Grile de Numere Complexe — Clasa a 10-a

322 întrebări cu variante de răspuns • Algebra

Teorie Numere Complexe — Formule si exemple rezolvate

Probleme de Numere Complexe

160 exerciții cu rezolvare pas cu pas

Greu#1

Fie

z \in \mathbb{C}

astfel încât

z^2 + z + 1 = 0

și

n

un număr natural. Se consideră expresia

E = z^{2n} + z^n + 1

. Care dintre următoarele afirmații este adevărată pentru orice

n \in \mathbb{N}

E = 0

dacă

n

nu este multiplu de

3

, altfel

E = 3

E = 0

dacă

n

este multiplu de

3

, altfel

E = 1

E = 0

dacă

n

nu este multiplu de

3

, altfel

E = 1

E = 0

dacă

n

este multiplu de

3

, altfel

E = 3

Explicație

Ecuația

z^2+z+1=0

are soluțiile

z = \varepsilon

și

z = \varepsilon^2

, unde

\varepsilon = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}

este o rădăcină cubică primitivă a unității, satisfăcând

\varepsilon^3=1

și

\varepsilon^2+\varepsilon+1=0

. Vom analiza

E = z^{2n} + z^n + 1

pentru

z

egal cu una dintre aceste valori.

Dacă $n$ este multiplu de $3$ , adică $n=3k$ , atunci $z^n = (z^3)^k = 1^k = 1$ și $z^{2n} = (z^n)^2 = 1^2 = 1$ . Rezultă $E = 1 + 1 + 1 = 3$ .
Dacă $n$ nu este multiplu de $3$ , atunci $n$ poate fi de forma $n=3k+1$ sau $n=3k+2$ .
- Pentru $n=3k+1$ $n = 3 k + 1$ :
  - Dacă $z=\varepsilon$ , atunci $z^n = \varepsilon^{3k+1} = \varepsilon$ , $z^{2n} = \varepsilon^{6k+2} = \varepsilon^2$ . Deci $E = \varepsilon^2 + \varepsilon + 1 = 0$ .
  - Dacă $z=\varepsilon^2$ , atunci $z^n = (\varepsilon^2)^{3k+1} = \varepsilon^{6k+2} = \varepsilon^2$ , $z^{2n} = \varepsilon^{12k+4} = \varepsilon^4 = \varepsilon$ . Deci $E = \varepsilon + \varepsilon^2 + 1 = 0$ .
- Pentru $n=3k+2$ $n = 3 k + 2$ :
  - Dacă $z=\varepsilon$ , atunci $z^n = \varepsilon^{3k+2} = \varepsilon^2$ , $z^{2n} = \varepsilon^{6k+4} = \varepsilon^4 = \varepsilon$ . Deci $E = \varepsilon + \varepsilon^2 + 1 = 0$ .
  - Dacă $z=\varepsilon^2$ , atunci $z^n = (\varepsilon^2)^{3k+2} = \varepsilon^{6k+4} = \varepsilon$ , $z^{2n} = \varepsilon^{12k+8} = \varepsilon^8 = \varepsilon^2$ . Deci $E = \varepsilon^2 + \varepsilon + 1 = 0$ .

În concluzie,

E = 0

dacă

n

nu este multiplu de

3

, iar

E = 3

dacă

n

este multiplu de

3

. Deci afirmația corectă este cea din opțiunea A.

Greu#2

Fie

z \in \mathbb{C}

z \neq 1

, care verifică ecuația

z^2 + z + 1 = 0

. Valoarea expresiei

z^{2023} + z^{-2023}

este:

-1

0

1

2

Explicație

Din ecuația $z^2+z+1=0$ și $z \neq 1$ , se știe că $z$ este o rădăcină cubică a unității diferită de 1, deci $z^3=1$ .
Reducem exponentul $2023$ modulo 3: $2023 = 3 \cdot 674 + 1$ , deci $z^{2023} = z^{3 \cdot 674 + 1} = (z^3)^{674} \cdot z = 1^{674} \cdot z = z$ .
Pentru $z^{-2023}$ : $z^{-2023} = \frac{1}{z^{2023}} = \frac{1}{z}$ .
Din ecuația inițială, împărțind ambii membri la $z$ (deoarece $z \neq 0$ ), obținem $z + 1 + \frac{1}{z} = 0$ , deci $z + \frac{1}{z} = -1$ .
Atunci $z^{2023} + z^{-2023} = z + \frac{1}{z} = -1$ . Deci răspunsul corect este $-1$ .

