Grile de Trigonometrie — Clasa a 9-a

306 întrebări cu variante de răspuns • Geometrie

Teorie Trigonometrie — Formule si exemple rezolvate

Probleme de Trigonometrie

570 exerciții cu rezolvare pas cu pas

Greu#1

Fie

x \in (0, \pi)

astfel încât

\sin x + \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}

. Dacă

\tan x

este soluția ecuației, care este valoarea lui

\tan x

-2 - \sqrt{3}

-2 + \sqrt{3}

2 - \sqrt{3}

2 + \sqrt{3}

Explicație

Punem

\sin x + \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}

. Ridicăm la pătrat:

(\sin x + \cos x)^2 = \frac{1}{2}

, deci

\sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = \frac{1}{2}

, adică

1 + 2\sin x \cos x = \frac{1}{2}

\Rightarrow

2\sin x \cos x = -\frac{1}{2}

\Rightarrow

\sin 2x = -\frac{1}{2}

. Cum

x \in (0,\pi)

, avem

2x \in (0, 2\pi)

. Ecuația

\sin 2x = -\frac{1}{2}

are soluții în cadranele III și IV:

2x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}

2x = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}

. Deci

x = \frac{7\pi}{12}

x = \frac{11\pi}{12}

. Ambele sunt în

(0, \pi)

. Dar trebuie să verificăm condiția inițială

\sin x + \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}

. Pentru

x = \frac{7\pi}{12}

\sin \frac{7\pi}{12} = \sin(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}) = \sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

, iar

\cos \frac{7\pi}{12} = \cos(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}

. Suma este

\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}

. Deci

x = \frac{7\pi}{12}

verifică. Pentru

x = \frac{11\pi}{12}

\sin \frac{11\pi}{12} = \sin(\pi - \frac{\pi}{12}) = \sin \frac{\pi}{12} = \sin(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}) = \sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} - \cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

;

\cos \frac{11\pi}{12} = \cos(\pi - \frac{\pi}{12}) = -\cos \frac{\pi}{12} = -\cos(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}) = -(\cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}) = -(\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}

. Suma:

\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} + \left(-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\right) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} = \frac{-2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}

, care nu este egală cu

\frac{1}{\sqrt{2}}

. Deci singura soluție în

(0,\pi)

care satisface ecuația inițială este

x = \frac{7\pi}{12}

. Atunci

\tan x = \tan \frac{7\pi}{12} = \tan(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}) = \frac{\tan\frac{\pi}{3}+\tan\frac{\pi}{4}}{1-\tan\frac{\pi}{3}\tan\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}\cdot 1} = \frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}

. Rationalizăm:

\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{1-3} = \frac{4+2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3}

. Deci răspunsul este

-2-\sqrt{3}

, adică opțiunea A.

Greu#2

Dacă

\sin x + \cos x = \frac{1}{2}

, atunci

\sin^4 x + \cos^4 x

este egal cu:

\frac{7}{8}

\frac{25}{32}

\frac{23}{32}

\frac{1}{4}

Explicație

Se pătratează relația dată: $(\sin x + \cos x)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \Rightarrow \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = \frac{1}{4} \Rightarrow 1 + 2\sin x \cos x = \frac{1}{4}$ .
Se deduce: $2\sin x \cos x = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4} \Rightarrow \sin x \cos x = -\frac{3}{8}$ .
Se utilizează identitatea: $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2(\sin x \cos x)^2$ .
Se înlocuiește: $\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\left(-\frac{3}{8}\right)^2 = 1 - 2\cdot\frac{9}{64} = 1 - \frac{18}{64} = 1 - \frac{9}{32} = \frac{32}{32} - \frac{9}{32} = \frac{23}{32}$ .

