Clasa 12Algebră

Legi de compoziție — Teorie, Formule si Exemple

Legile de compoziție internă sunt fundamentul algebrei abstracte din programa de Matematică M1, clasa a 12-a. La examenul de Bacalaureat, acest capitol apare constant la Subiectul II (punctele 2 sau 3), unde se cere: verificarea comutativității și asociativității, determinarea elementului neutru și a elementului simetric, precum și demonstrarea structurii de grup. Stăpânirea tehnicilor de calcul cu legi de compoziție asigură puncte sigure la Bac și oferă baza necesară pentru înțelegerea grupurilor, inelelor și corpurilor.

Ce este o lege de compoziție internă — definiție și proprietatea de închidere

Lege de compoziție internă pe mulțimea

A

: o funcție

*: A \times A \to A

care asociază oricărei perechi ordonate

(a, b) \in A \times A

un element

a * b \in A

. Proprietatea de închidere (internă): Pentru orice

a, b \in A

, rezultatul

a * b

aparține tot lui

A

. Aceasta este cerința minimală — fără ea, operația nu este lege de compoziție internă. Exemple de legi de compoziție internă:

Adunarea pe $\mathbb{Z}$ : $a + b \in \mathbb{Z}$ pentru orice $a, b \in \mathbb{Z}$ ✓
Înmulțirea pe $\mathbb{N}^*$ : $a \cdot b \in \mathbb{N}^*$ pentru orice $a, b \in \mathbb{N}^*$ ✓

Contraexemple (NU sunt legi de compoziție internă):

Împărțirea pe $\mathbb{Z}$ : $1 \div 2 = \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$ ✗
Scăderea pe $\mathbb{N}$ : $3 - 5 = -2 \notin \mathbb{N}$ ✗

usorExercițiu introductiv

\mathbb{R}

se definește

a * b = 2a + 3b

. Verificați că

*

este lege de compoziție internă pe

\mathbb{R}

2 puncte

Fie

a, b \in \mathbb{R}

. Atunci

a * b = 2a + 3b

. Deoarece

2a \in \mathbb{R}

și

3b \in \mathbb{R}

, rezultă

2a + 3b \in \mathbb{R}

. Deci

a * b \in \mathbb{R}

pentru orice

a, b \in \mathbb{R}

1 punct

Concluzie:

*

este lege de compoziție internă pe

\mathbb{R}

. ✓

usorExercițiu de verificare

\mathbb{N}^*

se definește

a * b = a^b

. Este

*

lege de compoziție internă pe

\mathbb{N}^*

2 puncte

Fie

a, b \in \mathbb{N}^*

. Atunci

a \geq 1

și

b \geq 1

, deci

a^b \geq 1^1 = 1

, adică

a^b \in \mathbb{N}^*

1 punct

Concluzie:

*

este lege de compoziție internă pe

\mathbb{N}^*

. ✓

Comutativitatea și asociativitatea unei legi de compoziție

Comutativitate: Legea

*

A

este comutativă dacă:

a * b = b * a, \quad \forall a, b \in A

Asociativitate: Legea

*

A

este asociativă dacă:

(a * b) * c = a * (b * c), \quad \forall a, b, c \in A

Important: Comutativitatea și asociativitatea sunt proprietăți independente. O lege poate fi comutativă fără a fi asociativă, și invers. Cum se verifică la Bac:

Comutativitate: Calculezi $a * b$ și $b * a$ cu formula generală, apoi compari expresiile.
Asociativitate: Calculezi mai întâi $a * b$ , apoi $(a * b) * c$ . Separat, calculezi $b * c$ , apoi $a * (b * c)$ . Compari rezultatele term cu term.

usorExercițiu tip Bac

Fie

a * b = a + b - ab

\mathbb{R}

. Verificați comutativitatea.

2 puncte

Comutativitate:

a * b = a + b - ab

. Calculăm

b * a = b + a - ba = a + b - ab = a * b

1 punct

Deoarece

a * b = b * a

pentru orice

a, b \in \mathbb{R}

, legea

*

este comutativă. ✓

mediuExercițiu clasic Bac

\mathbb{R}

se definește

a * b = a + b + ab

. Verificați asociativitatea.

