MediuArii și volumeClasa 11

Problemă rezolvată de Arii și volume

MediuArii și volumeAplicații ale trigonometriei în geometrieAplicații ale derivatelor
O piramidă patrulateră regulată de volum VV este circumscrisă în jurul unei emisfere astfel încât centrul bazei piramidei coincide cu centrul sferei. Unghiul dintre o față laterală a piramidei și planul bazei este α\alpha. Determinați volumul emisferei. Pentru ce valoare a lui α\alpha volumul emisferei este maxim?

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notați jumătatea laturii bazei cu bb și înălțimea piramidei cu hh. Din definiția unghiului dintre fața laterală și baza piramidei rezultă tan⁡α=hb\tan\alpha=\dfrac{h}{b}. Volumul piramidei este V=13(2b)2h=43b2hV=\tfrac{1}{3}(2b)^2h=\tfrac{4}{3}b^2h, deci b3=3V4tan⁡αb^3=\dfrac{3V}{4\tan\alpha}.
23 puncte
Determinați raza emisferei RR. Din secțiunea perpendiculară pe o latură, distanța de la centrul bazei la planul unei fețe laterale este RR, iar calculele conduc la R=bsin⁡αR=b\sin\alpha.
32 puncte
Volumul emisferei este U=23πR3=23π(bsin⁡α)3U=\tfrac{2}{3}\pi R^3=\tfrac{2}{3}\pi (b\sin\alpha)^3. Înlocuind b3b^3 găsit la pasul 1 se obține U(α)=πV2sin⁡2αcos⁡αU(\alpha)=\dfrac{\pi V}{2}\sin^2\alpha\cos\alpha.
42 puncte
Maximizați U(α)U(\alpha) pe 0<α<π20<\alpha<\tfrac{\pi}{2}: derivați pentru a obține condiția de extrem sin⁡α(2−3sin⁡2α)=0\sin\alpha(2-3\sin^2\alpha)=0, rezultând sin⁡2α=23\sin^2\alpha=\dfrac{2}{3}. Concluzionați că volumul emisferei este maxim pentru α=arcsin⁡23\alpha=\arcsin\sqrt{\dfrac{2}{3}} (verificare a maximei prin derivata a doua sau semnul lui U′U').

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Arii și volume

Mediu#1Arii și volumeFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Trebuie construit un moviliu de cale ferată lung de 100 m, a cărui secțiune transversală este un trapez isoscel cu baza inferioară 5 m5\mathrm{\,m}, baza superioară cel puţin 2 m2\mathrm{\,m} şi panta laterală de 45∘45^\circ. Determinaţi înălţimea hh a moviliului astfel încât volumul excavărilor să fie cel puţin 400 m3400\mathrm{\,m^3} şi cel mult 500 m3500\mathrm{\,m^3}.
Mediu#2Arii și volumeAplicații ale derivatelor
Determinați volumul maxim VV al unui con având generatoarea de lungime aa.
Mediu#3Arii și volumeAplicații ale derivatelorTrigonometrie
Dintr-un cerc se taie un sector cu unghiul central α\alpha. Din partea rămasă a cercului se construiește un con. Pentru ce valoare a lui α\alpha volumul conului este maxim?
Greu#4Arii și volumeAplicații ale trigonometriei în geometrieAplicații ale derivatelor
Baza unei piramide este un triunghi isoscel cu unghiul de la bază α\alpha. Fiecare dintre unghiurile diedre de la bază este egal cu φ\varphi. Raza sferei înscrise în piramidă este RR. Determinați volumul piramidei. Pentru ce valoare a lui α\alpha volumul piramidei este minim?
Vezi toate problemele de Arii și volume →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Arii și volume cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.