MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Notăm înălțimea turnului cu hh și distanța inițială de la observator la turn cu xx. Scriem ecuațiile trigonometrice: tan⁡30∘=hx\tan 30^\circ = \frac{h}{x} și tan⁡45∘=hx−20\tan 45^\circ = \frac{h}{x-20}.
21 punct
Substituim valorile cunoscute: tan⁡30∘=13\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}, tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1.
32 puncte
Obținem sistemul: h=x3h = \frac{x}{\sqrt{3}} și h=x−20h = x - 20.
42 puncte
Egalăm expresiile pentru hh: x3=x−20⇒x−x3=20⇒x(1−13)=20\frac{x}{\sqrt{3}} = x - 20 \Rightarrow x - \frac{x}{\sqrt{3}} = 20 \Rightarrow x\left(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 20.
52 puncte
Rezolvăm pentru xx: x=201−13=2033−1x = \frac{20}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}. Rationalizăm: x=203(3+1)(3−1)(3+1)=203(3+1)2=103(3+1)=30+103x = \frac{20\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{20\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2} = 10\sqrt{3}(\sqrt{3}+1) = 30 + 10\sqrt{3} m.
61 punct
Calculăm înălțimea hh: h=x−20=(30+103)−20=10+103=10(1+3)h = x - 20 = (30 + 10\sqrt{3}) - 20 = 10 + 10\sqrt{3} = 10(1+\sqrt{3}) m.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Ușor#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
De la vârful unui deal, unghiurile de depresiune către două puncte A și B, aflat pe o linie orizontală la baza dealului, sunt de 30∘30^\circ și respectiv 45∘45^\circ. Dacă distanța dintre A și B este de 100 m, determinați înălțimea dealului. (Se cunosc tan⁡30∘=33\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} și tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1.)
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.