Probleme de Arii și volume — Clasa a 10-a

Exerciții pentru școalăGeometrie • 419 probleme cu rezolvări complete
Teorie Arii și volume — Formule si exemple rezolvate

Ariile și volumele se calculează folosind formule geometrice clasice sau metode analitice (integrale). Capitolul combină geometria cu analiza matematică.

Verificat de profesori de matematică

Ușor

20

probleme

Mediu

104

probleme

Greu

2

probleme

Grile de Arii și volume

293 întrebări cu variante de răspuns

→

Exemple de probleme

Mediu#1Arii și volumeFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Trebuie construit un moviliu de cale ferată lung de 100 m, a cărui secțiune transversală este un trapez isoscel cu baza inferioară 5 m5\mathrm{\,m}, baza superioară cel puţin 2 m2\mathrm{\,m} şi panta laterală de 45∘45^\circ. Determinaţi înălţimea hh a moviliului astfel încât volumul excavărilor să fie cel puţin 400 m3400\mathrm{\,m^3} şi cel mult 500 m3500\mathrm{\,m^3}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Modelarea geometrică: dacă înălţimea este hh, fiecare muchie laterală reduce lăţimea cu hh (panta 45∘45^\circ), deci baza superioară este 5−2h5-2h. Aria secţiunii A(h)=5+(5−2h)2h=5h−h2A(h)=\frac{5+(5-2h)}{2}h=5h-h^2 şi volumul V(h)=100A(h)=500h−100h2V(h)=100A(h)=500h-100h^2.
24 puncte
Impunerea condiţiilor volumului: rezolvaţi inegalităţile 400≤500h−100h2≤500400\le 500h-100h^2\le 500 şi impuneţi condiţia geometrică 5−2h≥25-2h\ge 2 (adică h≤32h\le\tfrac{3}{2}). Din prima inegalitate se obţine h∈[1,4]h\in[1,4], din a doua (pentru partea superioară) rezultă h≤5−52h\le\tfrac{5-\sqrt{5}}{2}; combinând cu condiţia geometrică se restrânge soluţia.
33 puncte
Concluzie: intervalul de valori admisibile pentru înălţime este h∈[1, 5−52]h\in\bigl[1,\,\tfrac{5-\sqrt{5}}{2}\bigr].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Arii și volumeAplicații ale derivatelor
Determinați volumul maxim VV al unui con având generatoarea de lungime aa.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se notează raza rr, înălțimea hh și se scrie condiția generatoarei a2=r2+h2a^2=r^2+h^2 și volumul V=13πr2hV=\frac{1}{3}\pi r^2 h.
22 puncte
Se exprimă h=a2−r2h=\sqrt{a^2-r^2} și se obține V(r)=13πr2a2−r2V(r)=\frac{1}{3}\pi r^2\sqrt{a^2-r^2}.
33 puncte
Se derivă V′(r)V'(r), se obține condiția critică r=a3r=\frac{a}{\sqrt{3}} (se verifică că este maximum).
43 puncte
Se calculează h=a23h=a\sqrt{\frac{2}{3}} și volumul maxim Vmax⁡=πa3923V_{\max}=\frac{\pi a^3}{9}\sqrt{\frac{2}{3}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Arii și volumeAplicații ale derivatelorTrigonometrie
Dintr-un cerc se taie un sector cu unghiul central α\alpha. Din partea rămasă a cercului se construiește un con. Pentru ce valoare a lui α\alpha volumul conului este maxim?

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se notează raza cercului inițial RR (care devine generatoarea conului) și raza bazei rr, legătura perimetrului bazei cu arcul: 2πr=(2π−α)R2\pi r=(2\pi-\alpha)R.
22 puncte
Din relație obținem r=R(1−α2π)r=R\left(1-\frac{\alpha}{2\pi}\right). Se notează k=1−α2πk=1-\frac{\alpha}{2\pi}, astfel r=kRr=kR, h=R1−k2h=R\sqrt{1-k^2}.
33 puncte
Se scrie V(k)=13πR3k21−k2V(k)=\frac{1}{3}\pi R^3 k^2\sqrt{1-k^2} şi se determină maximul: condiţia critică k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}}.
43 puncte
Se află α=2π(1−k)=2π(1−13)\alpha=2\pi(1-k)=2\pi\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) şi volumul maxim Vmax⁡=πR3923V_{\max}=\frac{\pi R^3}{9}\sqrt{\frac{2}{3}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#4Arii și volumeAplicații ale trigonometriei în geometrieAplicații ale derivatelor
Baza unei piramide este un triunghi isoscel cu unghiul de la bază α\alpha. Fiecare dintre unghiurile diedre de la bază este egal cu φ\varphi. Raza sferei înscrise în piramidă este RR. Determinați volumul piramidei. Pentru ce valoare a lui α\alpha volumul piramidei este minim?

