Clasa 9Geometrie

Trigonometrie — Teorie, Formule si Exemple

Trigonometria studiază relațiile dintre unghiuri și laturi prin funcțiile sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, extinse la orice unghi real cu ajutorul cercului trigonometric. Este unul dintre cele mai importante capitole din programa de clasa a 9-a și apare frecvent la examenul de Bacalaureat, Matematica M1. La BAC, trigonometria este testată la Subiectul I (5 puncte) în aproape fiecare sesiune: calcule din sinus sau cosinus dat și cadranul specificat, formule de reducere, identități trigonometrice și ecuații trigonometrice simple. Stăpânirea valorilor exacte și a formulelor de bază garantează punctaj sigur.

Cercul trigonometric și valorile exacte ale funcțiilor trigonometrice

Cercul trigonometric: cercul de rază 1 centrat la origine. Punctul P(cos⁡α,sin⁡α)P(\cos\alpha, \sin\alpha) corespunde unghiului α\alpha măsurat față de semiaxa OxOx pozitivă, în sens trigonometric (sens invers acelor de ceasornic). Funcțiile trigonometrice:
  • sin⁡α\sin\alpha = ordonata punctului PP, cos⁡α\cos\alpha = abscisa punctului PP
  • tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, definit pentru cos⁡α≠0\cos\alpha \neq 0
  • ctg⁡α=cos⁡αsin⁡α\operatorname{ctg}\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}, definit pentru sin⁡α≠0\sin\alpha \neq 0
Valori exacte frecvente la BAC: | α\alpha | 0°0° | 30°30° | 45°45° | 60°60° | 90°90° | |---|---|---|---|---|---| | sin⁡α\sin\alpha | 00 | 12\dfrac{1}{2} | 22\dfrac{\sqrt{2}}{2} | 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} | 11 | | cos⁡α\cos\alpha | 11 | 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} | 22\dfrac{\sqrt{2}}{2} | 12\dfrac{1}{2} | 00 | | tg⁡α\operatorname{tg}\alpha | 00 | 33\dfrac{\sqrt{3}}{3} | 11 | 3\sqrt{3} | — | Memotehnic pentru sinus: valorile sin⁡0°,sin⁡30°,sin⁡45°,sin⁡60°,sin⁡90°\sin 0°, \sin 30°, \sin 45°, \sin 60°, \sin 90° sunt 02,12,22,32,42\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}. Semnele pe cadrane (regula ASTC — Toate/Sin/Tg/Cos pozitive în cadranele I, II, III, IV): cadranul I: toate ++; II: sin⁡+\sin +, cos⁡−\cos -; III: sin⁡−\sin -, cos⁡−\cos -, tg⁡+\operatorname{tg} +; IV: sin⁡−\sin -, cos⁡+\cos +. Conversie grade–radiani: α°=α⋅π180\alpha° = \alpha \cdot \dfrac{\pi}{180} rad. De exemplu: 30°=π630° = \dfrac{\pi}{6}, 45°=π445° = \dfrac{\pi}{4}, 60°=π360° = \dfrac{\pi}{3}, 90°=π290° = \dfrac{\pi}{2}.
usorTip BAC, Subiectul I
Calculați sin⁡120°\sin 120° și cos⁡135°\cos 135°.
1
3 puncte
120°120° este în cadranul II (90°<120°<180°90° < 120° < 180°). Scriem sin⁡120°=sin⁡(180°−60°)=sin⁡60°=32\sin 120° = \sin(180° - 60°) = \sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2} (în cadranul II, sin⁡>0\sin > 0).
2
2 puncte
135°135° este în cadranul II. cos⁡135°=cos⁡(180°−45°)=−cos⁡45°=−22\cos 135° = \cos(180° - 45°) = -\cos 45° = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} (în cadranul II, cos⁡<0\cos < 0).
usorTip BAC, Subiectul I
Calculați tg⁡150°\operatorname{tg} 150° și sin⁡300°\sin 300°.
1
3 puncte
150°150° este în cadranul II. tg⁡150°=tg⁡(180°−30°)=−tg⁡30°=−33\operatorname{tg} 150° = \operatorname{tg}(180° - 30°) = -\operatorname{tg} 30° = -\dfrac{\sqrt{3}}{3} (în cadranul II, tg⁡<0\operatorname{tg} < 0).
2
2 puncte
300°300° este în cadranul IV. sin⁡300°=sin⁡(360°−60°)=−sin⁡60°=−32\sin 300° = \sin(360° - 60°) = -\sin 60° = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} (în cadranul IV, sin⁡<0\sin < 0).

