MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrie matricea coeficienților A=(1212133k5)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & k & 5 \end{pmatrix} și matricea termenilor liberi B=(123)B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}.
23 puncte
Calculează determinantul matricei AA: det⁡(A)=1⋅∣13k5∣−2⋅∣2335∣+1⋅∣213k∣=1⋅(5−3k)−2⋅(10−9)+1⋅(2k−3)=5−3k−2+2k−3=−k\det(A) = 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ k & 5 \end{vmatrix} - 2\cdot\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} + 1\cdot\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & k \end{vmatrix} = 1\cdot(5-3k) - 2\cdot(10-9) + 1\cdot(2k-3) = 5-3k -2 + 2k-3 = -k. Sistemul are soluție unică dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, deci pentru k≠0k \neq 0.
33 puncte
Pentru k=2k=2, det⁡(A)=−2≠0\det(A) = -2 \neq 0, deci AA este inversabilă. Calculează A−1A^{-1}: matricea adjunctă este adj(A)=(−1−85−12−114−3)\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & -8 & 5 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & 4 & -3 \end{pmatrix} (presupunând calcul corect al complementelor algebrice), apoi A−1=1det⁡(A)⋅adj(A)T=−12(−1−11−8245−1−3)=(1212−124−1−2−521232)A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)^T = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -8 & 2 & 4 \\ 5 & -1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 4 & -1 & -2 \\ -\frac{5}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}.
42 puncte
Rezolvă sistemul: X=A−1BX = A^{-1}B, unde X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}. Calculează X=(1212−124−1−2−521232)(123)=(0−32)X = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 4 & -1 & -2 \\ -\frac{5}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}, deci soluția este x=0,y=−3,z=2x=0, y=-3, z=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricială: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.