2 puncte

Calculăm $(a * b) * c$ :

a * b = a + b + ab

. Apoi

(a*b)*c = (a+b+ab) + c + (a+b+ab) \cdot c = a + b + ab + c + ac + bc + abc

2 puncte

Calculăm $a * (b * c)$ :

b * c = b + c + bc

. Apoi

a*(b*c) = a + (b+c+bc) + a(b+c+bc) = a + b + c + bc + ab + ac + abc

1 punct

Ambele expresii sunt egale cu

a + b + c + ab + ac + bc + abc

. Deci

*

este asociativă. ✓

Determinarea elementului neutru și a elementului simetric

Element neutru (unic dacă există):

\exists\, e \in A

astfel încât:

a * e = e * a = a, \quad \forall a \in A

Algoritm de determinare:

Rezolvi ecuația $a * e = a$ în necunoscuta $e$ .
Verifici că $e$ nu depinde de $a$ (este o constantă).
Verifici că $e \in A$ .
Dacă legea nu este comutativă, verifici și $e * a = a$ .

Element simetric (invers): Dacă există elementul neutru

e

, elementul simetric al lui

a

este

a' \in A

cu:

a * a' = a' * a = e

Algoritm de determinare:

Rezolvi ecuația $a * x = e$ în necunoscuta $x$ .
Verifici că $x \in A$ (condiția de existență).
Dacă legea nu este comutativă, verifici și $x * a = e$ .

Strategie rapidă:

Dacă legea are formă aditivă ( $a + b + \ldots$ ), încearcă $e = 0$
Dacă legea are formă multiplicativă ( $ab + \ldots$ ), încearcă $e = 1$

mediuBac M1 — exercițiu tip

\mathbb{R}

se definește

a * b = a + b + ab

. Găsiți elementul neutru și elementul simetric al lui

a

3 puncte

Element neutru:

a * e = a + e + ae = a \Rightarrow e + ae = 0 \Rightarrow e(1 + a) = 0

. Pentru

a \neq -1

, rezultă

e = 0

. Verificare:

a * 0 = a + 0 + a \cdot 0 = a

✓ și

0 * a = 0 + a + 0 \cdot a = a

✓. Deci

e = 0

3 puncte

Element simetric:

a * a' = 0 \Rightarrow a + a' + aa' = 0 \Rightarrow a'(1 + a) = -a \Rightarrow a' = -\dfrac{a}{1 + a}

, definit pentru

a \neq -1

. Elementul

a = -1

nu are simetric.

mediuBac M1 — variantă

\mathbb{R} \setminus \{1\}

se definește

a * b = a + b - ab

. Găsiți elementul neutru și elementul simetric al lui

a

3 puncte

Element neutru:

a * e = a + e - ae = a \Rightarrow e - ae = 0 \Rightarrow e(1 - a) = 0

. Pentru

a \neq 1

, rezultă

e = 0

. Dar

0 \in \mathbb{R} \setminus \{1\}

✓. Verificare:

a * 0 = a + 0 - 0 = a

✓.

3 puncte

Element simetric:

a * a' = 0 \Rightarrow a + a' - aa' = 0 \Rightarrow a'(1 - a) = -a \Rightarrow a' = \dfrac{a}{a - 1}

. Trebuie

a' \neq 1

\dfrac{a}{a-1} = 1 \Rightarrow a = a - 1

, imposibil. Deci

a' \in \mathbb{R} \setminus \{1\}

✓ pentru orice

a \neq 1

Tabelul Cayley — citirea proprietăților dintr-un tabel de compoziție

Tabelul Cayley reprezintă grafic o lege de compoziție pe o mulțime finită

A = \{a_1, a_2, \ldots, a_n\}

. Intrarea de pe linia

i

, coloana

j

este rezultatul

a_i * a_j

. Cum citești proprietățile din tabel:

Internă: Toate valorile din tabel aparțin mulțimii $A$ .
Comutativitate: Tabelul este simetric față de diagonala principală.
Element neutru: Linia și coloana lui $e$ reproduc exact headerul tabelului (elementele rămân neschimbate).
Element simetric: Pe linia lui $a$ , caută poziția unde apare $e$ ; coloana respectivă conține simetricul lui $a$ .