Greu#3

Se consideră unghiurile ascuțite

A

și

B

astfel încât

\tan A + \tan B = 2

și

\sin(A+B) = \frac{\sqrt{2}}{2}

. Valoarea expresiei

\tan A \cdot \tan B

este:

1

2

3

4

Explicație

Se folosește formula: $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ .
Din $\sin(A+B) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , deoarece $A$ și $B$ sunt ascuțite, $A+B \in (0^\circ, 180^\circ)$ . Soluțiile sunt $A+B = 45^\circ$ sau $A+B = 135^\circ$ .
Dacă $A+B = 45^\circ$ , atunci $\tan(A+B)=1$ . Înlocuind: $1 = \frac{2}{1 - \tan A \tan B} \Rightarrow 1 - \tan A \tan B = 2 \Rightarrow \tan A \tan B = -1$ , imposibil deoarece pentru unghiuri ascuțite $\tan A > 0$ , $\tan B > 0$ , deci produsul este pozitiv.
Dacă $A+B = 135^\circ$ , atunci $\tan(A+B) = \tan 135^\circ = -1$ . Înlocuind: $-1 = \frac{2}{1 - \tan A \tan B} \Rightarrow 1 - \tan A \tan B = -2 \Rightarrow \tan A \tan B = 3$ . Acest rezultat este pozitiv, deci compatibil cu condițiile.
Prin urmare, $\tan A \cdot \tan B = 3$ .

Greu#4

Dacă

\sec \theta + \tan \theta = 2

, atunci

\sin \theta

este egal cu:

\frac{3}{5}

\frac{4}{5}

\frac{5}{4}

\frac{1}{2}

Explicație

Se știe că

\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1

. Atunci

(\sec \theta + \tan \theta)(\sec \theta - \tan \theta) = 1

. Cum

\sec \theta + \tan \theta = 2

, rezultă

2 \cdot (\sec \theta - \tan \theta) = 1

, deci

\sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{2}

. Adunând cele două ecuații:

(\sec \theta + \tan \theta) + (\sec \theta - \tan \theta) = 2 + \frac{1}{2}

, deci

2\sec \theta = \frac{5}{2}

, de unde

\sec \theta = \frac{5}{4}

. Atunci

\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta} = \frac{4}{5}

. Scăzând cele două ecuații:

(\sec \theta + \tan \theta) - (\sec \theta - \tan \theta) = 2 - \frac{1}{2}

, deci

2\tan \theta = \frac{3}{2}

, de unde

\tan \theta = \frac{3}{4}

. Cum

\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}

, rezultă

\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5}

. Verificare:

\sec \theta = \frac{5}{4} > 0

și

\tan \theta = \frac{3}{4} > 0

, deci

\theta

este în primul cadran, iar

\sin \theta > 0

, deci

\frac{3}{5}

este corect.

Greu#5

Calculați valoarea exactă a expresiei:

E = \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ

\frac{1}{8}

\frac{1}{4}

\frac{\sqrt{3}}{8}

\frac{1}{16}

Explicație

Se notează $E = \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$ . \ 2. Se înmulțește și se împarte cu $\sin 20^\circ$ : $E = \frac{\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ}$ . \ 3. Folosind formula dublu: $\sin 20^\circ \cos 20^\circ = \frac{1}{2} \sin 40^\circ$ . \ 4. Atunci $E = \frac{\frac{1}{2} \sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ}$ . \ 5. Aplicăm din nou formula dublu: $\sin 40^\circ \cos 40^\circ = \frac{1}{2} \sin 80^\circ$ . \ 6. Obținem $E = \frac{\frac{1}{4} \sin 80^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ}$ . \ 7. Folosind $\sin 80^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{2} \sin 160^\circ$ , rezultă $E = \frac{\frac{1}{8} \sin 160^\circ}{\sin 20^\circ}$ . \ 8. Cum $\sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$ , se obține $E = \frac{\frac{1}{8} \sin 20^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{1}{8}$ .

Greu#6

Valoarea expresiei

\dfrac{1}{\sin 10^\circ} - \dfrac{\sqrt{3}}{\cos 10^\circ}

este:

A) 2

B) 1

C) 4

D) 8

Explicație

Pasul 1: Aducem expresia la același numitor:

\frac{\cos 10^\circ - \sqrt{3} \sin 10^\circ}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}.

Pasul 2: Factorizăm numărătorul, extrăgând factorul 2:

2 \left( \frac{1}{2} \cos 10^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 10^\circ \right).

