Probleme de Aplicații ale trigonometriei în geometrie — Clasa a 9-a

Exerciții pentru școalăGeometrie • 411 probleme cu rezolvări complete
Teorie Aplicații ale trigonometriei în geometrie — Formule si exemple rezolvate

Aplicațiile trigonometriei în geometrie conectează funcțiile trigonometrice cu proprietățile figurilor geometrice. Include teorema sinusurilor, cosinusurilor și calculul ariilor.

Verificat de profesori de matematică

Ușor

55

probleme

Mediu

60

probleme

Greu

2

probleme

Grile de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

294 întrebări cu variante de răspuns

→

Exemple de probleme

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Reprezentarea grafică a situației și definirea variabilelor: fie h înălțimea stâlpului (în m), d distanța dintre turn și stâlp (în m).
23 puncte
Scrierea ecuațiilor trigonometrice pe baza unghiurilor: tan⁡(45∘)=hd\tan(45^\circ) = \frac{h}{d} și tan⁡(30∘)=30d\tan(30^\circ) = \frac{30}{d}.
33 puncte
Rezolvarea sistemului: din prima ecuație, h=dh = d; din a doua, d=30tan⁡(30∘)=303d = \frac{30}{\tan(30^\circ)} = 30\sqrt{3} m.
42 puncte
Obținerea rezultatelor: h=303h = 30\sqrt{3} m, d=303d = 30\sqrt{3} m.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Reprezentarea geometrică: Fie h=5000h = 5000 m înălțimea, d1d_1 distanța orizontală inițială, d2d_2 distanța orizontală finală. Avem tan⁡(30∘)=hd1\tan(30^{\circ}) = \frac{h}{d_1} și tan⁡(60∘)=hd2\tan(60^{\circ}) = \frac{h}{d_2}.
23 puncte
Calculul distanțelor: d1=htan⁡(30∘)=500013=50003d_1 = \frac{h}{\tan(30^{\circ})} = \frac{5000}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 5000\sqrt{3} m, d2=htan⁡(60∘)=50003d_2 = \frac{h}{\tan(60^{\circ})} = \frac{5000}{\sqrt{3}} m.
32 puncte
Distanța parcursă în 10 minute: Δd=∣d1−d2∣=∣50003−50003∣=5000(3−13)=5000⋅3−13=100003\Delta d = |d_1 - d_2| = |5000\sqrt{3} - \frac{5000}{\sqrt{3}}| = 5000 \left( \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 5000 \cdot \frac{3-1}{\sqrt{3}} = \frac{10000}{\sqrt{3}} m.
42 puncte
Calculul vitezei: Viteza v=Δdt=100003 m10 min=10003 m/minv = \frac{\Delta d}{t} = \frac{\frac{10000}{\sqrt{3}} \text{ m}}{10 \text{ min}} = \frac{1000}{\sqrt{3}} \text{ m/min}. Convertirea în km/h: 10003⋅601000=603=203≈34.64\frac{1000}{\sqrt{3}} \cdot \frac{60}{1000} = \frac{60}{\sqrt{3}} = 20\sqrt{3} \approx 34.64 km/h.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Notați cu hh înălțimea turnului și cu dd distanța inițială.
22 puncte
Din primul măsurător, tan⁡30∘=hd\tan 30^\circ = \frac{h}{d}.
32 puncte
Din al doilea măsurător, tan⁡45∘=hd−50\tan 45^\circ = \frac{h}{d-50}.
42 puncte
Rezolvați sistemul de ecuații. Deoarece tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1, avem h=d−50h = d-50.
52 puncte
Înlocuiți în prima ecuație: 13=d−50d\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{d-50}{d} și rezolvați pentru dd.
61 punct
Calculați hh folosind h=d−50h = d-50.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Notăm înălțimea turnului cu hh și distanța inițială de la observator la turn cu xx. Scriem ecuațiile trigonometrice: tan⁡30∘=hx\tan 30^\circ = \frac{h}{x} și tan⁡45∘=hx−20\tan 45^\circ = \frac{h}{x-20}.
21 punct
Substituim valorile cunoscute: tan⁡30∘=13\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}, tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1.
32 puncte
Obținem sistemul: h=x3h = \frac{x}{\sqrt{3}} și h=x−20h = x - 20.
42 puncte
Egalăm expresiile pentru hh: x3=x−20⇒x−x3=20⇒x(1−13)=20\frac{x}{\sqrt{3}} = x - 20 \Rightarrow x - \frac{x}{\sqrt{3}} = 20 \Rightarrow x\left(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 20.
52 puncte
Rezolvăm pentru xx: x=201−13=2033−1x = \frac{20}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}. Rationalizăm: x=203(3+1)(3−1)(3+1)=203(3+1)2=103(3+1)=30+103x = \frac{20\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{20\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2} = 10\sqrt{3}(\sqrt{3}+1) = 30 + 10\sqrt{3} m.
61 punct
Calculăm înălțimea hh: h=x−20=(30+103)−20=10+103=10(1+3)h = x - 20 = (30 + 10\sqrt{3}) - 20 = 10 + 10\sqrt{3} = 10(1+\sqrt{3}) m.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
De la vârful unui deal, unghiurile de depresiune către două puncte A și B, aflat pe o linie orizontală la baza dealului, sunt de 30∘30^\circ și respectiv 45∘45^\circ. Dacă distanța dintre A și B este de 100 m, determinați înălțimea dealului. (Se cunosc tan⁡30∘=33\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} și tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1.)

