Clasa 12Algebră

Legi de compoziție — Teorie, Formule si Exemple

Legile de compoziție internă sunt fundamentul algebrei abstracte din programa de Matematică M1, clasa a 12-a. La examenul de Bacalaureat, acest capitol apare constant la Subiectul II (punctele 2 sau 3), unde se cere: verificarea comutativității și asociativității, determinarea elementului neutru și a elementului simetric, precum și demonstrarea structurii de grup. Stăpânirea tehnicilor de calcul cu legi de compoziție asigură puncte sigure la Bac și oferă baza necesară pentru înțelegerea grupurilor, inelelor și corpurilor.

Ce este o lege de compoziție internă — definiție și proprietatea de închidere

Lege de compoziție internă pe mulțimea AA: o funcție :A×AA*: A \times A \to A care asociază oricărei perechi ordonate (a,b)A×A(a, b) \in A \times A un element abAa * b \in A. Proprietatea de închidere (internă): Pentru orice a,bAa, b \in A, rezultatul aba * b aparține tot lui AA. Aceasta este cerința minimală — fără ea, operația nu este lege de compoziție internă. Exemple de legi de compoziție internă:
  • Adunarea pe Z\mathbb{Z}: a+bZa + b \in \mathbb{Z} pentru orice a,bZa, b \in \mathbb{Z}
  • Înmulțirea pe N\mathbb{N}^*: abNa \cdot b \in \mathbb{N}^* pentru orice a,bNa, b \in \mathbb{N}^*
Contraexemple (NU sunt legi de compoziție internă):
  • Împărțirea pe Z\mathbb{Z}: 1÷2=12Z1 \div 2 = \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}
  • Scăderea pe N\mathbb{N}: 35=2N3 - 5 = -2 \notin \mathbb{N}
usorExercițiu introductiv
Pe R\mathbb{R} se definește ab=2a+3ba * b = 2a + 3b. Verificați că * este lege de compoziție internă pe R\mathbb{R}.
1
2 puncte
Fie a,bRa, b \in \mathbb{R}. Atunci ab=2a+3ba * b = 2a + 3b. Deoarece 2aR2a \in \mathbb{R} și 3bR3b \in \mathbb{R}, rezultă 2a+3bR2a + 3b \in \mathbb{R}. Deci abRa * b \in \mathbb{R} pentru orice a,bRa, b \in \mathbb{R}.
2
1 punct
Concluzie: * este lege de compoziție internă pe R\mathbb{R}. ✓
usorExercițiu de verificare
Pe N\mathbb{N}^* se definește ab=aba * b = a^b. Este * lege de compoziție internă pe N\mathbb{N}^*?
1
2 puncte
Fie a,bNa, b \in \mathbb{N}^*. Atunci a1a \geq 1 și b1b \geq 1, deci ab11=1a^b \geq 1^1 = 1, adică abNa^b \in \mathbb{N}^*.
2
1 punct
Concluzie: * este lege de compoziție internă pe N\mathbb{N}^*. ✓

