Probleme de Aplicații ale derivatelor — Clasa a 11-a

Pregătire BAC M1Analiza Matematica • 536 probleme cu rezolvări complete
Teorie Aplicații ale derivatelor — Formule si exemple rezolvate

Aplicațiile derivatelor permit studiul variației funcțiilor: monotonie, extreme locale, puncte de inflexiune. Capitol esențial pentru studiul funcțiilor la BAC.

Verificat de profesori de matematică

Ușor

57

probleme

Mediu

184

probleme

Greu

1

probleme

Grile de Aplicații ale derivatelor

294 întrebări cu variante de răspuns

→

Exemple de probleme

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Scrieți funcția profitului: P(x)=x⋅p(x)−C(x)=x(150−x)−(0.2x2+30x+500)=−1.2x2+120x−500P(x) = x \cdot p(x) - C(x) = x(150 - x) - (0.2x^2 + 30x + 500) = -1.2x^2 + 120x - 500.
23 puncte
Calculați derivata: P′(x)=−2.4x+120P'(x) = -2.4x + 120.
32 puncte
Aflați punctele critice: setați P′(x)=0P'(x) = 0, deci −2.4x+120=0-2.4x + 120 = 0, rezultă x=50x = 50.
41 punct
Verificați că este maxim folosind derivata a doua: P′′(x)=−2.4<0P''(x) = -2.4 < 0, deci x=50x = 50 este punct de maxim.
51 punct
Calculați profitul maxim: P(50)=−1.2⋅502+120⋅50−500=2500P(50) = -1.2 \cdot 50^2 + 120 \cdot 50 - 500 = 2500.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 8 pași
12 puncte
Definiți funcția profitului P(x)=R(x)−C(x)P(x) = R(x) - C(x), unde R(x)=x⋅p(x)R(x) = x \cdot p(x) este venitul.
21 punct
Calculați R(x)=x(50−0.5x)=50x−0.5x2R(x) = x(50 - 0.5x) = 50x - 0.5x^2.
31 punct
Scrieți P(x)=(50x−0.5x2)−(0.1x3−3x2+30x+100)P(x) = (50x - 0.5x^2) - (0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100).
41 punct
Simplificați P(x)=−0.1x3+2.5x2+20x−100P(x) = -0.1x^3 + 2.5x^2 + 20x - 100.
51 punct
Găsiți derivata P′(x)=−0.3x2+5x+20P'(x) = -0.3x^2 + 5x + 20.
62 puncte
Rezolvați ecuația P′(x)=0P'(x) = 0 pentru a găsi punctele critice: −0.3x2+5x+20=0-0.3x^2 + 5x + 20 = 0.
71 punct
Determinați care punct critic dă maximul, folosind derivata a doua sau testul intervalelor.
81 punct
Calculați profitul maxim înlocuind xx găsit în P(x)P(x).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Funcția venitului este R(x)=x⋅p(x)=x(200−0.5x)=200x−0.5x2R(x) = x \cdot p(x) = x(200 - 0.5x) = 200x - 0.5x^2.
22 puncte
Funcția profitului este P(x)=R(x)−C(x)=(200x−0.5x2)−(0.1x2+50x+1000)=150x−0.6x2−1000P(x) = R(x) - C(x) = (200x - 0.5x^2) - (0.1x^2 + 50x + 1000) = 150x - 0.6x^2 - 1000.
33 puncte
Derivata funcției profitului: P′(x)=150−1.2xP'(x) = 150 - 1.2x. Setăm P′(x)=0⇒150−1.2x=0⇒x=125P'(x) = 0 \Rightarrow 150 - 1.2x = 0 \Rightarrow x = 125.
42 puncte
Verificăm maximul: P′′(x)=−1.2<0P''(x) = -1.2 < 0, deci x=125x=125 este punct de maxim.
51 punct
Profitul maxim este P(125)=150⋅125−0.6⋅1252−1000=18750−9375−1000=8375P(125) = 150 \cdot 125 - 0.6 \cdot 125^2 - 1000 = 18750 - 9375 - 1000 = 8375 lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.

