GreuIdentități algebriceClasa 9

Problemă rezolvată de Identități algebrice

GreuIdentități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
a) Din (x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+zx), se obține 0=6+2(xy+yz+zx)0 = 6 + 2(xy+yz+zx), deci xy+yz+zx=−3xy+yz+zx = -3
22 puncte
b) Folosind identitatea x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy-yz-zx), deci x3+y3+z3=3xyzx^3+y^3+z^3 = 3xyz
32 puncte
c) Din x,y,zx, y, z rădăcini ale ecuației t3−(x+y+z)t2+(xy+yz+zx)t−xyz=0t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz = 0, adică t3−3t−xyz=0t^3 - 3t - xyz = 0. Condiția de existență a trei rădăcini reale: Δ=−4(−3)3−27(−xyz)2≥0\Delta = -4(-3)^3 - 27(-xyz)^2 \geq 0, deci 108−27(xyz)2≥0108 - 27(xyz)^2 \geq 0, ∣xyz∣≤2|xyz| \leq 2, maximul este 22
42 puncte
d) Pentru x=1x=1, din y+z=−1y+z=-1 și y2+z2=5y^2+z^2=5, se obține yz=(y+z)2−(y2+z2)2=−2yz = \frac{(y+z)^2 - (y^2+z^2)}{2} = -2, deci yy și zz sunt rădăcinile ecuației t2+t−2=0t^2 + t - 2 = 0, adică t=1t = 1 sau t=−2t = -2, deci (y,z)=(1,−2)(y,z) = (1,-2) sau (−2,1)(-2,1)
52 puncte
Verificare: pentru x=1,y=1,z=−2x=1, y=1, z=-2, x+y+z=0x+y+z=0, x2+y2+z2=6x^2+y^2+z^2=6, xyz=−2xyz=-2 (maxim posibil)

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#2Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#3Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Mediu#4Identități algebriceNumere Complexe
Pentru orice numere complexe z1,z2,z3z_1, z_2, z_3, demonstrați identitatea: ∣z1+z2+z3∣2=∣z1∣2+∣z2∣2+∣z3∣2+2ℜ(z1zˉ2+z2zˉ3+z3zˉ1)|z_1+z_2+z_3|^2 = |z_1|^2+|z_2|^2+|z_3|^2+2\Re(z_1\bar{z}_2+z_2\bar{z}_3+z_3\bar{z}_1).
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.