Comutativitatea și asociativitatea unei legi de compoziție

Comutativitate: Legea * pe AA este comutativă dacă: ab=ba,a,bAa * b = b * a, \quad \forall a, b \in A Asociativitate: Legea * pe AA este asociativă dacă: (ab)c=a(bc),a,b,cA(a * b) * c = a * (b * c), \quad \forall a, b, c \in A Important: Comutativitatea și asociativitatea sunt proprietăți independente. O lege poate fi comutativă fără a fi asociativă, și invers. Cum se verifică la Bac:
  • Comutativitate: Calculezi aba * b și bab * a cu formula generală, apoi compari expresiile.
  • Asociativitate: Calculezi mai întâi aba * b, apoi (ab)c(a * b) * c. Separat, calculezi bcb * c, apoi a(bc)a * (b * c). Compari rezultatele term cu term.
usorExercițiu tip Bac
Fie ab=a+baba * b = a + b - ab pe R\mathbb{R}. Verificați comutativitatea.
1
2 puncte
Comutativitate: ab=a+baba * b = a + b - ab. Calculăm ba=b+aba=a+bab=abb * a = b + a - ba = a + b - ab = a * b.
2
1 punct
Deoarece ab=baa * b = b * a pentru orice a,bRa, b \in \mathbb{R}, legea * este comutativă. ✓
mediuExercițiu clasic Bac
Pe R\mathbb{R} se definește ab=a+b+aba * b = a + b + ab. Verificați asociativitatea.
1
2 puncte
Calculăm (ab)c(a * b) * c: ab=a+b+aba * b = a + b + ab. Apoi (ab)c=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c=a+b+ab+c+ac+bc+abc(a*b)*c = (a+b+ab) + c + (a+b+ab) \cdot c = a + b + ab + c + ac + bc + abc.
2
2 puncte
Calculăm a(bc)a * (b * c): bc=b+c+bcb * c = b + c + bc. Apoi a(bc)=a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)=a+b+c+bc+ab+ac+abca*(b*c) = a + (b+c+bc) + a(b+c+bc) = a + b + c + bc + ab + ac + abc.
3
1 punct
Ambele expresii sunt egale cu a+b+c+ab+ac+bc+abca + b + c + ab + ac + bc + abc. Deci * este asociativă. ✓

Determinarea elementului neutru și a elementului simetric

Element neutru (unic dacă există): eA\exists\, e \in A astfel încât: ae=ea=a,aAa * e = e * a = a, \quad \forall a \in A Algoritm de determinare:
  1. Rezolvi ecuația ae=aa * e = a în necunoscuta ee.
  2. Verifici că ee nu depinde de aa (este o constantă).
  3. Verifici că eAe \in A.
  4. Dacă legea nu este comutativă, verifici și ea=ae * a = a.
Element simetric (invers): Dacă există elementul neutru ee, elementul simetric al lui aa este aAa' \in A cu: aa=aa=ea * a' = a' * a = e Algoritm de determinare:
  1. Rezolvi ecuația ax=ea * x = e în necunoscuta xx.
  2. Verifici că xAx \in A (condiția de existență).
  3. Dacă legea nu este comutativă, verifici și xa=ex * a = e.
Strategie rapidă:
  • Dacă legea are formă aditivă (a+b+a + b + \ldots), încearcă e=0e = 0
  • Dacă legea are formă multiplicativă (ab+ab + \ldots), încearcă e=1e = 1
mediuBac M1 — exercițiu tip
Pe R\mathbb{R} se definește ab=a+b+aba * b = a + b + ab. Găsiți elementul neutru și elementul simetric al lui aa.
1
3 puncte
Element neutru: ae=a+e+ae=ae+ae=0e(1+a)=0a * e = a + e + ae = a \Rightarrow e + ae = 0 \Rightarrow e(1 + a) = 0. Pentru a1a \neq -1, rezultă e=0e = 0. Verificare: a0=a+0+a0=aa * 0 = a + 0 + a \cdot 0 = a ✓ și 0a=0+a+0a=a0 * a = 0 + a + 0 \cdot a = a ✓. Deci e=0e = 0.
2
3 puncte
Element simetric: aa=0a+a+aa=0a(1+a)=aa=a1+aa * a' = 0 \Rightarrow a + a' + aa' = 0 \Rightarrow a'(1 + a) = -a \Rightarrow a' = -\dfrac{a}{1 + a}, definit pentru a1a \neq -1. Elementul a=1a = -1 nu are simetric.
mediuBac M1 — variantă
Pe R{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} se definește ab=a+baba * b = a + b - ab. Găsiți elementul neutru și elementul simetric al lui aa.
1
3 puncte
Element neutru: ae=a+eae=aeae=0e(1a)=0a * e = a + e - ae = a \Rightarrow e - ae = 0 \Rightarrow e(1 - a) = 0. Pentru a1a \neq 1, rezultă e=0e = 0. Dar 0R{1}0 \in \mathbb{R} \setminus \{1\} ✓. Verificare: a0=a+00=aa * 0 = a + 0 - 0 = a ✓.
2
3 puncte
Element simetric: aa=0a+aaa=0a(1a)=aa=aa1a * a' = 0 \Rightarrow a + a' - aa' = 0 \Rightarrow a'(1 - a) = -a \Rightarrow a' = \dfrac{a}{a - 1}. Trebuie a1a' \neq 1: aa1=1a=a1\dfrac{a}{a-1} = 1 \Rightarrow a = a - 1, imposibil. Deci aR{1}a' \in \mathbb{R} \setminus \{1\} ✓ pentru orice a1a \neq 1.

