Clasa 10Algebră

Numere Complexe — Teorie, Formule si Exemple

Numerele complexe, studiate în clasa a 10-a, reprezintă o extensie a mulțimii numerelor reale care permite rezolvarea oricărei ecuații polinomiale, inclusiv ecuații fără soluții reale precum x2+1=0x^2 + 1 = 0. Prin introducerea unității imaginare ii cu proprietatea i2=−1i^2 = -1, se construiește mulțimea C\mathbb{C} care cuprinde toate numerele de forma a+bia + bi. La Bacalaureat Matematică M1, numerele complexe apar constant la Subiectul I, Exercițiul 1 (5 puncte) — cel mai predictibil exercițiu din întregul examen. Cerințele tipice includ: operații în forma algebrică, calculul modulului și conjugatului, puterile lui ii, împărțirea numerelor complexe și, ocazional, forma trigonometrică sau formula lui De Moivre. Este un exercițiu ideal pentru a acumula puncte rapid dacă stăpânești formulele de bază.

Definiția numărului complex și puterile lui i

Numărul complex este o expresie de forma z=a+biz = a + bi, unde a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} și ii este unitatea imaginară cu proprietatea i2=−1i^2 = -1.
  • Re(z)=a\text{Re}(z) = a — partea reală
  • Im(z)=b\text{Im}(z) = b — partea imaginară
  • b=0⇒z=a∈Rb = 0 \Rightarrow z = a \in \mathbb{R} (număr real)
  • a=0,  b≠0⇒z=bia = 0,\; b \neq 0 \Rightarrow z = bi (număr pur imaginar)
Incluziuni între mulțimi: N⊂Z⊂Q⊂R⊂C\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} Egalitatea numerelor complexe: a+bi=c+di⇔a=ca + bi = c + di \Leftrightarrow a = c și b=db = d (se egalează separat părțile reale și cele imaginare). Puterile lui ii formează un ciclu cu perioadă 4: i0=1,i1=i,i2=−1,i3=−i,i4=1,i5=i,…i^0 = 1, \quad i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1, \quad i^5 = i, \ldots Regulă rapidă: pentru ini^n, împarte nn la 4 și ia restul rr; rezultatul este iri^r.
usorTip frecvent BAC
Calculați i2026i^{2026} și i2025i^{2025}.
1
2 puncte
2026=4⋅506+22026 = 4 \cdot 506 + 2, deci restul este r=2r = 2.
2
1 punct
i2026=i2=−1i^{2026} = i^2 = -1.
3
2 puncte
2025=4⋅506+12025 = 4 \cdot 506 + 1, deci i2025=i1=ii^{2025} = i^1 = i.
mediuExercițiu de antrenament
Calculați suma S=i+i2+i3+i4+…+i100S = i + i^2 + i^3 + i^4 + \ldots + i^{100}.
1
3 puncte
Observăm că i+i2+i3+i4=i+(−1)+(−i)+1=0i + i^2 + i^3 + i^4 = i + (-1) + (-i) + 1 = 0.
2
3 puncte
Suma se grupează în 100/4=25100 / 4 = 25 de grupe consecutive, fiecare cu suma 00.
3
4 puncte
Deci S=25⋅0=0S = 25 \cdot 0 = 0.