Pasul 3: Recunoaștem că

\frac{1}{2} = \sin 30^\circ

și

\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos 30^\circ

, deci expresia din paranteză devine:

\sin 30^\circ \cos 10^\circ - \cos 30^\circ \sin 10^\circ = \sin(30^\circ - 10^\circ) = \sin 20^\circ.

Astfel, numărătorul este

2 \sin 20^\circ

. Pasul 4: Numitorul se transformă folosind formula sinusului pentru unghi dublu:

\sin 10^\circ \cos 10^\circ = \frac{1}{2} \sin 20^\circ.

Pasul 5: Înlocuim în fracție:

\frac{2 \sin 20^\circ}{\frac{1}{2} \sin 20^\circ} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4.

Deci valoarea expresiei este 4.

Greu#7

Calculați valoarea sumei:

S = \sin^2(10^\circ) + \sin^2(20^\circ) + \sin^2(30^\circ) + \sin^2(40^\circ) + \sin^2(50^\circ) + \sin^2(60^\circ) + \sin^2(70^\circ) + \sin^2(80^\circ) + \sin^2(90^\circ)

A) 4

B) 4.5

C) 5

D) 5.5

Explicație

Se observă că unghiurile se pot grupa în perechi complementare:

10^\circ

și

80^\circ

20^\circ

și

70^\circ

30^\circ

și

60^\circ

40^\circ

și

50^\circ

. Pentru unghiuri complementare,

\sin(90^\circ - x) = \cos x

, deci

\sin^2(90^\circ - x) = \cos^2 x

. Aplicând, obținem:

\sin^2(10^\circ) + \sin^2(80^\circ) = \sin^2(10^\circ) + \cos^2(10^\circ) = 1

\sin^2(20^\circ) + \sin^2(70^\circ) = \sin^2(20^\circ) + \cos^2(20^\circ) = 1

\sin^2(30^\circ) + \sin^2(60^\circ) = \sin^2(30^\circ) + \cos^2(30^\circ) = 1

\sin^2(40^\circ) + \sin^2(50^\circ) = \sin^2(40^\circ) + \cos^2(40^\circ) = 1

. Mai adăugăm

\sin^2(90^\circ) = 1

. Suma totală:

S = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5

Greu#8

Se consideră

x, y \in (0, \frac{\pi}{2})

astfel încât

\sin x \sin y = \frac{3}{8}

și

\tan x \tan y = 3

. Valoarea lui

\cos(x-y)

este:

\frac{1}{2}

\frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{\sqrt{2}}{2}

\frac{1}{4}

Explicație

Din $\tan x \tan y = 3$ și definiția tangentei: $\frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y}=3$ .
Se înlocuiește $\sin x \sin y = \frac{3}{8}$ și se obține: $\frac{3/8}{\cos x \cos y}=3 \Rightarrow \cos x \cos y = \frac{1}{8}$ .
Se aplică formula: $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$ .
Se înlocuiesc valorile: $\cos(x-y) = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ .

Greu#9

Dacă

\tan\theta + \cot\theta = 2

și

\theta

este un unghi ascuțit, atunci valoarea expresiei

\sin^3\theta + \cos^3\theta

este:

\frac{1}{2}

\frac{\sqrt{2}}{2}

1

\sqrt{2}

Explicație

Pasul 1: Scriem

\tan\theta

și

\cot\theta

în funcție de sinus și cosinus:

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

. Pasul 2: Înlocuim în ecuația dată:

\frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = 2

. Pasul 3: Aducem la același numitor:

\frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta} = 2

, deci

\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}

. Pasul 4: Calculăm

(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\cdot\frac{1}{2} = 2

. Deoarece

\theta

este ascuțit,

\sin\theta>0

și

\cos\theta>0

, deci

\sin\theta+\cos\theta = \sqrt{2}

. Pasul 5: Folosim identitatea

\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta+\cos\theta)(\sin^2\theta - \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta) = \sqrt{2} \cdot (1 - \frac{1}{2}) = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}

. Astfel, răspunsul corect este

\frac{\sqrt{2}}{2}

Greu#10

Calculați

\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ

\frac{1}{4}

\frac{1}{8}

\frac{\sqrt{3}}{8}

\frac{\sqrt{2}}{4}

Explicație

Fie

E = \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ

. Înmulțim și împărțim

E

2 \sin 20^\circ

E = \frac{2 \sin 20^\circ \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ}{2 \sin 20^\circ} = \frac{\sin 40^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ}{2 \sin 20^\circ}.