Tabelul Cayley — citirea proprietăților dintr-un tabel de compoziție

Tabelul Cayley reprezintă grafic o lege de compoziție pe o mulțime finită A={a1,a2,,an}A = \{a_1, a_2, \ldots, a_n\}. Intrarea de pe linia ii, coloana jj este rezultatul aiaja_i * a_j. Cum citești proprietățile din tabel:
  • Internă: Toate valorile din tabel aparțin mulțimii AA.
  • Comutativitate: Tabelul este simetric față de diagonala principală.
  • Element neutru: Linia și coloana lui ee reproduc exact headerul tabelului (elementele rămân neschimbate).
  • Element simetric: Pe linia lui aa, caută poziția unde apare ee; coloana respectivă conține simetricul lui aa.
Exemplu: A={0,1,2}A = \{0, 1, 2\}, adunarea modulo 3 (+3+_3): | +3+_3 | 0 | 1 | 2 | |--------|---|---|---| | 0 | 0 | 1 | 2 | | 1 | 1 | 2 | 0 | | 2 | 2 | 0 | 1 |
  • Tabelul este simetric \Rightarrow legea este comutativă.
  • Linia lui 00: (0,1,2)(0, 1, 2) = headerul \Rightarrow elementul neutru este 00.
  • Pe linia lui 11, elementul neutru 00 apare în coloana 22 \Rightarrow simetricul lui 11 este 22.
  • Pe linia lui 22, elementul neutru 00 apare în coloana 11 \Rightarrow simetricul lui 22 este 11.
usorExercițiu de lectură tabel
Pe A={1,3,5,7}A = \{1, 3, 5, 7\} se definește legea ab=a * b = restul împărțirii lui aba \cdot b la 88. Completați tabelul Cayley și identificați elementul neutru.
1
3 puncte
Calculăm: 11=11*1=1, 13=31*3=3, 15=51*5=5, 17=71*7=7, 33=13*3=1, 35=73*5=7, 37=53*7=5, 55=15*5=1, 57=35*7=3, 77=17*7=1. Toate rezultatele A\in A ✓.
2
2 puncte
Linia lui 11: (1,3,5,7)(1, 3, 5, 7) = headerul, deci elementul neutru este e=1e = 1. Tabelul este simetric, deci legea este comutativă. ✓
mediuExercițiu de sinteză
Pe R\mathbb{R} se definește ab=2a+2b1a * b = 2a + 2b - 1. Verificați comutativitatea și stabiliți dacă există element neutru.
1
2 puncte
Comutativitate: ba=2b+2a1=2a+2b1=abb * a = 2b + 2a - 1 = 2a + 2b - 1 = a * b. Operația este comutativă. ✓
2
3 puncte
Element neutru: ae=2a+2e1=a2e=1ae=1a2a * e = 2a + 2e - 1 = a \Rightarrow 2e = 1 - a \Rightarrow e = \dfrac{1 - a}{2}. Deoarece ee depinde de aa, legea NU are element neutru pe R\mathbb{R}.