Operații cu numere complexe: adunare, scădere, inmulțire

Adunare și scădere: se adună/scad separat părțile reale și cele imaginare: (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i(a+bi) \pm (c+di) = (a \pm c) + (b \pm d)i Înmulțire: se distribuie ca la binomi, aplicând i2=−1i^2 = -1: (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac−bd)+(ad+bc)i(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac-bd) + (ad+bc)i Conjugatul lui z=a+biz = a+bi este zˉ=a−bi\bar{z} = a - bi (se schimbă semnul părții imaginare). Proprietăți ale conjugatului:
  • z1+z2‾=z1ˉ+z2ˉ\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}
  • z1⋅z2‾=z1ˉ⋅z2ˉ\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}
  • zˉ‾=z\overline{\bar{z}} = z
  • z+zˉ=2az + \bar{z} = 2a (dublu partea reală)
  • z−zˉ=2biz - \bar{z} = 2bi (dublu partea imaginară)
Modulul: ∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2 + b^2} (distanța de la origine la punctul (a,b)(a,b) în planul complex). Proprietate fundamentală: z⋅zˉ=a2+b2=∣z∣2z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2 (rezultat real!).
usorExercițiu standard
Fie z=3−4iz = 3 - 4i. Calculați ∣z∣|z|, zˉ\bar{z} și z⋅zˉz \cdot \bar{z}.
1
3 puncte
∣z∣=32+(−4)2=9+16=25=5|z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.
2
2 puncte
zˉ=3+4i\bar{z} = 3 + 4i.
3
5 puncte
z⋅zˉ=(3−4i)(3+4i)=9+16=25=∣z∣2=52z \cdot \bar{z} = (3-4i)(3+4i) = 9 + 16 = 25 = |z|^2 = 5^2.
mediuTip BAC
Fie z1=2+3iz_1 = 2 + 3i și z2=1−iz_2 = 1 - i. Calculați z1⋅z2z_1 \cdot z_2 și ∣z1⋅z2∣|z_1 \cdot z_2|.
1
4 puncte
z1⋅z2=(2+3i)(1−i)=2−2i+3i−3i2=2+i+3=5+iz_1 \cdot z_2 = (2+3i)(1-i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i.
2
3 puncte
∣z1⋅z2∣=∣5+i∣=25+1=26|z_1 \cdot z_2| = |5 + i| = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}.
3
3 puncte
Verificare: ∣z1∣⋅∣z2∣=13⋅2=26|z_1| \cdot |z_2| = \sqrt{13} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{26} (proprietatea modulului produsului).

Împărțirea numerelor complexe prin conjugat

Împărțirea la un număr complex se face înmulțind atât numărătorul, cât și numitorul cu conjugatul numitorului: z1z2=z1⋅z2ˉz2⋅z2ˉ=z1⋅z2ˉ∣z2∣2\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \cdot \bar{z_2}}{z_2 \cdot \bar{z_2}} = \frac{z_1 \cdot \bar{z_2}}{|z_2|^2} Deoarece z2⋅z2ˉ=∣z2∣2∈Rz_2 \cdot \bar{z_2} = |z_2|^2 \in \mathbb{R}, numitorul devine un număr real și putem separa ușor părțile reale și imaginare. Important: Nu se poate „simplifica" direct o fracție de forma a+bic+di\dfrac{a+bi}{c+di} fără această operație. Rezultatul final trebuie scris întotdeauna în forma a+bia + bi. Proprietăți utile ale modulului:
  • ∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|
  • ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}, pentru z2≠0z_2 \neq 0
  • ∣z∣2=z⋅zˉ|z|^2 = z \cdot \bar{z}
mediuTip frecvent BAC
Calculați 2+i1−2i\dfrac{2+i}{1-2i} și scrieți rezultatul în forma a+bia+bi.
1
2 puncte
Înmulțim cu conjugatul numitorului 1−2i‾=1+2i\overline{1-2i} = 1+2i: (2+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)\dfrac{(2+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}.
2
2 puncte
Numitor: (1−2i)(1+2i)=12+22=5(1-2i)(1+2i) = 1^2 + 2^2 = 5.
3
3 puncte
Numărător: (2+i)(1+2i)=2+4i+i+2i2=2+5i−2=5i(2+i)(1+2i) = 2 + 4i + i + 2i^2 = 2 + 5i - 2 = 5i.
4
3 puncte
Rezultat: 5i5=i=0+1⋅i\dfrac{5i}{5} = i = 0 + 1 \cdot i, deci a=0a = 0, b=1b = 1.
mediuExercițiu de antrenament
Calculați 3+4i1+i\dfrac{3+4i}{1+i} în forma algebrică.
1
2 puncte
Conjugatul numitorului: 1+i‾=1−i\overline{1+i} = 1-i. Înmulțim: (3+4i)(1−i)(1+i)(1−i)\dfrac{(3+4i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}.
2
2 puncte
Numitor: (1+i)(1−i)=1+1=2(1+i)(1-i) = 1 + 1 = 2.
3
3 puncte
Numărător: (3+4i)(1−i)=3−3i+4i−4i2=3+i+4=7+i(3+4i)(1-i) = 3 - 3i + 4i - 4i^2 = 3 + i + 4 = 7 + i.
4
3 puncte
Rezultat: 7+i2=72+12i\dfrac{7+i}{2} = \dfrac{7}{2} + \dfrac{1}{2}i.

