MediuIdentități algebriceClasa 9

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Utilizând formula pentru suma cuburilor, avem sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(sin⁡2x−sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x). Știind că sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1, obținem identitatea cerută.
22 puncte
În ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1, substituim identitatea: (sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)=1(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) = 1.
32 puncte
Notăm t=sin⁡x+cos⁡xt = \sin x + \cos x. Atunci sin⁡xcos⁡x=t2−12\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}. Ecuația devine t(1−t2−12)=1t \left(1 - \frac{t^2 - 1}{2}\right) = 1.
42 puncte
Simplificăm: t(3−t22)=1⇒t(3−t2)=2⇒t3−3t+2=0t \left(\frac{3 - t^2}{2}\right) = 1 \Rightarrow t(3 - t^2) = 2 \Rightarrow t^3 - 3t + 2 = 0.
52 puncte
Rezolvăm t3−3t+2=0t^3 - 3t + 2 = 0: factorizăm (t−1)2(t+2)=0(t-1)^2(t+2)=0, deci t=1t=1 sau t=−2t=-2. t=−2t=-2 nu este posibil deoarece ∣sin⁡x+cos⁡x∣≤2|\sin x + \cos x| \leq \sqrt{2}. Pentru t=1t=1, avem sin⁡x+cos⁡x=1⇒2sin⁡(x+π4)=1⇒x+π4=π4+2kπ\sin x + \cos x = 1 \Rightarrow \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1 \Rightarrow x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi sau x+π4=3π4+2kπx + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi. În [0,2π][0, 2\pi], soluțiile sunt x=0x=0, x=π2x=\frac{\pi}{2}, x=2πx=2\pi.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceNumere Complexe
Pentru orice numere complexe z1,z2,z3z_1, z_2, z_3, demonstrați identitatea: ∣z1+z2+z3∣2=∣z1∣2+∣z2∣2+∣z3∣2+2ℜ(z1zˉ2+z2zˉ3+z3zˉ1)|z_1+z_2+z_3|^2 = |z_1|^2+|z_2|^2+|z_3|^2+2\Re(z_1\bar{z}_2+z_2\bar{z}_3+z_3\bar{z}_1).
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.