MediuTeoria MulțimilorClasa 12

Problemă rezolvată de Teoria Mulțimilor

MediuTeoria MulțimilorLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea M={x∈R∣x>0}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \} și operația ∘\circ definită prin x∘y=xyx+yx \circ y = \frac{xy}{x+y}. a) Arătați că ∘\circ este comutativă dar nu este asociativă. b) Rezolvați ecuația (x∘2)∘3=1(x \circ 2) \circ 3 = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Comutativitatea: x∘y=xyx+y=yxy+x=y∘xx \circ y = \frac{xy}{x+y} = \frac{yx}{y+x} = y \circ x. Neasociativitatea: se aleg valori, de exemplu x=1,y=2,z=3x=1, y=2, z=3; atunci (1∘2)∘3=1⋅21+2∘3=23∘3=23⋅323+3=2113=611(1 \circ 2) \circ 3 = \frac{1 \cdot 2}{1+2} \circ 3 = \frac{2}{3} \circ 3 = \frac{\frac{2}{3} \cdot 3}{\frac{2}{3}+3} = \frac{2}{\frac{11}{3}} = \frac{6}{11}, iar 1∘(2∘3)=1∘2⋅32+3=1∘65=1⋅651+65=65115=6111 \circ (2 \circ 3) = 1 \circ \frac{2 \cdot 3}{2+3} = 1 \circ \frac{6}{5} = \frac{1 \cdot \frac{6}{5}}{1+\frac{6}{5}} = \frac{\frac{6}{5}}{\frac{11}{5}} = \frac{6}{11}, dar pentru alte valori, de exemplu x=2,y=3,z=4x=2, y=3, z=4, se obțin rezultate diferite, deci operația nu este asociativă. \n
26 puncte
Se calculează x∘2=2xx+2x \circ 2 = \frac{2x}{x+2}. Apoi, (x∘2)∘3=2xx+2⋅32xx+2+3=6xx+22x+3(x+2)x+2=6x5x+6(x \circ 2) \circ 3 = \frac{ \frac{2x}{x+2} \cdot 3 }{ \frac{2x}{x+2} + 3 } = \frac{ \frac{6x}{x+2} }{ \frac{2x + 3(x+2)}{x+2} } = \frac{6x}{5x+6}. Ecuația devine 6x5x+6=1\frac{6x}{5x+6} = 1. Rezolvând, 6x=5x+66x = 5x+6, deci x=6x=6, dar trebuie x>0x>0, iar x=6x=6 verifică condiția, deci soluția este x=6x=6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Teoria Mulțimilor

Ușor#1Teoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimile A={x∈R∣x2−5x+6<0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 < 0 \} și B={x∈R∣∣x−2∣≤1}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x-2| \leq 1 \}. Determinați A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, și A∖BA \setminus B.
Ușor#2Teoria MulțimilorEcuații logaritmice
Determinați mulțimea A={x∈R∣log⁡2(x−1)+log⁡2(x+3)=3}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid \log_2(x-1) + \log_2(x+3) = 3 \}.
Ușor#3Teoria MulțimilorLogică matematică
Demonstrați că pentru orice mulțimi AA, BB și CC, avem A∖(B∩C)=(A∖B)∪(A∖C)A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C). Utilizați definițiile operațiilor cu mulțimi și proprietățile lor.
Ușor#4Teoria MulțimilorDomeniul de definiție al funcțiilorLogaritmi
Fie mulțimile A={x∈R∣x2−3x+2≤0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 3x + 2 \leq 0 \} și B={x∈R∣log⁡2(x−1)≥0}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid \log_2(x-1) \geq 0 \}. Determinați A∩BA \cap B și A∪BA \cup B.
Vezi toate problemele de Teoria Mulțimilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Teoria Mulțimilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.