Forma trigonometrică și formula lui De Moivre

Orice număr complex z≠0z \neq 0 se poate scrie în forma trigonometrică: z=r(cos⁡φ+isin⁡φ)z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) unde r=∣z∣r = |z| este modulul, iar φ=arg⁡(z)\varphi = \arg(z) este argumentul (unghiul față de axa reală pozitivă), cu φ∈[0,2π)\varphi \in [0, 2\pi) sau φ∈(−π,π]\varphi \in (-\pi, \pi]. Conversia din forma algebrică z=a+biz = a + bi:
  • r=a2+b2r = \sqrt{a^2 + b^2}
  • cos⁡φ=ar\cos\varphi = \dfrac{a}{r}, sin⁡φ=br\sin\varphi = \dfrac{b}{r}
  • Atenție: trebuie verificat cadranul folosind semnele lui aa și bb!
Înmulțirea în forma trigonometrică: z1⋅z2=r1r2[cos⁡(φ1+φ2)+isin⁡(φ1+φ2)]z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 [\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)] Formula lui De Moivre (pentru ridicarea la putere): zn=rn(cos⁡nφ+isin⁡nφ)z^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi) Rădăcinile de ordinul nn ale lui zz: wk=rn(cos⁡φ+2kπn+isin⁡φ+2kπn),k=0,1,…,n−1w_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\varphi + 2k\pi}{n} + i\sin\frac{\varphi + 2k\pi}{n}\right), \quad k = 0, 1, \ldots, n-1 Rădăcinile sunt dispuse uniform pe un cerc de rază rn\sqrt[n]{r} centrat în origine.
mediuExercițiu de antrenament
Scrieți z=1+iz = 1 + i în forma trigonometrică.
1
2 puncte
r=∣z∣=12+12=2r = |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.
2
4 puncte
cos⁡φ=12\cos\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{2}} și sin⁡φ=12\sin\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{2}}. Ambele sunt pozitive, deci zz este în cadranul I, iar φ=π4\varphi = \dfrac{\pi}{4}.
3
4 puncte
z=2(cos⁡π4+isin⁡π4)z = \sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right).
mediuTip BAC De Moivre
Calculați (1+i)10(1+i)^{10} folosind formula lui De Moivre.
1
2 puncte
Din exemplul anterior: 1+i=2(cos⁡π4+isin⁡π4)1+i = \sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right).
2
3 puncte
Aplicăm De Moivre: (1+i)10=(2)10(cos⁡10π4+isin⁡10π4)(1+i)^{10} = (\sqrt{2})^{10}\left(\cos\dfrac{10\pi}{4} + i\sin\dfrac{10\pi}{4}\right).
3
3 puncte
(2)10=25=32(\sqrt{2})^{10} = 2^5 = 32. Iar 10π4=5π2=2π+π2\dfrac{10\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{2} = 2\pi + \dfrac{\pi}{2}, deci cos⁡5π2=0\cos\dfrac{5\pi}{2} = 0 și sin⁡5π2=1\sin\dfrac{5\pi}{2} = 1.
4
2 puncte
(1+i)10=32(0+i⋅1)=32i(1+i)^{10} = 32(0 + i \cdot 1) = 32i.

