Probleme de Teoria Mulțimilor — Clasa a 9-a

Exerciții pentru școalăAlgebra • 399 probleme cu rezolvări complete
Teorie Teoria Mulțimilor — Formule si exemple rezolvate

Teoria mulțimilor introduce conceptele de mulțime, submulțime, reuniune, intersecție și diferență. Este fundamentul logicii matematice studiat în clasa a 9-a.

Verificat de profesori de matematică

Ușor

79

probleme

Mediu

20

probleme

Grile de Teoria Mulțimilor

300 întrebări cu variante de răspuns

→

Exemple de probleme

Mediu#1Teoria MulțimilorLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea M={x∈R∣x>0}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \} și operația ∘\circ definită prin x∘y=xyx+yx \circ y = \frac{xy}{x+y}. a) Arătați că ∘\circ este comutativă dar nu este asociativă. b) Rezolvați ecuația (x∘2)∘3=1(x \circ 2) \circ 3 = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Comutativitatea: x∘y=xyx+y=yxy+x=y∘xx \circ y = \frac{xy}{x+y} = \frac{yx}{y+x} = y \circ x. Neasociativitatea: se aleg valori, de exemplu x=1,y=2,z=3x=1, y=2, z=3; atunci (1∘2)∘3=1⋅21+2∘3=23∘3=23⋅323+3=2113=611(1 \circ 2) \circ 3 = \frac{1 \cdot 2}{1+2} \circ 3 = \frac{2}{3} \circ 3 = \frac{\frac{2}{3} \cdot 3}{\frac{2}{3}+3} = \frac{2}{\frac{11}{3}} = \frac{6}{11}, iar 1∘(2∘3)=1∘2⋅32+3=1∘65=1⋅651+65=65115=6111 \circ (2 \circ 3) = 1 \circ \frac{2 \cdot 3}{2+3} = 1 \circ \frac{6}{5} = \frac{1 \cdot \frac{6}{5}}{1+\frac{6}{5}} = \frac{\frac{6}{5}}{\frac{11}{5}} = \frac{6}{11}, dar pentru alte valori, de exemplu x=2,y=3,z=4x=2, y=3, z=4, se obțin rezultate diferite, deci operația nu este asociativă. \n
26 puncte
Se calculează x∘2=2xx+2x \circ 2 = \frac{2x}{x+2}. Apoi, (x∘2)∘3=2xx+2⋅32xx+2+3=6xx+22x+3(x+2)x+2=6x5x+6(x \circ 2) \circ 3 = \frac{ \frac{2x}{x+2} \cdot 3 }{ \frac{2x}{x+2} + 3 } = \frac{ \frac{6x}{x+2} }{ \frac{2x + 3(x+2)}{x+2} } = \frac{6x}{5x+6}. Ecuația devine 6x5x+6=1\frac{6x}{5x+6} = 1. Rezolvând, 6x=5x+66x = 5x+6, deci x=6x=6, dar trebuie x>0x>0, iar x=6x=6 verifică condiția, deci soluția este x=6x=6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Teoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimile A={x∈R∣x2−5x+6<0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 < 0 \} și B={x∈R∣∣x−2∣≤1}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x-2| \leq 1 \}. Determinați A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, și A∖BA \setminus B.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Rezolvăm inecuația x2−5x+6<0x^2 - 5x + 6 < 0. Factorizăm: x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3), deci inecuația devine (x−2)(x−3)<0(x-2)(x-3) < 0. Soluția este x∈(2,3)x \in (2,3), deci A=(2,3)A = (2,3).
23 puncte
Rezolvăm inecuația ∣x−2∣≤1|x-2| \leq 1. Aceasta este echivalentă cu −1≤x−2≤1-1 \leq x-2 \leq 1, adică 1≤x≤31 \leq x \leq 3. Deci B=[1,3]B = [1,3].
34 puncte
Calculăm operațiile: A∩B=(2,3)∩[1,3]=(2,3)A \cap B = (2,3) \cap [1,3] = (2,3); A∪B=(2,3)∪[1,3]=[1,3)A \cup B = (2,3) \cup [1,3] = [1,3); A∖B=(2,3)∖[1,3]=∅A \setminus B = (2,3) \setminus [1,3] = \emptyset.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Teoria MulțimilorEcuații logaritmice