Rezolvare completă

10 puncte · 8 pași
11 punct
Notați variabilele: fie aa latura bazei și hh înălțimea depozitului. Scrieți relația pentru volum: a2h=500a^2 h = 500.
22 puncte
Exprimați costul total: costul pereților este 10×(4ah)=40ah10 \times (4ah) = 40ah, costul acoperișului este 15×a2=15a215 \times a^2 = 15a^2, deci C=40ah+15a2C = 40ah + 15a^2.
31 punct
Din volum, exprimați h=500a2h = \frac{500}{a^2}.
41 punct
Substituiți în funcția de cost: C(a)=40a⋅500a2+15a2=20000a+15a2C(a) = 40a \cdot \frac{500}{a^2} + 15a^2 = \frac{20000}{a} + 15a^2.
51 punct
Calculați derivata: C′(a)=−20000a2+30aC'(a) = -\frac{20000}{a^2} + 30a.
62 puncte
Aflați punctele critice: rezolvați C′(a)=0C'(a)=0, adică −20000a2+30a=0⇒30a3=20000⇒a3=20003⇒a=200033-\frac{20000}{a^2} + 30a = 0 \Rightarrow 30a^3 = 20000 \Rightarrow a^3 = \frac{2000}{3} \Rightarrow a = \sqrt[3]{\frac{2000}{3}}.
71 punct
Verificați că este minim: calculați C′′(a)=40000a3+30>0C''(a) = \frac{40000}{a^3} + 30 > 0 pentru a>0a>0, deci punctul critic este de minim.
81 punct
Determinați dimensiunile: a=200033a = \sqrt[3]{\frac{2000}{3}} m și h=500a2=500(200033)2h = \frac{500}{a^2} = \frac{500}{\left(\sqrt[3]{\frac{2000}{3}}\right)^2} m.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un antreprenor produce un anumit tip de produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.01x3−0.6x2+13x+200C(x) = 0.01x^3 - 0.6x^2 + 13x + 200, unde xx reprezintă numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este de 10 u.m. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim obținut.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Scrierea funcției profit P(x)=R(x)−C(x)P(x) = R(x) - C(x), unde R(x)=10xR(x) = 10x este venitul total. Deci P(x)=10x−(0.01x3−0.6x2+13x+200)=−0.01x3+0.6x2−3x−200P(x) = 10x - (0.01x^3 - 0.6x^2 + 13x + 200) = -0.01x^3 + 0.6x^2 - 3x - 200;
22 puncte
Calculul derivatei P′(x)=−0.03x2+1.2x−3P'(x) = -0.03x^2 + 1.2x - 3;
32 puncte
Rezolvarea ecuației P′(x)=0P'(x) = 0, adică −0.03x2+1.2x−3=0-0.03x^2 + 1.2x - 3 = 0, echivalent cu x2−40x+100=0x^2 - 40x + 100 = 0, cu soluțiile x1=20−103x_1 = 20 - 10\sqrt{3} și x2=20+103x_2 = 20 + 10\sqrt{3};
42 puncte
Analiza semnului derivatei a doua P′′(x)=−0.06x+1.2P''(x) = -0.06x + 1.2. Pentru x2x_2, P′′(20+103)<0P''(20 + 10\sqrt{3}) < 0, deci punct de maxim. Numărul de unități este x2=20+103≈37.32x_2 = 20 + 10\sqrt{3} \approx 37.32, dar din context, xx este întreg, deci se consideră x=37x = 37 sau x=38x = 38;
52 puncte
Calculul profitului pentru x=37x = 37: P(37)=−0.01(37)3+0.6(37)2−3(37)−200=−506.53+821.4−111−200=3.87P(37) = -0.01(37)^3 + 0.6(37)^2 - 3(37) - 200 = -506.53 + 821.4 - 111 - 200 = 3.87 u.m. și pentru x=38x = 38: P(38)=−0.01(38)3+0.6(38)2−3(38)−200=−548.72+866.4−114−200=3.68P(38) = -0.01(38)^3 + 0.6(38)^2 - 3(38) - 200 = -548.72 + 866.4 - 114 - 200 = 3.68 u.m. Maximul este la x=37x = 37 unități;
61 punct
Concluzia: numărul de unități este 37, cu profit maxim de aproximativ 3.87 u.m.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Aplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorMatematică aplicată
O firmă produce un bun. Funcția cost total este C(x)=0.1x3−2x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 30x + 100, unde xx este cantitatea produsă în unități. Prețul de vânzare pe unitate este dat de funcția p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul firmei și calculați profitul maxim. Verificați dacă punctul găsit este de maxim.
Ușor#7Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăMatematică financiară
O companie produce un produs. Funcția cost este C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, iar funcția venit este R(x)=200x−0.05x2R(x) = 200x - 0.05x^2, unde xx este numărul de unități. Determinați numărul de unități care maximizează profitul.
Ușor#8Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un fermier are un câmp dreptunghiular cu perimetrul de 200 de metri. El dorește să împartă câmpul în două părți egale cu un gard paralel cu una dintre laturi. Determinați dimensiunile câmpului astfel încât aria totală a celor două părți să fie maximă.
Mediu#9Aplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un produs cu costul total dat de funcția C(x)=1000+50x+0.1x2C(x) = 1000 + 50x + 0.1x^2, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#10Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăMatematică financiară
O companie produce un articol. Costul total de producție pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100 (în mii de lei), iar prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.

Și alte 232 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Accesează toate cele 536 probleme de Aplicații ale derivatelor cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Alte capitole pentru clasa a 11-a

→Asimptote
401 probleme
→Continuitate
399 probleme
→Derivate
497 probleme
→Determinanți
564 probleme
→Matrici
509 probleme

Câștigă XP și badge-uri rezolvând probleme

Sistem de niveluri (1-20), clasament săptămânal și serie zilnică de învățare. Începe gratuit cu 50 de credite.