Identitatea fundamentală și calculul celorlalte funcții trigonometrice

Identitatea fundamentală (din teorema lui Pitagora pe cercul unitate): sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 Identități derivate: 1+tg⁡2α=1cos⁡2α;1+ctg⁡2α=1sin⁡2α1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}; \qquad 1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} tg⁡α⋅ctg⁡α=1(pentru sin⁡α≠0 și cos⁡α≠0)\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1 \quad (\text{pentru } \sin\alpha \neq 0 \text{ și } \cos\alpha \neq 0) Algoritmul standard când ți se dă sin⁡α\sin\alpha (sau cos⁡α\cos\alpha) și cadranul:
  1. Calculezi cealaltă funcție din sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1
  2. Determini semnul din cadranul indicat
  3. Calculezi tg⁡α=sin⁡α/cos⁡α\operatorname{tg}\alpha = \sin\alpha / \cos\alpha
  4. Calculezi expresia cerută (de obicei sin⁡2α\sin 2\alpha, cos⁡2α\cos 2\alpha sau tg⁡2α\operatorname{tg} 2\alpha)
mediuTip BAC, Subiectul I
Știind că sin⁡α=35\sin\alpha = \dfrac{3}{5} și α∈(π2,π)\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right), calculați cos⁡α\cos\alpha, tg⁡α\operatorname{tg}\alpha și sin⁡2α\sin 2\alpha.
1
2 puncte
Din identitatea fundamentală: cos⁡2α=1−sin⁡2α=1−925=1625\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}, deci ∣cos⁡α∣=45|\cos\alpha| = \dfrac{4}{5}.
2
1 punct
α∈(π2,π)\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right) (cadranul II): cos⁡α<0\cos\alpha < 0, deci cos⁡α=−45\cos\alpha = -\dfrac{4}{5}.
3
1 punct
tg⁡α=sin⁡αcos⁡α=3/5−4/5=−34\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{3/5}{-4/5} = -\dfrac{3}{4}.
4
1 punct
sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α=2⋅35⋅(−45)=−2425\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \left(-\dfrac{4}{5}\right) = -\dfrac{24}{25}.
mediuTip BAC, Subiectul I
Știind că cos⁡α=−513\cos\alpha = -\dfrac{5}{13} și α∈(π,3π2)\alpha \in \left(\pi, \dfrac{3\pi}{2}\right), calculați sin⁡α\sin\alpha și ctg⁡α\operatorname{ctg}\alpha.
1
2 puncte
Din sin⁡2α=1−cos⁡2α=1−25169=144169\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}, deci ∣sin⁡α∣=1213|\sin\alpha| = \dfrac{12}{13}.
2
1 punct
α∈(π,3π2)\alpha \in \left(\pi, \dfrac{3\pi}{2}\right) (cadranul III): sin⁡α<0\sin\alpha < 0, deci sin⁡α=−1213\sin\alpha = -\dfrac{12}{13}.
3
2 puncte
ctg⁡α=cos⁡αsin⁡α=−5/13−12/13=512\operatorname{ctg}\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \dfrac{-5/13}{-12/13} = \dfrac{5}{12}.