Acum înmulțim și împărțim cu

2

E = \frac{2 \sin 40^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ}{4 \sin 20^\circ} = \frac{\sin 80^\circ \cdot \cos 80^\circ}{4 \sin 20^\circ}.

Înmulțim și împărțim din nou cu

2

E = \frac{2 \sin 80^\circ \cdot \cos 80^\circ}{8 \sin 20^\circ} = \frac{\sin 160^\circ}{8 \sin 20^\circ}.

Dar

\sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ

. Astfel,

E = \frac{\sin 20^\circ}{8 \sin 20^\circ} = \frac{1}{8}.

Deci răspunsul este

\frac{1}{8}

Greu#11

Dacă

\sin x + \cos x = \frac{1}{2}

, atunci

\sin^3 x + \cos^3 x

este egal cu:

\frac{5}{16}

\frac{7}{16}

\frac{11}{16}

\frac{13}{16}

Explicație

Se ridică la pătrat relația dată: $(\sin x + \cos x)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \Rightarrow \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = \frac{1}{4} \Rightarrow 1 + 2\sin x \cos x = \frac{1}{4} \Rightarrow 2\sin x \cos x = -\frac{3}{4} \Rightarrow \sin x \cos x = -\frac{3}{8}$ .
Se folosește identitatea $\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x)$ .
Se înlocuiesc valorile cunoscute: $\sin^3 x + \cos^3 x = \frac{1}{2} \left(1 - \left(-\frac{3}{8}\right)\right) = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{3}{8}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{8} = \frac{11}{16}$ .

Greu#12

Pentru un unghi ascuțit

\theta

, dacă

\tan \theta + \sin \theta = m

și

\tan \theta - \sin \theta = n

, atunci:

m^2 - n^2 = 4mn

m^2 - n^2 = \sqrt{mn}

m^2 - n^2 = 4\sqrt{mn}

m^2 - n^2 = 2\sqrt{mn}

Explicație

Pasul 1: Calculăm

m+n

și

m-n

m+n = (\tan\theta+\sin\theta)+(\tan\theta-\sin\theta)=2\tan\theta

m-n = (\tan\theta+\sin\theta)-(\tan\theta-\sin\theta)=2\sin\theta

Pasul 2: Calculăm

m^2-n^2

m^2-n^2 = (m-n)(m+n) = (2\sin\theta)(2\tan\theta)=4\sin\theta\tan\theta

Pasul 3: Calculăm

mn

mn = (\tan\theta+\sin\theta)(\tan\theta-\sin\theta) = \tan^2\theta-\sin^2\theta

Simplificăm:

\tan^2\theta-\sin^2\theta = \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}-\sin^2\theta = \sin^2\theta\left(\frac{1}{\cos^2\theta}-1\right) = \sin^2\theta\cdot\frac{1-\cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \sin^2\theta\cdot\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{\sin^4\theta}{\cos^2\theta}

Pasul 4: Calculăm

\sqrt{mn}

\sqrt{mn} = \sqrt{\frac{\sin^4\theta}{\cos^2\theta}} = \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} \quad (\text{deoarece } \theta \text{ ascuțit, } \cos\theta>0)

Pasul 5: Comparăm

m^2-n^2

4\sqrt{mn}

m^2-n^2 = 4\sin\theta\tan\theta = 4\sin\theta\cdot\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 4\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} = 4\sqrt{mn}

Așadar, relația corectă este

m^2-n^2 = 4\sqrt{mn}

Și alte 294 grile disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Accesează toate cele 306 probleme de Trigonometrie cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.