Exemplu:

A = \{0, 1, 2\}

, adunarea modulo 3 (

+_3

): |

+_3

| 0 | 1 | 2 | |--------|---|---|---| | 0 | 0 | 1 | 2 | | 1 | 1 | 2 | 0 | | 2 | 2 | 0 | 1 |

Tabelul este simetric $\Rightarrow$ legea este comutativă.
Linia lui $0$ : $(0, 1, 2)$ = headerul $\Rightarrow$ elementul neutru este $0$ .
Pe linia lui $1$ , elementul neutru $0$ apare în coloana $2$ $\Rightarrow$ simetricul lui $1$ este $2$ .
Pe linia lui $2$ , elementul neutru $0$ apare în coloana $1$ $\Rightarrow$ simetricul lui $2$ este $1$ .

usorExercițiu de lectură tabel

A = \{1, 3, 5, 7\}

se definește legea

a * b =

restul împărțirii lui

a \cdot b

8

. Completați tabelul Cayley și identificați elementul neutru.

3 puncte

Calculăm:

1*1=1

1*3=3

1*5=5

1*7=7

3*3=1

3*5=7

3*7=5

5*5=1

5*7=3

7*7=1

. Toate rezultatele

\in A

✓.

2 puncte

Linia lui

1

(1, 3, 5, 7)

= headerul, deci elementul neutru este

e = 1

. Tabelul este simetric, deci legea este comutativă. ✓

mediuExercițiu de sinteză

\mathbb{R}

se definește

a * b = 2a + 2b - 1

. Verificați comutativitatea și stabiliți dacă există element neutru.

2 puncte

Comutativitate:

b * a = 2b + 2a - 1 = 2a + 2b - 1 = a * b

. Operația este comutativă. ✓

3 puncte

Element neutru:

a * e = 2a + 2e - 1 = a \Rightarrow 2e = 1 - a \Rightarrow e = \dfrac{1 - a}{2}

. Deoarece

e

depinde de

a

, legea NU are element neutru pe

\mathbb{R}

Distributivitatea între două legi de compoziție și elementul absorbant

Când pe aceeași mulțime

A

avem două legi de compoziție

*

și

\circ

, putem vorbi de distributivitate:

a * (b \circ c) = (a * b) \circ (a * c) \quad \text{(distributivitate la stânga a lui } * \text{ față de } \circ\text{)}

( b \circ c) * a = (b * a) \circ (c * a) \quad \text{(distributivitate la dreapta)}

Exemplu clasic: Înmulțirea este distributivă față de adunare pe

\mathbb{R}

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

Element absorbant pentru legea

*

: un element

z \in A

cu proprietatea:

a * z = z * a = z, \quad \forall a \in A

Atenție: Elementul absorbant este diferit de elementul neutru!

Neutrul lui $\cdot$ pe $\mathbb{R}$ este $1$ (deoarece $a \cdot 1 = a$ )
Absorbantul lui $\cdot$ pe $\mathbb{R}$ este $0$ (deoarece $a \cdot 0 = 0$ )

mediuExercițiu de verificare

\mathbb{R}

se definesc

a * b = a + b + 1

și

a \circ b = a + b + ab

. Verificați dacă

\circ

este distributivă la stânga față de

*

2 puncte

Membrul stâng:

a \circ (b * c) = a \circ (b + c + 1) = a + (b + c + 1) + a(b + c + 1) = a + b + c + 1 + ab + ac + a

2 puncte

Membrul drept:

(a \circ b) * (a \circ c) = (a + b + ab) * (a + c + ac) = (a + b + ab) + (a + c + ac) + 1 = 2a + b + c + ab + ac + 1

1 punct

Membrul stâng

= 2a + b + c + 1 + ab + ac

= membrul drept. Deci

\circ

este distributivă la stânga față de

*

. ✓

greuProblemă de aprofundare

\mathbb{R}_{>0}

se definește

a * b = \sqrt{ab}

. Verificați dacă

*

este asociativă.

2 puncte

Calculăm $(a*b)*c$ :

a * b = \sqrt{ab} = (ab)^{1/2}

. Apoi

(a*b)*c = \sqrt{(ab)^{1/2} \cdot c} = (ab)^{1/4} \cdot c^{1/2}

2 puncte

Calculăm $a*(b*c)$ :

b * c = (bc)^{1/2}

. Apoi

a*(b*c) = \sqrt{a \cdot (bc)^{1/2}} = a^{1/2} \cdot (bc)^{1/4}

1 punct

Contraexemplu:

a = 16, b = 1, c = 1

(16*1)*1 = \sqrt{4 \cdot 1} = 2

, dar

16*(1*1) = \sqrt{16 \cdot 1} = 4

. Rezultate diferite, deci

*

NU este asociativă.