Formulele de reducere la primul cadran

Formulele de reducere permit calcularea valorii oricărei funcții trigonometrice prin raportare la un unghi din cadranul I (0°0° – 90°90°). Regula de aur: Multiplii de 90°90° impari (90°,270°90°, 270°) schimbă funcția (sin⁡↔cos⁡\sin \leftrightarrow \cos, tg⁡↔ctg⁡\operatorname{tg} \leftrightarrow \operatorname{ctg}). Multiplii de 180°180° (0°,180°,360°0°, 180°, 360°) păstrează funcția. Semnul se determină presupunând că α∈(0°,90°)\alpha \in (0°, 90°) și verificând cadranul unghiului compus. Reducere cu 90°90°: sin⁡(90°−α)=cos⁡α;cos⁡(90°−α)=sin⁡α\sin(90° - \alpha) = \cos\alpha; \quad \cos(90° - \alpha) = \sin\alpha sin⁡(90°+α)=cos⁡α;cos⁡(90°+α)=−sin⁡α\sin(90° + \alpha) = \cos\alpha; \quad \cos(90° + \alpha) = -\sin\alpha Reducere cu 180°180°: sin⁡(180°−α)=sin⁡α;cos⁡(180°−α)=−cos⁡α\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha; \quad \cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha sin⁡(180°+α)=−sin⁡α;cos⁡(180°+α)=−cos⁡α\sin(180° + \alpha) = -\sin\alpha; \quad \cos(180° + \alpha) = -\cos\alpha Reducere cu 270°270°: sin⁡(270°−α)=−cos⁡α;cos⁡(270°−α)=−sin⁡α\sin(270° - \alpha) = -\cos\alpha; \quad \cos(270° - \alpha) = -\sin\alpha Paritate: sin⁡(−α)=−sin⁡α (funcție impara˘);cos⁡(−α)=cos⁡α (funcție para˘)\sin(-\alpha) = -\sin\alpha \text{ (funcție impară)}; \quad \cos(-\alpha) = \cos\alpha \text{ (funcție pară)}
usorExercițiu de bază
Calculați sin⁡210°\sin 210° și tg⁡315°\operatorname{tg} 315°.
1
3 puncte
sin⁡210°=sin⁡(180°+30°)=−sin⁡30°=−12\sin 210° = \sin(180° + 30°) = -\sin 30° = -\dfrac{1}{2} (cadranul III, sin⁡<0\sin < 0).
2
2 puncte
tg⁡315°=tg⁡(360°−45°)=−tg⁡45°=−1\operatorname{tg} 315° = \operatorname{tg}(360° - 45°) = -\operatorname{tg} 45° = -1 (cadranul IV, tg⁡<0\operatorname{tg} < 0).
mediuTip BAC, Subiectul I
Simplificați expresia E=sin⁡(90°+α)+cos⁡(180°+α)+sin⁡(270°+α)E = \sin(90° + \alpha) + \cos(180° + \alpha) + \sin(270° + \alpha).
1
1 punct
Aplicăm formulele de reducere: sin⁡(90°+α)=cos⁡α\sin(90° + \alpha) = \cos\alpha (multiplu impar de 90°90°, schimbă funcția; cadranul II, sin⁡>0\sin > 0).
2
1 punct
cos⁡(180°+α)=−cos⁡α\cos(180° + \alpha) = -\cos\alpha (multiplu par de 90°90°, păstrează funcția; cadranul III, cos⁡<0\cos < 0).
3
1 punct
sin⁡(270°+α)=−cos⁡α\sin(270° + \alpha) = -\cos\alpha (multiplu impar de 90°90°, schimbă funcția; cadranul IV, sin⁡<0\sin < 0).
4
2 puncte
E=cos⁡α+(−cos⁡α)+(−cos⁡α)=−cos⁡αE = \cos\alpha + (-\cos\alpha) + (-\cos\alpha) = -\cos\alpha.

Formulele de adunare, unghiul dublu și semiunghi

Suma și diferența unghiurilor: sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta tg⁡(α±β)=tg⁡α±tg⁡β1∓tg⁡α⋅tg⁡β\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha \pm \operatorname{tg}\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta} Atenție la cos⁡\cos: semnul din fața produsului sin⁡αsin⁡β\sin\alpha\sin\beta se inversează față de operația din paranteză. Unghiul dublu (cazul special β=α\beta = \alpha): sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=1−2sin⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 tg⁡2α=2tg⁡α1−tg⁡2α\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} Formule de semiunghi (deduse din cos⁡2α\cos 2\alpha, înlocuind α\alpha cu α2\dfrac{\alpha}{2}): sin⁡2α2=1−cos⁡α2;cos⁡2α2=1+cos⁡α2\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2}; \qquad \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2}
mediuDemonstrație tip BAC
Demonstrați că sin⁡3αsin⁡α−cos⁡3αcos⁡α=2\dfrac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha} - \dfrac{\cos 3\alpha}{\cos\alpha} = 2.
1
2 puncte
Aducem la același numitor: sin⁡3αcos⁡α−cos⁡3αsin⁡αsin⁡αcos⁡α\dfrac{\sin 3\alpha \cos\alpha - \cos 3\alpha \sin\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha}.
2
2 puncte
Numărătorul este sin⁡(3α−α)=sin⁡2α\sin(3\alpha - \alpha) = \sin 2\alpha (formula sinusului diferenței).
3
1 punct
=sin⁡2αsin⁡αcos⁡α=2sin⁡αcos⁡αsin⁡αcos⁡α=2= \dfrac{\sin 2\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha} = \dfrac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = 2. □\square
mediuTip BAC, Subiectul I
Calculați sin⁡75°\sin 75° fără calculator.
1
2 puncte
Scriem 75°=45°+30°75° = 45° + 30° și aplicăm formula sinusului sumei: sin⁡75°=sin⁡45°cos⁡30°+cos⁡45°sin⁡30°\sin 75° = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30°.
2
2 puncte
Înlocuim valorile exacte: =22⋅32+22⋅12=64+24= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4}.
3
1 punct
sin⁡75°=6+24\sin 75° = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}.