Greu#3

Fie

z

un număr complex astfel încât

z^3 = 1

și

z \neq 1

. Valoarea expresiei

(1-z+z^2)(1+z-z^2)

este:

0

1

4

-1

Explicație

Deoarece

z^3=1

și

z\neq 1

z

este o rădăcină cubică primitivă a unității, deci satisface

z^2+z+1=0

(ecuația rădăcinilor complexe). Din

z^2+z+1=0

avem

z^2=-1-z

. Primul factor:

1-z+z^2 = 1 - z + (-1 - z) = -2z

. Al doilea factor:

1+z-z^2 = 1+z - (-1 - z) = 1+z+1+z = 2+2z = 2(1+z)

. Ținând cont că

1+z = -z^2

(din

z^2+z+1=0

), obținem

1+z-z^2 = -2z^2

. Produsul este:

(-2z) \cdot (-2z^2) = 4z^3

. Cum

z^3=1

, rezultatul final este

4

Greu#4

Determinați numărul de soluții distincte ale ecuației

z^4 + \bar{z}^2 = 0

în mulțimea numerelor complexe.

A) 4

B) 6

C) 7

D) 8

Explicație

Fie

z = r e^{i\theta}

, cu

r \geq 0

și

\theta \in [0, 2\pi)

. Atunci

\bar{z} = r e^{-i\theta}

. Ecuația devine:

r^4 e^{4i\theta} + r^2 e^{-2i\theta} = 0

. Cazul 1:

r=0

. Atunci

z=0

, care este soluție. Cazul 2:

r>0

. Împărțim ecuația prin

r^2

r^2 e^{4i\theta} + e^{-2i\theta} = 0 \Rightarrow r^2 e^{4i\theta} = - e^{-2i\theta}

. Scriem

-1 = e^{i\pi}

; atunci

r^2 e^{4i\theta} = e^{i\pi} e^{-2i\theta} = e^{i(\pi - 2\theta)}

. Egalând modulele:

r^2 = 1 \Rightarrow r=1

(doar

r>0

). Egalând argumentele (modulo

2\pi

4\theta = \pi - 2\theta + 2k\pi, \, k \in \mathbb{Z} \Rightarrow 6\theta = \pi + 2k\pi \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}

. Pentru

k = 0,1,2,3,4,5

obținem valori distincte ale lui

\theta

în

[0, 2\pi)

\theta_0 = \frac{\pi}{6},\ \theta_1 = \frac{\pi}{2},\ \theta_2 = \frac{5\pi}{6},\ \theta_3 = \frac{7\pi}{6},\ \theta_4 = \frac{3\pi}{2},\ \theta_5 = \frac{11\pi}{6}

. Acestea corespund la 6 soluții distincte de forma

z = e^{i\theta}

. Împreună cu

z=0

, în total avem 7 soluții distincte.

Greu#5

Fie

z \in \mathbb{C}

z \neq 0

, astfel încât

z + \frac{1}{z} = 1

. Care este valoarea lui

z^{10} + \frac{1}{z^{10}}

-1

1

2

-2

Explicație

Din $z + \frac{1}{z} = 1$ , înmulțim cu $z$ (condiția $z \neq 0$ ) și obținem $z^2 - z + 1 = 0$ .
Discriminantul ecuației este $\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$ . Soluțiile sunt $z = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ , care se scriu sub formă trigonometrică: $z = \cos\frac{\pi}{3} \pm i\sin\frac{\pi}{3} = e^{\pm i\pi/3}$ .
Calculăm $z^3 = (e^{\pm i\pi/3})^3 = e^{\pm i\pi} = -1$ , deci $z^6 = (z^3)^2 = 1$ .
Folosind $z^6 = 1$ , simplificăm: $z^{10} = z^{6} \cdot z^{4} = z^{4}$ și $\frac{1}{z^{10}} = z^{-10} = z^{2} \cdot z^{-12} = z^{2} \cdot (z^{6})^{-2} = z^{2}$ (deoarece $z^{12} = (z^6)^2 = 1$ ). Astfel, $z^{10} + \frac{1}{z^{10}} = z^{4} + z^{2}$ .
Din ecuația $z^2 - z + 1 = 0$ obținem $z^2 = z - 1$ . Ridicând la pătrat: $z^4 = (z-1)^2 = z^2 - 2z + 1$ . Înlocuind $z^2 = z-1$ , avem $z^4 = (z-1) - 2z + 1 = -z$ .
În final, $z^{4} + z^{2} = -z + (z-1) = -1$ . Deci $z^{10} + \frac{1}{z^{10}} = -1$ .