De la legi de compoziție la structura de grup — verificare completă

(A, *)

este grup dacă legea

*

satisface simultan:

Asociativitate: $(a * b) * c = a * (b * c)$ , $\forall a, b, c \in A$
Element neutru: $\exists\, e \in A: a * e = e * a = a$ , $\forall a \in A$
Element simetric: $\forall a \in A$ , $\exists\, a' \in A: a * a' = a' * a = e$

Dacă, în plus, legea este comutativă,

(A, *)

este grup comutativ (abelian). La Bac: Cerința tipică este „Arătați că

(A, *)

este grup comutativ". Trebuie verificate toate cele 4 proprietăți (asociativitate + element neutru + element simetric + comutativitate), plus proprietatea de lege internă. Observație importantă: Dacă demonstrezi că

a' \notin A

pentru un anumit

a

, structura NU este grup, chiar dacă celelalte proprietăți sunt satisfăcute.

mediuBac M1 — subiect complet

\mathbb{R} \setminus \{-1\}

se definește

a * b = a + b + ab

. Arătați că

(\mathbb{R} \setminus \{-1\}, *)

este grup comutativ.

1 punct

Internă:

a * b = a + b + ab = (1+a)(1+b) - 1

. Dacă

a \neq -1

și

b \neq -1

, atunci

(1+a)(1+b) \neq 0

, deci

a*b \neq -1

. Rezultă

a*b \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}

✓.

1 punct

Comutativitate:

b * a = b + a + ba = a + b + ab = a * b

✓.

2 puncte

Asociativitate:

(a*b)*c = (a+b+ab)+c+(a+b+ab)c = a+b+c+ab+ac+bc+abc

a*(b*c) = a+(b+c+bc)+a(b+c+bc) = a+b+c+bc+ab+ac+abc

. Egale ✓.

1 punct

Element neutru:

e = 0

(verificat anterior).

0 \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}

✓.

2 puncte

Element simetric:

a' = -\dfrac{a}{1+a}

. Trebuie

a' \neq -1

-\dfrac{a}{1+a} = -1 \Rightarrow a = 1+a

, imposibil. Deci

a' \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}

✓. Concluzie:

(\mathbb{R} \setminus \{-1\}, *)

este grup comutativ.

greuBac M1 — variantă cu funcție

\mathbb{R}

se definește

a * b = a + b - 2

. Arătați că

(\mathbb{R}, *)

este grup comutativ.

1 punct

Internă:

a * b = a + b - 2 \in \mathbb{R}

pentru orice

a, b \in \mathbb{R}

✓. Comutativitate:

b * a = b + a - 2 = a + b - 2 = a * b

✓.

2 puncte

Asociativitate:

(a*b)*c = (a+b-2)+c-2 = a+b+c-4

a*(b*c) = a+(b+c-2)-2 = a+b+c-4

. Egale ✓.

2 puncte

Element neutru:

a * e = a + e - 2 = a \Rightarrow e = 2

. Verificare:

a * 2 = a + 2 - 2 = a

✓ și

2 * a = 2 + a - 2 = a

✓.

2 puncte

Element simetric:

a * a' = 2 \Rightarrow a + a' - 2 = 2 \Rightarrow a' = 4 - a

a' \in \mathbb{R}

✓ pentru orice

a

. Concluzie:

(\mathbb{R}, *)

este grup comutativ.

Greșeli frecvente la legile de compoziție

✗

Verific elementul neutru doar din stânga:

e * a = a

✓Trebuie verificat din ambele părți:

e * a = a

ȘI

a * e = a

Dacă legea nu este comutativă, elementul neutru din stânga poate fi diferit de cel din dreapta. La Bac se cere elementul neutru bilateral. Dacă ai demonstrat deja comutativitatea, e suficient să verifici o singură parte.

✗

Dacă elementul neutru depinde de

a

, el există totuși

✓Elementul neutru trebuie să fie o constantă, aceeași pentru TOȚI

a \in A

Dacă rezolvi

a * e = a

și găsești

e = f(a)

(expresie care depinde de

a

), legea NU are element neutru. Acesta este un test foarte frecvent la Bac.

