = y^2 + x^2 = y * x

. Nu este asociativă: de exemplu,

(1 * 2) * 3 = (1^2 + 2^2) * 3 = 5 * 3 = 5^2 + 3^2 = 34

, iar

1 * (2 * 3) = 1 * (2^2 + 3^2) = 1 * 13 = 1^2 + 13^2 = 170 \neq 34

Mediu#2

Pe mulțimea numerelor reale, se definește legea de compoziție

a \circ b = a + b - ab

. Calculați

(1 \circ 2) \circ 3

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

F) 5

Explicație

Se calculează mai întâi

1 \circ 2 = 1 + 2 - 1 \times 2 = 1

. Apoi

(1 \circ 2) \circ 3 = 1 \circ 3 = 1 + 3 - 1 \times 3 = 1

Mediu#3

Pe mulțimea numerelor reale

\mathbb{R}

, se definește legea de compoziție

*

prin

x * y = x + y - xy

. Care este elementul neutru al acestei legi?

A) 0

B) 1

C) -1

D) Nu există element neutru.

E) Elementul neutru depinde de

x

F) 2

Explicație

Elementul neutru

e

satisface

x * e = x

și

e * x = x

. Din

x * e = x + e - xe = x

, obținem

e - xe = 0

, deci

e(1-x) = 0

pentru orice

x \in \mathbb{R}

. Aceasta implică

e = 0

. Verificăm:

x * 0 = x + 0 - x \cdot 0 = x

și

0 * x = 0 + x - 0 \cdot x = x

Mediu#4

Pe mulțimea numerelor întregi

\mathbb{Z}

, se definește legea de compoziție

\diamond

prin

a \diamond b = a^2 + b^2

. Această lege este:

A) Comutativă și asociativă.

B) Comutativă dar nu asociativă.

C) Asociativă dar nu comutativă.

D) Nu este nici comutativă, nici asociativă.

E) Are element neutru.

F) Este inversabilă pentru orice element.

Explicație

Legea este comutativă deoarece

a \diamond b = a^2 + b^2 = b^2 + a^2 = b \diamond a

. Nu este asociativă: de exemplu, pentru

a=1, b=2, c=3

, avem

(1 \diamond 2) \diamond 3 = (1^2+2^2) \diamond 3 = 5 \diamond 3 = 5^2+3^2=34

, iar

1 \diamond (2 \diamond 3) = 1 \diamond (2^2+3^2) = 1 \diamond 13 = 1^2+13^2=170

, deci

34 \neq 170

Mediu#5

Se definește legea de compoziție

*

\mathbb{R}

prin

a * b = a + b + ab

. Determinați elementul neutru al acestei legi.

0

1

-1

2

E) Nu există element neutru.

-2

Explicație

Pentru a găsi elementul neutru

e

, rezolvăm

a * e = a

pentru orice

a

. Avem

a + e + ae = a \Rightarrow e + ae = 0 \Rightarrow e(1+a) = 0

. Deoarece aceasta trebuie să fie adevărată pentru orice

a \in \mathbb{R}

, rezultă că

e = 0

. Verificăm:

a * 0 = a + 0 + a \cdot 0 = a

, deci

0

este elementul neutru.

Mediu#6

Pe mulțimea

\mathbb{R}

se definește legea de compoziție

x \circ y = x + y - xy

. Care este valoarea lui

x

astfel încât

x \circ 2 = 3

1

2

3

-1

0

F) Nu există soluție.

Explicație

Ecuația este

x \circ 2 = 3

. Conform definiției,

x \circ 2 = x + 2 - x \cdot 2 = x + 2 - 2x = 2 - x

. Atunci

2 - x = 3 \Rightarrow -x = 1 \Rightarrow x = -1

. Verificăm:

(-1) \circ 2 = -1 + 2 - (-1) \cdot 2 = 1 + 2 = 3

, corect.

Mediu#7

Pe mulțimea

\mathbb{R}

se definește operația

a * b = a + b - ab

. Calculați

2 * 3

A) 5

B) 6

C) -1

D) 1

E) 0

F) -5

Explicație

Se aplică definiția:

2 * 3 = 2 + 3 - 2 \cdot 3 = 5 - 6 = -1

, deci răspunsul corect este C.

Mediu#8

Pe mulțimea

\mathbb{R}

se definește legea de compoziție

x \odot y = xy - x - y + 2

. Care este elementul neutru?

A) 0

B) 1

C) 2

D) -1

E) Nu există element neutru

x

Explicație

Elementul neutru e satisface

x \odot e = x

pentru orice x. Din

x e - x - e + 2 = x

se obține

(e-2)(x-1)=0

, deci e=2.

Ușor#9

Pe mulțimea numerelor reale, se definește operația

a \bullet b = a^2 + b^2

. Calculați

3 \bullet 4

7

12

25

5

144

10

Explicație

3 \bullet 4 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25

. Varianta corectă este C.

Mediu#10

Fie legea de compoziție

\ast

\mathbb{R}

definită prin

x \ast y = xy + x + y

. Determinați valoarea lui

e

astfel încât

e \ast 2 = 2

0

1

-1

2

-2

\frac{1}{2}

Explicație

e \ast 2 = e \cdot 2 + e + 2 = 3e + 2

. Din

3e + 2 = 2

rezultă

3e = 0

, deci

e = 0

. Varianta corectă este A.

Mediu#11

Fie legea de compoziție

*

pe mulțimea

\mathbb{Z}

definită prin

a * b = a + b - 3

. Care este elementul neutru?

A) 0

B) 1

C) 3

D) -3

E) Nu există element neutru.

F) 2

Explicație

Elementul neutru

e

satisface

a * e = a

pentru orice

a \in \mathbb{Z}

. Din

a + e - 3 = a

obținem

e = 3

. Verificăm:

a * 3 = a + 3 - 3 = a

, deci

3

este elementul neutru.

Greu#12

Fie legea de compoziție

*

\mathbb{R}

definită prin

x * y = x + y + xy

. Este această lege asociativă?

A) Da, pentru că

(x * y) * z = x * (y * z)

B) Nu, pentru că

(x * y) * z \neq x * (y * z)

C) Da, dar numai pentru anumite valori ale lui

x

y

z

D) Nu, deoarece operația nu este comutativă.

E) Da, deoarece se poate demonstra prin calcul.

F) Nu, pentru că nu există element neutru.

Explicație

Legea este asociativă dacă

(x * y) * z = x * (y * z)

pentru orice

x, y, z \in \mathbb{R}

. Calculând,

(x * y) * z = x+y+z+xy+xz+yz+xyz

și

x * (y * z) = x+y+z+xy+xz+yz+xyz

, deci egalitatea este verificată.

Și alte 254 grile disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Accesează toate cele 266 probleme de Legi de compoziție cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.