Greu#6

Fie

z_1

și

z_2

rădăcinile ecuației

z^2 + (3-i)z + (4-3i)=0

. Valoarea lui

|z_1|^2 + |z_2|^2

este:

A) 8

B) 10

C) 12

D) 14

Explicație

Folosim relațiile lui Viete:

z_1+z_2 = -(3-i)

și

z_1z_2 = 4-3i

. Calculăm

|z_1+z_2|^2 = |{-3+i}|^2 = (-3)^2 + 1^2 = 10

. Discriminantul este

\Delta = (3-i)^2 - 4(4-3i) = 9 -6i -1 -16 +12i = -8+6i

. Modulul pătrat al diferenței rădăcinilor este

|z_1-z_2|^2 = |\sqrt{\Delta}|^2 = |\Delta| = |{-8+6i}| = \sqrt{(-8)^2+6^2}^2 = 64+36=100

, deci

|z_1-z_2|^2 = 100

? Atenție:

|\Delta|

este modulul lui

\Delta

, adică

\sqrt{(-8)^2+6^2}=\sqrt{100}=10

, deci

|\Delta| = 10

, iar

|z_1-z_2|^2 = |\sqrt{\Delta}|^2 = |\Delta| = 10

(nu 100). Utilizăm identitatea algebrică:

|z_1|^2+|z_2|^2 = \frac{|z_1+z_2|^2 + |z_1-z_2|^2}{2} = \frac{10+10}{2}=10

Greu#7

Calculați suma

S = \cos\frac{\pi}{7} + \cos\frac{3\pi}{7} + \cos\frac{5\pi}{7}

0

\frac{1}{2}

1

-\frac{1}{2}

Explicație

Se consideră numărul complex

\omega = \cos\frac{\pi}{7} + i\sin\frac{\pi}{7}

. Atunci

\omega^7 = \cos\pi + i\sin\pi = -1

. Suma dată este partea reală a sumei

\omega + \omega^3 + \omega^5

.\nNotăm

A = \omega + \omega^3 + \omega^5

și

B = \omega^2 + \omega^4 + \omega^6

. Deoarece

\omega^7 = -1

, avem

\omega^{-1} = -\omega^6

\omega^{-3} = -\omega^4

\omega^{-5} = -\omega^2

. Atunci

S = \frac{1}{2}(A + \overline{A}) = \frac{1}{2}(A + (-\omega^6 - \omega^4 - \omega^2)) = \frac{1}{2}(A - B)

.\nCum

\omega

este rădăcină a ecuației

x^7 + 1 = 0

, suma tuturor rădăcinilor (inclusiv

\omega^0 = 1

) este

0

, deci

1 + A + B = 0 \Rightarrow A + B = -1

.\nCalculăm

A - B

A - B = (\omega + \omega^3 + \omega^5) - (\omega^2 + \omega^4 + \omega^6) = \omega \frac{1 - (-\omega)^6}{1 + \omega} = \omega \frac{1 - \omega^6}{1+\omega}

. Din

\omega^7 = -1

, avem

\omega^6 = -\omega^{-1}

, deci

1 - \omega^6 = 1 + \omega^{-1} = \frac{\omega+1}{\omega}

. Înlocuind:

A - B = \omega \cdot \frac{\frac{\omega+1}{\omega}}{1+\omega} = 1

.\nPrin urmare,

S = \frac{1}{2}(A - B) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}

Greu#8

Fie

z \in \mathbb{C}^*

astfel încât

|z|=1

și

z^2 + \bar{z}^2 = 1

. Valoarea lui

|z^6 - 1|

este:

A) 0

B) 1

C) 2

\sqrt{3}

Explicație

Din $|z|=1$ rezultă $z\bar{z}=1$ , deci $\bar{z} = \frac{1}{z}$ .
Înlocuim: $z^2 + \bar{z}^2 = z^2 + \frac{1}{z^2} = 1$ .
Multiplicăm cu $z^2$ (nenul): $z^4 + 1 = z^2 \Rightarrow z^4 - z^2 + 1 = 0$ .
Din ecuația $z^4 - z^2 + 1 = 0$ exprimăm $z^4 = z^2 - 1$ .
Calculăm $z^6 = z^2 \cdot z^4 = z^2(z^2 - 1) = z^4 - z^2 = (z^2 - 1) - z^2 = -1$ .
Așadar, $z^6 = -1$ , deci $|z^6 - 1| = |-1 - 1| = |-2| = 2$ . Alternativ, se poate folosi forma trigonometrică: $z = \cos\theta + i\sin\theta$ cu $|z|=1$ . Atunci $z^2 + \bar{z}^2 = 2\cos(2\theta)=1$ , deci $\cos(2\theta)=\frac{1}{2} \Rightarrow 2\theta = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi \Rightarrow \theta = \pm\frac{\pi}{6} + k\pi$ . Atunci $6\theta = \pm\pi + 6k\pi$ , deci $z^6 = \cos(6\theta) + i\sin(6\theta) = \cos(\pm\pi) + i\sin(\pm\pi) = -1$ , iar modulul este tot 2.

Greu#9

Fie numărul complex

z = \frac{\sqrt{3}+i}{2}

. Calculați

z^{2023} + \overline{z}^{2023}

-\sqrt{3}

\sqrt{3}

-1

1

Explicație

Se observă că

z = \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} = e^{i\pi/6}

deoarece

\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6}

și

\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}

. Atunci conjugatul este

\overline{z} = \cos\frac{\pi}{6} - i\sin\frac{\pi}{6} = e^{-i\pi/6}

. Folosind formula lui De Moivre,

z^{2023} = e^{i 2023\pi/6}

și

\overline{z}^{2023} = e^{-i 2023\pi/6}

. Suma devine

z^{2023} + \overline{z}^{2023} = e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos\theta

, unde

\theta = \frac{2023\pi}{6}

. Simplificăm argumentul modulo

2\pi

: împărțim 2023 la 12 (deoarece

2\pi = \frac{12\pi}{6}

2023 = 12 \cdot 168 + 7

, deci

\frac{2023\pi}{6} = 168 \cdot 2\pi + \frac{7\pi}{6}

. Astfel,

\cos\left(\frac{2023\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}

. În final,

z^{2023} + \overline{z}^{2023} = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\sqrt{3}

Greu#10

Fie

\varepsilon

o rădăcină complexă a ecuației

z^3 = 1

, diferită de

1

. Valoarea expresiei

(1+\varepsilon)^{2023} + (1+\varepsilon^2)^{2023}

este:

A) 1

B) -1

C) 0

D) 2

Explicație

Deoarece $\varepsilon$ este o rădăcină cubică a unității diferită de $1$ , avem $\varepsilon^3=1$ și $1+\varepsilon+\varepsilon^2=0$ .
Din $1+\varepsilon+\varepsilon^2=0$ obținem $1+\varepsilon = -\varepsilon^2$ și $1+\varepsilon^2 = -\varepsilon$ .
Înlocuind în expresie: $(1+\varepsilon)^{2023} + (1+\varepsilon^2)^{2023} = (-\varepsilon^2)^{2023} + (-\varepsilon)^{2023} = (-1)^{2023}(\varepsilon^{4046} + \varepsilon^{2023}) = -(\varepsilon^{4046} + \varepsilon^{2023})$ .
Reducem exponenții modulo 3: $2023 = 3 \cdot 674 + 1$ , deci $\varepsilon^{2023} = \varepsilon^{3 \cdot 674 + 1} = (\varepsilon^3)^{674} \cdot \varepsilon = 1^{674} \cdot \varepsilon = \varepsilon$ .
$4046 = 3 \cdot 1348 + 2$ , deci $\varepsilon^{4046} = \varepsilon^{3 \cdot 1348 + 2} = (\varepsilon^3)^{1348} \cdot \varepsilon^2 = 1^{1348} \cdot \varepsilon^2 = \varepsilon^2$ .
Expresia devine $-(\varepsilon^2 + \varepsilon) = -(-1) = 1$ , deoarece din $1+\varepsilon+\varepsilon^2=0$ rezultă $\varepsilon+\varepsilon^2 = -1$ . Deci valoarea expresiei este $1$ .