Ecuații trigonometrice elementare

Ecuația sin⁡x=a\sin x = a (cu ∣a∣≤1|a| \leq 1): x=(−1)karcsin⁡a+kπ,k∈Zx = (-1)^k \arcsin a + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} Ecuația cos⁡x=a\cos x = a (cu ∣a∣≤1|a| \leq 1): x=±arccos⁡a+2kπ,k∈Zx = \pm \arccos a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} Ecuația tg⁡x=a\operatorname{tg} x = a (cu a∈Ra \in \mathbb{R}): x=arctan⁡a+kπ,k∈Zx = \arctan a + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} Cazuri particulare frecvente:
  • sin⁡x=0⇒x=kπ\sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi
  • cos⁡x=0⇒x=π2+kπ\cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi
  • sin⁡x=1⇒x=π2+2kπ\sin x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi
  • cos⁡x=1⇒x=2kπ\cos x = 1 \Rightarrow x = 2k\pi
Atenție: La BAC se cere de obicei soluția într-un interval dat (de exemplu [0,2π)[0, 2\pi)), nu formula generală.
usorTip BAC, Subiectul I
Rezolvați ecuația sin⁡x=12\sin x = \dfrac{1}{2}, x∈[0,2π)x \in [0, 2\pi).
1
2 puncte
Din tabelul de valori, arcsin⁡12=π6\arcsin \dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{6}.
2
1 punct
Prima soluție: x1=π6x_1 = \dfrac{\pi}{6} (cadranul I).
3
2 puncte
A doua soluție: x2=π−π6=5π6x_2 = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} (cadranul II, unde sin⁡>0\sin > 0).
mediuExercițiu tip BAC
Rezolvați ecuația 2cos⁡2x−3cos⁡x+1=02\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0, x∈[0,2π)x \in [0, 2\pi).
1
1 punct
Notăm t=cos⁡xt = \cos x. Ecuația devine 2t2−3t+1=02t^2 - 3t + 1 = 0, cu Δ=9−8=1\Delta = 9 - 8 = 1.
2
2 puncte
t1=3+14=1t_1 = \dfrac{3 + 1}{4} = 1 și t2=3−14=12t_2 = \dfrac{3 - 1}{4} = \dfrac{1}{2}.
3
1 punct
Din cos⁡x=1\cos x = 1: x=0x = 0. Din cos⁡x=12\cos x = \dfrac{1}{2}: x=π3x = \dfrac{\pi}{3} sau x=5π3x = \dfrac{5\pi}{3}.
4
1 punct
Soluțiile sunt x∈{0,π3,5π3}x \in \left\{0, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}\right\}.

Greșeli frecvente la trigonometrie

✗
sin⁡(A+B)=sin⁡A+sin⁡B\sin(A + B) = \sin A + \sin B
✓sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B
Sinusul sumei nu este suma sinusurilor. Aceasta este probabil cea mai frecventă greșeală în trigonometrie.
✗
sin⁡30°=3/2\sin 30° = \sqrt{3}/2
✓sin⁡30°=1/2\sin 30° = 1/2; sin⁡60°=3/2\sin 60° = \sqrt{3}/2
Se confundă des valorile de la 30°30° și 60°60°. Memotehnic: 30°30° este mai mic, deci sin⁡\sin este mai mic (1/2<3/21/2 < \sqrt{3}/2).
✗
sin⁡(180°+α)=sin⁡α\sin(180° + \alpha) = \sin\alpha (fără minus)
✓sin⁡(180°+α)=−sin⁡α\sin(180° + \alpha) = -\sin\alpha
La 180°+α180° + \alpha, unghiul e în cadranul III unde sin⁡<0\sin < 0. Funcția rămâne sinus dar semnul e negativ.
✗
Perioada lui tg⁡\operatorname{tg} este 2π2\pi
✓Perioada lui tg⁡\operatorname{tg} și ctg⁡\operatorname{ctg} este π\pi (nu 2π2\pi)
tg⁡(α+π)=tg⁡α\operatorname{tg}(\alpha + \pi) = \operatorname{tg}\alpha pentru orice α\alpha din domeniu.
✗
cos⁡2α=2cos⁡α\cos 2\alpha = 2\cos\alpha sau sin⁡2α=2sin⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha
✓cos⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1; sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha
Factorul 2 se aplică întregului produs sau expresiei, nu doar funcției. Unghiul dublu nu „scoate" factorul 2 în fața funcției.
✗
Din sin⁡α=35\sin\alpha = \dfrac{3}{5} rezultă cos⁡α=45\cos\alpha = \dfrac{4}{5} (fără a verifica cadranul)
✓∣cos⁡α∣=45|\cos\alpha| = \dfrac{4}{5}, iar semnul depinde de cadran
Identitatea fundamentală dă modulul. Semnul funcției trebuie determinat separat din cadranul specificat în enunț.