✗

Nu verific că elementul simetric aparține mulțimii

A

✓După ce găsești

a' = \ldots

, verifică obligatoriu că

a' \in A

De exemplu, dacă

A = \mathbb{R} \setminus \{-1\}

și găsești

a' = -\frac{a}{1+a}

, trebuie să arăți că

a' \neq -1

prin calcul. Lipsa acestei verificări este penalizată la Bac.

✗

Presupun că legea este asociativă fără să verific

✓Calculez explicit

(a*b)*c

și

a*(b*c)

și compar

Asociativitatea NU rezultă din comutativitate sau alte proprietăți. Se verifică separat printr-un calcul explicit, pas cu pas. Este cel mai lung calcul din exercițiu.

✗

Confund elementul neutru cu elementul absorbant

✓Neutrul:

a * e = e * a = a

. Absorbantul:

a * z = z * a = z

Neutrul păstrează celălalt element (

a * e = a

), pe când absorbantul „absoarbe" celălalt element (

a * z = z

). Exemplu: pentru înmulțire,

1

este neutru și

0

este absorbant.

Strategii pentru legile de compoziție la examenul de Bacalaureat

La Subiectul II, structura tipică: (a) verificați comutativitatea/asociativitatea, (b) determinați elementul neutru, (c) determinați elementul simetric, (d) arătați că mulțimea formează grup. Fiecare subpunct se punctează independent — nu sări peste niciun subpunct, chiar dacă nu reușești pe toate.

Verificarea asociativității este calculul cel mai lung. Strategie: notează

a * b = T

(un rezultat intermediar), apoi calculează

T * c

. Separat, notează

b * c = S

, apoi calculează

a * S

. Compară la final term cu term. Organizează-ți calculele pe două coloane paralele.

Timp recomandat: 15-20 de minute pentru o problemă completă de legi de compoziție la Subiectul II. Dacă asociativitatea te blochează după 5 minute, treci la elementul neutru și simetric (care se pot rezolva independent) și revino ulterior.

Substituția $(1 + a)$ : Dacă legea are forma

a * b = a + b + ab

, observă că

a * b = (1+a)(1+b) - 1

. Notând

f(a) = 1 + a

, operația devine multiplicare:

f(a*b) = f(a) \cdot f(b)

. Aceasta simplifică dramatic verificarea asociativității și aflarea simetricului.

Verificarea proprietății de lege internă este adesea uitată. La Bac, dacă mulțimea este

\mathbb{R} \setminus \{c\}

, trebuie să arăți explicit că

a * b \neq c

pentru orice

a, b

din mulțime. Punctele pentru această verificare sunt ușoare — nu le pierde!

Formulele esențiale pentru legile de compoziție — sinteză

Lege internă (închidere)

a * b \in A, \quad \forall a, b \in A

Rezultatul operației rămâne în mulțimea

A

Comutativitate

a * b = b * a, \quad \forall a, b \in A

Ordinea operanzilor nu contează.

Asociativitate

(a * b) * c = a * (b * c), \quad \forall a, b, c \in A

Ordinea efectuării operațiilor nu contează.

Element neutru

\exists\, e \in A: a * e = e * a = a, \quad \forall a \in A

Elementul neutru este unic dacă există. Trebuie verificat bilateral.

Element simetric

\forall a \in A,\; \exists\, a' \in A: a * a' = a' * a = e

Simetricul lui

a

, combinat cu

a

, dă elementul neutru

e

Distributivitate la stânga

a * (b \circ c) = (a * b) \circ (a * c)

Relație între două legi de compoziție pe aceeași mulțime.

Element absorbant

a * z = z * a = z, \quad \forall a \in A

Absorbantul „anulează" celălalt element (ex:

0

pentru înmulțire).

Grup comutativ (abelian)

(A, *) \text{ grup comutativ} \Leftrightarrow \text{internă + asociativă + neutru + simetric + comutativă}

Cerință completă la Bac: toate cele 5 proprietăți verificate.

Capitole inrudite

Grupuri Inele și corpuri Matrici

Exerciteaza 375 probleme de Legi de compoziție

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 266 grile de Legi de compoziție

Intrebari cu variante de raspuns

→

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.