Determinați mulțimea A={x∈R∣log⁡2(x−1)+log⁡2(x+3)=3}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid \log_2(x-1) + \log_2(x+3) = 3 \}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Stabilim condițiile de existență pentru logaritmi: x−1>0x-1 > 0 și x+3>0x+3 > 0, de unde x>1x > 1 și x>−3x > -3. Intersecția acestor condiții dă x>1x > 1.
24 puncte
Aplicăm proprietatea logaritmilor: log⁡2(x−1)+log⁡2(x+3)=log⁡2((x−1)(x+3))\log_2(x-1) + \log_2(x+3) = \log_2((x-1)(x+3)). Ecuația devine log⁡2((x−1)(x+3))=3\log_2((x-1)(x+3)) = 3, deci (x−1)(x+3)=23=8(x-1)(x+3) = 2^3 = 8. Expandăm: x2+2x−3=8x^2 + 2x - 3 = 8, adică x2+2x−11=0x^2 + 2x - 11 = 0. Rezolvăm: x=−2±4+442=−2±482=−2±432=−1±23x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 44}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{-2 \pm 4\sqrt{3}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{3}.
33 puncte
Verificăm condiția x>1x > 1. Avem x1=−1−23≈−4.46<1x_1 = -1 - 2\sqrt{3} \approx -4.46 < 1, deci nu convine. x2=−1+23≈2.46>1x_2 = -1 + 2\sqrt{3} \approx 2.46 > 1, deci este acceptabil. Astfel, A={−1+23}A = \{ -1 + 2\sqrt{3} \}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Teoria MulțimilorLogică matematică
Demonstrați că pentru orice mulțimi AA, BB și CC, avem A∖(B∩C)=(A∖B)∪(A∖C)A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C). Utilizați definițiile operațiilor cu mulțimi și proprietățile lor.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Definiți operațiile de diferență și intersecție a mulțimilor: A∖B={x∣x∈A și x∉B}A \setminus B = \{ x \mid x \in A \text{ și } x \notin B \}, B∩C={x∣x∈B și x∈C}B \cap C = \{ x \mid x \in B \text{ și } x \in C \}.
24 puncte
Demonstrați incluziunea A∖(B∩C)⊆(A∖B)∪(A∖C)A \setminus (B \cap C) \subseteq (A \setminus B) \cup (A \setminus C). Fie x∈A∖(B∩C)x \in A \setminus (B \cap C), atunci x∈Ax \in A și x∉B∩Cx \notin B \cap C. Dacă x∉B∩Cx \notin B \cap C, atunci x∉Bx \notin B sau x∉Cx \notin C. Astfel, x∈A∖Bx \in A \setminus B sau x∈A∖Cx \in A \setminus C, deci x∈(A∖B)∪(A∖C)x \in (A \setminus B) \cup (A \setminus C).
33 puncte
Demonstrați incluziunea (A∖B)∪(A∖C)⊆A∖(B∩C)(A \setminus B) \cup (A \setminus C) \subseteq A \setminus (B \cap C). Fie x∈(A∖B)∪(A∖C)x \in (A \setminus B) \cup (A \setminus C), atunci x∈A∖Bx \in A \setminus B sau x∈A∖Cx \in A \setminus C. Dacă x∈A∖Bx \in A \setminus B, atunci x∈Ax \in A și x∉Bx \notin B, deci x∉B∩Cx \notin B \cap C. Similar pentru x∈A∖Cx \in A \setminus C. În ambele cazuri, x∈Ax \in A și x∉B∩Cx \notin B \cap C, deci x∈A∖(B∩C)x \in A \setminus (B \cap C). Total: 10 puncte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Teoria MulțimilorDomeniul de definiție al funcțiilorLogaritmi
Fie mulțimile A={x∈R∣x2−3x+2≤0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 3x + 2 \leq 0 \} și B={x∈R∣log⁡2(x−1)≥0}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid \log_2(x-1) \geq 0 \}. Determinați A∩BA \cap B și A∪BA \cup B.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Rezolvați inecuația x2−3x+2≤0x^2 - 3x + 2 \leq 0. Factorizăm: x2−3x+2=(x−1)(x−2)≤0x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) \leq 0. Soluțiile sunt x∈[1,2]x \in [1, 2]. Deci, A=[1,2]A = [1, 2].
23 puncte