Distributivitatea între două legi de compoziție și elementul absorbant

Când pe aceeași mulțime AA avem două legi de compoziție * și \circ, putem vorbi de distributivitate: a(bc)=(ab)(ac)(distributivitate la staˆnga a lui  fața˘ de )a * (b \circ c) = (a * b) \circ (a * c) \quad \text{(distributivitate la stânga a lui } * \text{ față de } \circ\text{)} (bc)a=(ba)(ca)(distributivitate la dreapta)( b \circ c) * a = (b * a) \circ (c * a) \quad \text{(distributivitate la dreapta)} Exemplu clasic: Înmulțirea este distributivă față de adunare pe R\mathbb{R}: a(b+c)=ab+aca \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c Element absorbant pentru legea *: un element zAz \in A cu proprietatea: az=za=z,aAa * z = z * a = z, \quad \forall a \in A Atenție: Elementul absorbant este diferit de elementul neutru!
  • Neutrul lui \cdot pe R\mathbb{R} este 11 (deoarece a1=aa \cdot 1 = a)
  • Absorbantul lui \cdot pe R\mathbb{R} este 00 (deoarece a0=0a \cdot 0 = 0)
mediuExercițiu de verificare
Pe R\mathbb{R} se definesc ab=a+b+1a * b = a + b + 1 și ab=a+b+aba \circ b = a + b + ab. Verificați dacă \circ este distributivă la stânga față de *.
1
2 puncte
Membrul stâng: a(bc)=a(b+c+1)=a+(b+c+1)+a(b+c+1)=a+b+c+1+ab+ac+aa \circ (b * c) = a \circ (b + c + 1) = a + (b + c + 1) + a(b + c + 1) = a + b + c + 1 + ab + ac + a.
2
2 puncte
Membrul drept: (ab)(ac)=(a+b+ab)(a+c+ac)=(a+b+ab)+(a+c+ac)+1=2a+b+c+ab+ac+1(a \circ b) * (a \circ c) = (a + b + ab) * (a + c + ac) = (a + b + ab) + (a + c + ac) + 1 = 2a + b + c + ab + ac + 1.
3
1 punct
Membrul stâng =2a+b+c+1+ab+ac= 2a + b + c + 1 + ab + ac = membrul drept. Deci \circ este distributivă la stânga față de *. ✓
greuProblemă de aprofundare
Pe R>0\mathbb{R}_{>0} se definește ab=aba * b = \sqrt{ab}. Verificați dacă * este asociativă.
1
2 puncte
Calculăm (ab)c(a*b)*c: ab=ab=(ab)1/2a * b = \sqrt{ab} = (ab)^{1/2}. Apoi (ab)c=(ab)1/2c=(ab)1/4c1/2(a*b)*c = \sqrt{(ab)^{1/2} \cdot c} = (ab)^{1/4} \cdot c^{1/2}.
2
2 puncte
Calculăm a(bc)a*(b*c): bc=(bc)1/2b * c = (bc)^{1/2}. Apoi a(bc)=a(bc)1/2=a1/2(bc)1/4a*(b*c) = \sqrt{a \cdot (bc)^{1/2}} = a^{1/2} \cdot (bc)^{1/4}.
3
1 punct
Contraexemplu: a=16,b=1,c=1a = 16, b = 1, c = 1: (161)1=41=2(16*1)*1 = \sqrt{4 \cdot 1} = 2, dar 16(11)=161=416*(1*1) = \sqrt{16 \cdot 1} = 4. Rezultate diferite, deci * NU este asociativă.