Strategii pentru trigonometrie la examenul de Bacalaureat

Trigonometria apare la Subiectul I (materie clasa a 9-a, 5 puncte) în aproape fiecare sesiune. Tipuri frecvente: calcule din sin⁡α\sin\alpha și cadranul dat, simplificări cu formule de reducere, identități și ecuații trigonometrice.
Abordarea standard când ți se dă sinus și cadranul: (1) calculezi cosinus din identitatea fundamentală, (2) determini semnul din cadran, (3) calculezi tangenta, (4) calculezi expresia cerută (de obicei sinus sau cosinus de unghi dublu). Acest tip de exercițiu se repetă sesiune după sesiune.
Timp recomandat: Un calcul trigonometric tipic la Subiectul I durează 4–5 minute. Dacă te blochezi, cel mai probabil ai nevoie de o formulă de reducere sau de formula unghiului dublu.
Verificare rapidă: După ce obții rezultatul, verifică dacă valoarea este plauzibilă. De exemplu, sin⁡α\sin\alpha trebuie să fie în [−1,1][-1, 1], iar sin⁡2α+cos⁡2α\sin^2\alpha + \cos^2\alpha trebuie să dea exact 11.
Formulele indispensabile: Memorează cel puțin identitatea fundamentală, formulele de reducere cu 180°180° și 90°90°, formula sinusului și cosinusului de unghi dublu. Cu acestea rezolvi peste 90% din exercițiile de BAC.

Toate formulele de trigonometrie pe scurt

Identitatea fundamentală
sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1
Cea mai importantă identitate; se deduce din Pitagora pe cercul unitate.
Tangenta
tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
Nedefinită pentru cos⁡α=0\cos\alpha = 0, adică α=90°+k⋅180°\alpha = 90° + k \cdot 180°.
Cotangenta
ctg⁡α=cos⁡αsin⁡α\operatorname{ctg}\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}
Nedefinită pentru sin⁡α=0\sin\alpha = 0, adică α=k⋅180°\alpha = k \cdot 180°. Relația tg⁡α⋅ctg⁡α=1\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1.
Sinus unghi dublu
sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha
Cel mai des folosit la BAC.
Cosinus unghi dublu
cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha
Echivalent și cu 1−2sin⁡2α1 - 2\sin^2\alpha sau 2cos⁡2α−12\cos^2\alpha - 1.
Tangenta unghiului dublu
tg⁡2α=2tg⁡α1−tg⁡2α\operatorname{tg} 2\alpha = \dfrac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}
Definită când tg⁡α\operatorname{tg}\alpha există și tg⁡2α≠1\operatorname{tg}^2\alpha \neq 1.
Sinus sumă
sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta
Semnele din sin⁡(α±β)\sin(\alpha \pm \beta) sunt ±\pm.
Cosinus sumă
cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta
Semnele din cos⁡(α±β)\cos(\alpha \pm \beta) sunt ∓\mp (inversate față de sin⁡\sin).
Reducere cu 180 de grade
sin⁡(180°±α)=∓sin⁡α\sin(180° \pm \alpha) = \mp\sin\alpha; cos⁡(180°±α)=−cos⁡α\cos(180° \pm \alpha) = -\cos\alpha
La 180°180°, funcția rămâne; semnul depinde de cadran.
Reducere cu 90 de grade
sin⁡(90°−α)=cos⁡α\sin(90° - \alpha) = \cos\alpha; cos⁡(90°−α)=sin⁡α\cos(90° - \alpha) = \sin\alpha
La 90°90°, funcția se schimbă (sin⁡↔cos⁡\sin \leftrightarrow \cos).
Periodicitate
sin⁡(α+2kπ)=sin⁡α\sin(\alpha + 2k\pi) = \sin\alpha; tg⁡(α+kπ)=tg⁡α\operatorname{tg}(\alpha + k\pi) = \operatorname{tg}\alpha
Perioada sin⁡/cos⁡\sin/\cos este 2π2\pi; perioada tg⁡/ctg⁡\operatorname{tg}/\operatorname{ctg} este π\pi.

Capitole inrudite

Aplicații ale trigonometriei în geometrieVectoriNumere complexe (forma trigonometrică)Identități algebrice

Exerciteaza 570 probleme de Trigonometrie

Exercitii cu rezolvare pas cu pas

→

Rezolva 306 grile de Trigonometrie

Intrebari cu variante de raspuns

→
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.