Rezolvați inecuația log⁡2(x−1)≥0\log_2(x-1) \geq 0 cu condiția de existență x−1>0x-1 > 0, adică x>1x > 1. log⁡2(x−1)≥0\log_2(x-1) \geq 0 este echivalent cu x−1≥20=1x-1 \geq 2^0 = 1, deci x−1≥1x-1 \geq 1 sau x≥2x \geq 2. Combinând cu x>1x > 1, avem x≥2x \geq 2. Deci, B=[2,∞)B = [2, \infty).
33 puncte
Calculați intersecția și reuniunea: A∩B=[1,2]∩[2,∞)={2}A \cap B = [1,2] \cap [2,\infty) = \{2\}, iar A∪B=[1,2]∪[2,∞)=[1,∞)A \cup B = [1,2] \cup [2,\infty) = [1,\infty). Total: 10 puncte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6Teoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere RealeLogică matematică
Fie mulțimile A={x∈R∣x2−5x+6<0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 < 0 \} și B={x∈R∣∣x−2∣≤1}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x-2| \leq 1 \}. Determinați A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, și A∖BA \setminus B. Apoi, demonstrați că pentru orice mulțimi XX și YY, avem X∖(X∖Y)=X∩YX \setminus (X \setminus Y) = X \cap Y.
Ușor#7Teoria MulțimilorCombinatoricăProbabilități
Într-o clasă sunt 30 de elevi. 15 studiază matematica, 12 studiază fizica, și 8 studiază ambele. Determinați numărul de elevi care studiază cel puțin una dintre cele două materii. Apoi, dacă se alege un elev la întâmplare, calculați probabilitatea ca el să studieze doar matematica. Demonstrați formula pentru numărul de elemente din reuniunea a două mulțimi finite: ∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|.
Ușor#8Teoria MulțimilorFuncția de gradul al II-leaLogaritmi
Fie mulțimile A={x∈R∣x2−5x+6≤0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 \leq 0 \} și B={x∈R∣log⁡2(x−1)>0}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid \log_2(x-1) > 0 \}. Determinați A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, și verificați dacă A∖B=B∖AA \setminus B = B \setminus A.
Ușor#9Teoria MulțimilorCombinatoricăProbabilități
Într-o grupă de 30 de studenți, 15 studiază matematica, 12 studiază fizica, și 8 studiază ambele discipline. Determinați numărul de studenți care studiază cel puțin una dintre cele două discipline și probabilitatea ca un student ales la întâmplare să studieze doar matematica.
Ușor#10Teoria MulțimilorLogaritmiCombinatorică
Considerăm mulțimile A={x∈N∣x este divizor al lui 18}A = \{ x \in \mathbb{N} \mid x \text{ este divizor al lui } 18 \} și B={x∈N∣log⁡3x∈Z}B = \{ x \in \mathbb{N} \mid \log_3 x \in \mathbb{Z} \}. a) Determinați A∩BA \cap B și A∪BA \cup B. b) Numărul de relații binare pe mulțimea A∖BA \setminus B care sunt reflexive și simetrice.

Și alte 89 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Teoria Mulțimilor cu AI

Accesează toate cele 399 probleme de Teoria Mulțimilor cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Alte capitole pentru clasa a 9-a

→Algebră și Calcule cu Numere Reale
511 probleme
→Aplicații ale trigonometriei în geometrie
411 probleme
→Funcția de gradul I
399 probleme
→Identități algebrice
396 probleme
→Inducție matematică
391 probleme

Câștigă XP și badge-uri rezolvând probleme

Sistem de niveluri (1-20), clasament săptămânal și serie zilnică de învățare. Începe gratuit cu 50 de credite.