De la legi de compoziție la structura de grup — verificare completă

(A,)(A, *) este grup dacă legea * satisface simultan:
  1. Asociativitate: (ab)c=a(bc)(a * b) * c = a * (b * c), a,b,cA\forall a, b, c \in A
  2. Element neutru: eA:ae=ea=a\exists\, e \in A: a * e = e * a = a, aA\forall a \in A
  3. Element simetric: aA\forall a \in A, aA:aa=aa=e\exists\, a' \in A: a * a' = a' * a = e
Dacă, în plus, legea este comutativă, (A,)(A, *) este grup comutativ (abelian). La Bac: Cerința tipică este „Arătați că (A,)(A, *) este grup comutativ". Trebuie verificate toate cele 4 proprietăți (asociativitate + element neutru + element simetric + comutativitate), plus proprietatea de lege internă. Observație importantă: Dacă demonstrezi că aAa' \notin A pentru un anumit aa, structura NU este grup, chiar dacă celelalte proprietăți sunt satisfăcute.
mediuBac M1 — subiect complet
Pe R{1}\mathbb{R} \setminus \{-1\} se definește ab=a+b+aba * b = a + b + ab. Arătați că (R{1},)(\mathbb{R} \setminus \{-1\}, *) este grup comutativ.
1
1 punct
Internă: ab=a+b+ab=(1+a)(1+b)1a * b = a + b + ab = (1+a)(1+b) - 1. Dacă a1a \neq -1 și b1b \neq -1, atunci (1+a)(1+b)0(1+a)(1+b) \neq 0, deci ab1a*b \neq -1. Rezultă abR{1}a*b \in \mathbb{R} \setminus \{-1\} ✓.
2
1 punct
Comutativitate: ba=b+a+ba=a+b+ab=abb * a = b + a + ba = a + b + ab = a * b ✓.
3
2 puncte
Asociativitate: (ab)c=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c=a+b+c+ab+ac+bc+abc(a*b)*c = (a+b+ab)+c+(a+b+ab)c = a+b+c+ab+ac+bc+abc. a(bc)=a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)=a+b+c+bc+ab+ac+abca*(b*c) = a+(b+c+bc)+a(b+c+bc) = a+b+c+bc+ab+ac+abc. Egale ✓.
4
1 punct
Element neutru: e=0e = 0 (verificat anterior). 0R{1}0 \in \mathbb{R} \setminus \{-1\} ✓.
5
2 puncte
Element simetric: a=a1+aa' = -\dfrac{a}{1+a}. Trebuie a1a' \neq -1: a1+a=1a=1+a-\dfrac{a}{1+a} = -1 \Rightarrow a = 1+a, imposibil. Deci aR{1}a' \in \mathbb{R} \setminus \{-1\} ✓. Concluzie: (R{1},)(\mathbb{R} \setminus \{-1\}, *) este grup comutativ.
greuBac M1 — variantă cu funcție
Pe R\mathbb{R} se definește ab=a+b2a * b = a + b - 2. Arătați că (R,)(\mathbb{R}, *) este grup comutativ.
1
1 punct
Internă: ab=a+b2Ra * b = a + b - 2 \in \mathbb{R} pentru orice a,bRa, b \in \mathbb{R} ✓. Comutativitate: ba=b+a2=a+b2=abb * a = b + a - 2 = a + b - 2 = a * b ✓.
2
2 puncte
Asociativitate: (ab)c=(a+b2)+c2=a+b+c4(a*b)*c = (a+b-2)+c-2 = a+b+c-4. a(bc)=a+(b+c2)2=a+b+c4a*(b*c) = a+(b+c-2)-2 = a+b+c-4. Egale ✓.
3
2 puncte
Element neutru: ae=a+e2=ae=2a * e = a + e - 2 = a \Rightarrow e = 2. Verificare: a2=a+22=aa * 2 = a + 2 - 2 = a ✓ și 2a=2+a2=a2 * a = 2 + a - 2 = a ✓.
4
2 puncte
Element simetric: aa=2a+a2=2a=4aa * a' = 2 \Rightarrow a + a' - 2 = 2 \Rightarrow a' = 4 - a. aRa' \in \mathbb{R} ✓ pentru orice aa. Concluzie: (R,)(\mathbb{R}, *) este grup comutativ.

Greșeli frecvente la legile de compoziție

Verific elementul neutru doar din stânga: ea=ae * a = a
Trebuie verificat din ambele părți: ea=ae * a = a ȘI ae=aa * e = a
Dacă legea nu este comutativă, elementul neutru din stânga poate fi diferit de cel din dreapta. La Bac se cere elementul neutru bilateral. Dacă ai demonstrat deja comutativitatea, e suficient să verifici o singură parte.
Dacă elementul neutru depinde de aa, el există totuși
Elementul neutru trebuie să fie o constantă, aceeași pentru TOȚI aAa \in A
Dacă rezolvi ae=aa * e = a și găsești e=f(a)e = f(a) (expresie care depinde de aa), legea NU are element neutru. Acesta este un test foarte frecvent la Bac.
Nu verific că elementul simetric aparține mulțimii AA
După ce găsești a=a' = \ldots, verifică obligatoriu că aAa' \in A
De exemplu, dacă A=R{1}A = \mathbb{R} \setminus \{-1\} și găsești a=a1+aa' = -\frac{a}{1+a}, trebuie să arăți că a1a' \neq -1 prin calcul. Lipsa acestei verificări este penalizată la Bac.
Presupun că legea este asociativă fără să verific
Calculez explicit (ab)c(a*b)*c și a(bc)a*(b*c) și compar
Asociativitatea NU rezultă din comutativitate sau alte proprietăți. Se verifică separat printr-un calcul explicit, pas cu pas. Este cel mai lung calcul din exercițiu.
Confund elementul neutru cu elementul absorbant
Neutrul: ae=ea=aa * e = e * a = a. Absorbantul: az=za=za * z = z * a = z
Neutrul păstrează celălalt element (ae=aa * e = a), pe când absorbantul „absoarbe" celălalt element (az=za * z = z). Exemplu: pentru înmulțire, 11 este neutru și 00 este absorbant.