Ecuații cu numere complexe si rădăcini pătratice in C

Dacă se cere z∈Cz \in \mathbb{C} cu z2=wz^2 = w (unde w=u+viw = u + vi), scriem z=a+biz = a + bi și egalăm: (a+bi)2=(a2−b2)+2abi=u+vi(a+bi)^2 = (a^2 - b^2) + 2abi = u + vi Obținem sistemul prin egalarea părților reale și imaginare: {a2−b2=u2ab=v\begin{cases} a^2 - b^2 = u \\ 2ab = v \end{cases} Din a doua ecuație: b=v2ab = \dfrac{v}{2a}. Substituim în prima și obținem o ecuație de gradul 2 în a2a^2. A treia relație utilă: ∣z2∣=∣z∣2|z^2| = |z|^2, deci a2+b2=∣w∣=u2+v2a^2 + b^2 = |w| = \sqrt{u^2 + v^2}. Adunând această relație cu prima ecuație a sistemului, se obține direct a2a^2. Ecuația de gradul 2 în C\mathbb{C}: ecuația az2+bz+c=0az^2 + bz + c = 0 cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} are soluțiile: z1,2=−b±Δ2az_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} unde dacă Δ<0\Delta < 0, atunci Δ=i∣Δ∣\sqrt{\Delta} = i\sqrt{|\Delta|}, iar soluțiile sunt complexe conjugate.
greuAntrenament M1
Găsiți z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât z2=−5+12iz^2 = -5 + 12i.
1
2 puncte
Scriem z=a+biz = a+bi: (a2−b2)+2abi=−5+12i(a^2 - b^2) + 2abi = -5 + 12i. Obținem sistemul: a2−b2=−5a^2 - b^2 = -5 și 2ab=122ab = 12, deci ab=6ab = 6.
2
2 puncte
Din ab=6ab = 6: b=6/ab = 6/a. Substituim: a2−36/a2=−5a^2 - 36/a^2 = -5, adică a4+5a2−36=0a^4 + 5a^2 - 36 = 0.
3
3 puncte
Ecuație de gradul 2 în a2a^2: (a2−4)(a2+9)=0(a^2 - 4)(a^2 + 9) = 0. Deoarece a∈Ra \in \mathbb{R}, avem a2=4a^2 = 4, deci a=±2a = \pm 2.
4
3 puncte
Pentru a=2a = 2: b=3b = 3, deci z1=2+3iz_1 = 2 + 3i. Pentru a=−2a = -2: b=−3b = -3, deci z2=−2−3iz_2 = -2 - 3i. Verificare: (2+3i)2=4+12i+9i2=4+12i−9=−5+12i(2+3i)^2 = 4 + 12i + 9i^2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i.
mediuTip BAC — ecuație de gradul 2
Rezolvați ecuația z2−2z+5=0z^2 - 2z + 5 = 0 în mulțimea C\mathbb{C}.
1
3 puncte
Calculăm discriminantul: Δ=(−2)2−4⋅1⋅5=4−20=−16<0\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0.
2
3 puncte
Δ=−16=4i\sqrt{\Delta} = \sqrt{-16} = 4i.
3
4 puncte
z1,2=2±4i2=1±2iz_{1,2} = \dfrac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i. Deci z1=1+2iz_1 = 1 + 2i și z2=1−2iz_2 = 1 - 2i (soluții complexe conjugate).

Greșeli frecvente la numere complexe

✗
i2=1i^2 = 1
✓i2=−1i^2 = -1
Aceasta este definiția fundamentală a unității imaginare. Totul în numerele complexe derivă din i2=−1i^2 = -1. Confuzia cu i2=1i^2 = 1 este cea mai frecventă eroare.
✗
∣a+bi∣=a+b|a+bi| = a + b sau ∣a+bi∣=∣a∣+∣b∣|a+bi| = |a| + |b|
✓∣a+bi∣=a2+b2|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}
Modulul este distanța euclidiană de la origine la punctul (a,b)(a, b) din plan (teorema lui Pitagora), nu suma componentelor sau a modulelor lor.
✗
1a+bi=1a+1bi\dfrac{1}{a+bi} = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{bi}
✓1a+bi=a−bia2+b2\dfrac{1}{a+bi} = \dfrac{a-bi}{a^2+b^2}
Împărțirea la un număr complex se face exclusiv prin înmulțire cu conjugatul. Nu se poate „separa" fracția.
✗
z1+z2‾=z1ˉ−z2ˉ\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} - \bar{z_2}
✓z1+z2‾=z1ˉ+z2ˉ\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}
Conjugatul sumei este suma conjugatelor, nu diferența lor. Conjugatul schimbă doar semnul părții imaginare, nu al operațiilor.
✗
La forma trigonometrică: φ=arctan⁡(b/a)\varphi = \arctan(b/a) mereu
✓Trebuie verificat cadranul: arctan⁡\arctan returnează valori doar în (−π/2,π/2)(-\pi/2, \pi/2); în cadranele II și III se adaugă π\pi
De exemplu, z=−1−iz = -1 - i (cadranul III) are φ=π+π/4=5π/4\varphi = \pi + \pi/4 = 5\pi/4, nu π/4\pi/4. Întotdeauna verifică semnele lui aa și bb pentru a identifica cadranul corect.

