MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.

Rezolvare completă

10 puncte · 8 pași
11 punct
Notați variabilele: fie aa latura bazei și hh înălțimea depozitului. Scrieți relația pentru volum: a2h=500a^2 h = 500.
22 puncte
Exprimați costul total: costul pereților este 10×(4ah)=40ah10 \times (4ah) = 40ah, costul acoperișului este 15×a2=15a215 \times a^2 = 15a^2, deci C=40ah+15a2C = 40ah + 15a^2.
31 punct
Din volum, exprimați h=500a2h = \frac{500}{a^2}.
41 punct
Substituiți în funcția de cost: C(a)=40a⋅500a2+15a2=20000a+15a2C(a) = 40a \cdot \frac{500}{a^2} + 15a^2 = \frac{20000}{a} + 15a^2.
51 punct
Calculați derivata: C′(a)=−20000a2+30aC'(a) = -\frac{20000}{a^2} + 30a.
62 puncte
Aflați punctele critice: rezolvați C′(a)=0C'(a)=0, adică −20000a2+30a=0⇒30a3=20000⇒a3=20003⇒a=200033-\frac{20000}{a^2} + 30a = 0 \Rightarrow 30a^3 = 20000 \Rightarrow a^3 = \frac{2000}{3} \Rightarrow a = \sqrt[3]{\frac{2000}{3}}.
71 punct
Verificați că este minim: calculați C′′(a)=40000a3+30>0C''(a) = \frac{40000}{a^3} + 30 > 0 pentru a>0a>0, deci punctul critic este de minim.
81 punct
Determinați dimensiunile: a=200033a = \sqrt[3]{\frac{2000}{3}} m și h=500a2=500(200033)2h = \frac{500}{a^2} = \frac{500}{\left(\sqrt[3]{\frac{2000}{3}}\right)^2} m.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un antreprenor produce un anumit tip de produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.01x3−0.6x2+13x+200C(x) = 0.01x^3 - 0.6x^2 + 13x + 200, unde xx reprezintă numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este de 10 u.m. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim obținut.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.