Strategii pentru legile de compoziție la examenul de Bacalaureat

La Subiectul II, structura tipică: (a) verificați comutativitatea/asociativitatea, (b) determinați elementul neutru, (c) determinați elementul simetric, (d) arătați că mulțimea formează grup. Fiecare subpunct se punctează independent — nu sări peste niciun subpunct, chiar dacă nu reușești pe toate.
Verificarea asociativității este calculul cel mai lung. Strategie: notează ab=Ta * b = T (un rezultat intermediar), apoi calculează TcT * c. Separat, notează bc=Sb * c = S, apoi calculează aSa * S. Compară la final term cu term. Organizează-ți calculele pe două coloane paralele.
Timp recomandat: 15-20 de minute pentru o problemă completă de legi de compoziție la Subiectul II. Dacă asociativitatea te blochează după 5 minute, treci la elementul neutru și simetric (care se pot rezolva independent) și revino ulterior.
Substituția (1+a)(1 + a): Dacă legea are forma ab=a+b+aba * b = a + b + ab, observă că ab=(1+a)(1+b)1a * b = (1+a)(1+b) - 1. Notând f(a)=1+af(a) = 1 + a, operația devine multiplicare: f(ab)=f(a)f(b)f(a*b) = f(a) \cdot f(b). Aceasta simplifică dramatic verificarea asociativității și aflarea simetricului.
Verificarea proprietății de lege internă este adesea uitată. La Bac, dacă mulțimea este R{c}\mathbb{R} \setminus \{c\}, trebuie să arăți explicit că abca * b \neq c pentru orice a,ba, b din mulțime. Punctele pentru această verificare sunt ușoare — nu le pierde!

Formulele esențiale pentru legile de compoziție — sinteză

Lege internă (închidere)
abA,a,bAa * b \in A, \quad \forall a, b \in A
Rezultatul operației rămâne în mulțimea AA.
Comutativitate
ab=ba,a,bAa * b = b * a, \quad \forall a, b \in A
Ordinea operanzilor nu contează.
Asociativitate
(ab)c=a(bc),a,b,cA(a * b) * c = a * (b * c), \quad \forall a, b, c \in A
Ordinea efectuării operațiilor nu contează.
Element neutru
eA:ae=ea=a,aA\exists\, e \in A: a * e = e * a = a, \quad \forall a \in A
Elementul neutru este unic dacă există. Trebuie verificat bilateral.
Element simetric
aA,  aA:aa=aa=e\forall a \in A,\; \exists\, a' \in A: a * a' = a' * a = e
Simetricul lui aa, combinat cu aa, dă elementul neutru ee.
Distributivitate la stânga
a(bc)=(ab)(ac)a * (b \circ c) = (a * b) \circ (a * c)
Relație între două legi de compoziție pe aceeași mulțime.
Element absorbant
az=za=z,aAa * z = z * a = z, \quad \forall a \in A
Absorbantul „anulează" celălalt element (ex: 00 pentru înmulțire).
Grup comutativ (abelian)
(A,) grup comutativinterna˘ + asociativa˘ + neutru + simetric + comutativa˘(A, *) \text{ grup comutativ} \Leftrightarrow \text{internă + asociativă + neutru + simetric + comutativă}
Cerință completă la Bac: toate cele 5 proprietăți verificate.
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.