Sfaturi pentru rezolvarea numerelor complexe la BAC

Numerele complexe apar la Subiectul I, Exercițiul 1 (5 puncte) la M1. Este cel mai predictibil exercițiu: operații algebrice, modul, conjugat, puteri ale lui ii, sau forma trigonometrică. Rezolvarea corectă îți garantează 5 puncte rapide.
Puterile lui ii — regula restului: Împarte exponentul la 4 și ia restul. Rest 0: in=1i^n = 1. Rest 1: in=ii^n = i. Rest 2: in=−1i^n = -1. Rest 3: in=−ii^n = -i. Funcționează și pentru exponenți negativi: i−1=−ii^{-1} = -i (deoarece i−1=iˉ/∣i∣2=−ii^{-1} = \bar{i}/|i|^2 = -i).
La împărțire, scrie MEREU pașii explicit: (1) identifici conjugatul numitorului, (2) înmulțești sus și jos, (3) calculezi numitorul ca ∣z∣2|z|^2, (4) dezvolți numărătorul, (5) scrii rezultatul ca a+bia + bi. Punctajul parțial se acordă pentru fiecare pas corect.
Suma i+i2+…+ini + i^2 + \ldots + i^n: Dacă nn este multiplu de 4, suma este 0. Acest tip de cerință apare frecvent și se rezolvă instant dacă observi ciclul de 4.
Verificare rapidă: După ce obții rezultatul z=a+biz = a + bi, poți verifica modulul: ∣z∣2=a2+b2|z|^2 = a^2 + b^2. Dacă ai și z⋅zˉz \cdot \bar{z}, trebuie să coincidă. Această verificare durează 10 secunde și poate salva puncte.

Toate formulele pentru numere complexe

Unitatea imaginară
i2=−1i^2 = -1, i4k=1\quad i^{4k}=1,   i4k+1=i\;i^{4k+1}=i,   i4k+2=−1\;i^{4k+2}=-1,   i4k+3=−i\;i^{4k+3}=-i
Ciclul puterilor lui ii are perioada 4. Împarte exponentul la 4 și aplică restul.
Adunare și scădere
(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i(a+bi) \pm (c+di) = (a \pm c) + (b \pm d)i
Se adună/scad separat părțile reale și cele imaginare.
Înmulțire
(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
Se distribuie ca la binomi, cu i2=−1i^2 = -1.
Conjugatul
a+bi‾=a−bi\overline{a+bi} = a-bi, z⋅zˉ=∣z∣2\quad z \cdot \bar{z} = |z|^2, z+zˉ=2Re(z)\quad z + \bar{z} = 2\text{Re}(z)
Se schimbă semnul părții imaginare. Produsul cu conjugatul este întotdeauna un număr real pozitiv.
Modulul
∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2+b^2}, ∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣\quad |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|
Distanța de la origine la punctul (a,b)(a,b) în planul complex. Modulul produsului = produsul modulelor.
Împărțirea
z1z2=z1⋅z2ˉ∣z2∣2\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1 \cdot \bar{z_2}}{|z_2|^2}
Se înmulțește cu conjugatul numitorului. Numitorul devine un număr real.
Forma trigonometrică
z=r(cos⁡φ+isin⁡φ)z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi), cu r=∣z∣r = |z|, φ=arg⁡(z)\varphi = \arg(z)
rr este modulul, φ\varphi este argumentul (unghiul față de axa reală pozitivă).
Formula lui De Moivre
zn=rn(cos⁡nφ+isin⁡nφ)z^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)
Puterea unui număr complex în forma trigonometrică: se ridică modulul la putere și se înmulțește argumentul.
Rădăcini de ordin n
wk=rn(cos⁡φ+2kπn+isin⁡φ+2kπn)w_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\dfrac{\varphi+2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}\right)
Sunt exact nn rădăcini (k=0,1,…,n−1k = 0, 1, \ldots, n-1), dispuse uniform pe un cerc.

Capitole inrudite

TrigonometrieFuncția de gradul al II-leaEcuații iraționaleGeometrie Analitică

Exerciteaza 160 probleme de Numere Complexe

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 322 grile de Numere Complexe

Intrebari cu variante de raspuns

→
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.