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Fie hh înălțimea dealului. Pentru punctul A, unghiul de depresiune 30∘30^\circ implică tan⁡30∘=hdA\tan 30^\circ = \frac{h}{d_A}, unde dAd_A este distanța orizontală de la baza dealului la A. Deci dA=htan⁡30∘=h3d_A = \frac{h}{\tan 30^\circ} = h \sqrt{3}. Similar, pentru B: tan⁡45∘=hdB\tan 45^\circ = \frac{h}{d_B}, deci dB=hd_B = h.
24 puncte
Distanța dintre A și B este ∣dA−dB∣=100|d_A - d_B| = 100 m. Deoarece dA>dBd_A > d_B (unghi mai mic pentru A), avem dA−dB=100d_A - d_B = 100, adică h3−h=100h \sqrt{3} - h = 100.
33 puncte
Se factorizează hh: h(3−1)=100h(\sqrt{3} - 1) = 100, deci h=1003−1=100(3+1)(3−1)(3+1)=100(3+1)2=50(3+1)h = \frac{100}{\sqrt{3} - 1} = \frac{100(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{100(\sqrt{3} + 1)}{2} = 50(\sqrt{3} + 1) m.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. Un observator, cu ochiul la 1.5 m deasupra solului, măsoară unghiul de elevație la vârful turnului ca fiind 60∘60^\circ de la un punct A. Apoi, se deplasează 20 m mai aproape de turn (punctul B) și măsoară un nou unghi de elevație α\alpha. Determinați distanța inițială de la A la baza turnului și valoarea lui α\alpha.
Ușor#7Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieDerivate
Un inginer vrea să determine înălțimea unui turn. Măsoară unghiul de elevație la vârful turnului ca fiind 60∘60^\circ dintr-un punct A. Apoi se îndepărtează 20 metri pe o linie orizontală și măsoară unghiul de elevație din noul punct B ca fiind 30∘30^\circ. Determină înălțimea turnului.
Ușor#8Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un observator măsoară unghiul de elevație către vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 de metri spre turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Să se determine înălțimea turnului.
Mediu#9Aplicații ale trigonometriei în geometrieGeometrie AnaliticăTrigonometrie
Un teren are forma unui triunghi dreptunghic cu catetele de 30 m și 40 m. Se dorește construirea unui drum drept care unește vârful unghiului drept cu ipotenuza, perpendicular pe aceasta. Calculați lungimea drumului și distanța de la piciorul perpendicularei la vârful unghiului drept. Utilizați proprietăți geometrice și trigonometrice.
Ușor#10Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un observator vede vârful unui turn sub un unghi de elevație de 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 de metri de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Calculează înălțimea turnului.

Și alte 107 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Accesează toate cele 411 probleme de Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Alte capitole pentru clasa a 9-a

→Algebră și Calcule cu Numere Reale
511 probleme
→Funcția de gradul I
399 probleme
→Identități algebrice
396 probleme
→Inducție matematică
391 probleme
→Logică matematică
398 probleme

Câștigă XP și badge-uri rezolvând probleme

Sistem de niveluri (1-20), clasament săptămânal și serie zilnică de învățare. Începe gratuit cu 50 de credite.