Greu#11

Fie

z \in \mathbb{C}^*

astfel încât

\left| z + \frac{1}{z} \right| = 1

. Care este valoarea maximă posibilă a lui

|z|

\frac{1+\sqrt{5}}{2}

\sqrt{2}

\frac{\sqrt{5}-1}{2}

\frac{\sqrt{5}}{2}

Explicație

Se notează

z = r(\cos\theta + i\sin\theta)

r>0

. Atunci

\frac{1}{z} = \frac{1}{r}(\cos\theta - i\sin\theta)

. Modulul pătrat:

|z+\frac{1}{z}|^2 = (r+\frac{1}{r})^2\cos^2\theta + (r-\frac{1}{r})^2\sin^2\theta = r^2 + \frac{1}{r^2} + 2\cos2\theta

. Din condiția

|z+\frac{1}{z}|=1

rezultă

r^2 + \frac{1}{r^2} + 2\cos2\theta = 1

, deci

r^2 + \frac{1}{r^2} = 1 - 2\cos2\theta

. Deoarece

r^2 + \frac{1}{r^2} \geq 2

(inegalitatea mediilor), avem

1-2\cos2\theta \geq 2 \Rightarrow \cos2\theta \leq -\frac{1}{2}

. Totodată,

\cos2\theta \geq -1

, deci

1-2\cos2\theta \leq 3

. Astfel,

r^2 + \frac{1}{r^2} \in [2,3]

. Pentru a maximiza

|z|=r

, căutăm maximul lui

r^2+\frac{1}{r^2}

, adică

3

. Ecuația

r^2+\frac{1}{r^2}=3

se rescrie ca

r^4-3r^2+1=0

, cu soluțiile

r^2 = \frac{3\pm\sqrt{5}}{2}

. Maximul lui

r

se obține pentru

r^2 = \frac{3+\sqrt{5}}{2}

. Observând că

\frac{3+\sqrt{5}}{2} = \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2

, rezultă

r = \frac{1+\sqrt{5}}{2}

(r>0). Se verifică alegând

\theta = \frac{\pi}{2}

(pentru care

\cos2\theta = -1

z = \frac{1+\sqrt{5}}{2} i

\frac{1}{z} = -\frac{2}{1+\sqrt{5}}i = -\frac{\sqrt{5}-1}{2} i

, iar

z+\frac{1}{z} = i \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} - \frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) = i

, cu modulul

1

. Așadar, valoarea maximă este

\frac{1+\sqrt{5}}{2}

Greu#12

Determinați numărul de soluții complexe distincte ale ecuației

z^{2023} = \overline{z}

A) 2023

B) 2024

C) 2025

D) 2026

Explicație

Verificăm că $z=0$ este soluție: $0^{2023}=0$ și $\overline{0}=0$ , deci egalitate.\n2. Pentru $z\neq 0$ , scriem $z=re^{i\theta}$ , cu $r>0$ , $\theta\in[0,2\pi)$ .\n3. Ecuația devine: $r^{2023}e^{i2023\theta} = r e^{-i\theta}$ .\n4. Egalând modulele: $r^{2023}=r \Rightarrow r^{2022}=1 \Rightarrow r=1$ (deoarece $r>0$ ).\n5. Egalând argumentele (mod $2\pi$ ): $2023\theta = -\theta + 2k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ $\Rightarrow$ $2024\theta = 2k\pi$ $\Rightarrow$ $\theta = \frac{k\pi}{1012}$ , $k=0,1,\dots,2023$ .\n6. Pentru $k=0,1,\dots,2023$ se obțin $2024$ valori distincte ale lui $\theta$ în $[0,2\pi)$ , deci $2024$ soluții nenule.\n7. Împreună cu $z=0$ , totalul este $2024+1=2025$ soluții complexe distincte.

Și alte 310 grile disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Accesează toate cele 322 probleme de Numere Complexe cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.