Rezolvare completă

3 puncte · 1 pas
13 puncte
Denumim în baza isoscelă latura egală ℓ\ell și baza a=2ℓcos⁡αa=2\ell\cos\alpha. Aria bazei este Sb=12a(ℓsin⁡α)=ℓ2sin⁡αcos⁡αS_b=\dfrac{1}{2}a(\ell\sin\alpha)=\ell^2\sin\alpha\cos\alpha. Perimetrul bazei este p=2ℓ+a=2ℓ(1+cos⁡α)p=2\ell+a=2\ell(1+\cos\alpha). Înălțimea piramidei notăm HH; volumul este V=13SbHV=\dfrac{1}{3}S_bH.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Arii și volumeAplicații ale trigonometriei în geometrieAplicații ale derivatelor
Un con este circumscris în jurul unei sfere de rază RR. Unghiul vârfului în secțiunea axială a conului este 2α2\alpha. Determinați aria secțiunii axiale a conului. Pentru ce valoare a lui α\alpha aria conului este minimă?

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Reprezentați secțiunea axială ca un triunghi isoscel cu înălțimea HH și unghi în vârf 2α2\alpha. Relacionați raza cercului înscris (sfera în secțiune) RR cu HH și α\alpha: R=Hsin⁡α1+sin⁡αR=H\dfrac{\sin\alpha}{1+\sin\alpha}, obținut prin formula razei înscrise r=ariasr=\dfrac{\text{aria}}{s} sau calcul direct în triunghi.
23 puncte
Calculați baza triunghiului și aria secțiunii axiale AA: baza =2Htan⁡α=2H\tan\alpha, aria A=H2tan⁡αA=H^2\tan\alpha. Folosind relația pentru HH în funcție de RR și α\alpha se obține A(α)=R2(1+sin⁡α)2sin⁡αcos⁡αA(\alpha)=R^2\dfrac{(1+\sin\alpha)^2}{\sin\alpha\cos\alpha}.
33 puncte
Determinați extremul funcției A(α)A(\alpha) pe intervalul relevant 0<α<π20<\alpha<\tfrac{\pi}{2} prin derivare. Calculul derivatelor reduce ecuația la 2sin⁡α−1=02\sin\alpha-1=0, deci sin⁡α=12\sin\alpha=\tfrac{1}{2}.
41 punct
Concluzionați că valoarea pentru care aria este minimă este α=π6\alpha=\dfrac{\pi}{6} (verificați natura extremului, p.ex. semnul derivei sau derivata a doua).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Arii și volumeAplicații ale trigonometriei în geometrieAplicații ale derivatelor
O piramidă patrulateră regulată de volum VV este circumscrisă în jurul unei emisfere astfel încât centrul bazei piramidei coincide cu centrul sferei. Unghiul dintre o față laterală a piramidei și planul bazei este α\alpha. Determinați volumul emisferei. Pentru ce valoare a lui α\alpha volumul emisferei este maxim?
Mediu#7Arii și volumeAplicații ale derivatelor
Rezolvați: Având un rezervor deschis cu bază pătrată și volum V=32 m3V = 32\ \mathrm{m}^3, care trebuie să fie dimensiunile bazei și înălțimea pentru ca materialul necesar la căptușirea pereților și a bazei (suprafața totală a părților expuse) să fie minimă?
Mediu#8Arii și volumeAplicații ale trigonometriei în geometrieDerivate
Rezolvați: Baza unei piramide este un triunghi isoscel a cărui arie este S iar unghiul vârfului acut este α. Volumul piramidei este dat când unghiul dintre fiecare muchie laterală și înălțimea piramidei este β. Găsiți volumul în funcție de S, α, β și determinați pentru ce valoare a lui α volumul este minim.
Mediu#9Arii și volumeAplicații ale derivatelor
Rezolvați: Într-o piramidă regulată hexagonală o muchie laterală are lungimea 1 cm. Pentru ce lungime a laturii bazei se obține volumul maxim al piramidei?
Mediu#10Arii și volumeAlgebră și Calcule cu Numere RealeTrigonometrie
Rezolvați: Trebuie construit o pâlnie (canal) din trei scânduri de aceeași lățime. Pentru ce unghi de înclinare al laturilor laterale aria secțiunii transversale a pâlniei este maximă?

Și alte 116 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Arii și volume cu AI

Accesează toate cele 419 probleme de Arii și volume cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Alte capitole pentru clasa a 10-a

→Combinatorică
469 probleme
→Domeniul de definiție al funcțiilor
531 probleme
→Ecuații exponentiale
495 probleme
→Ecuații iraționale
340 probleme
→Ecuații logaritmice
506 probleme

Câștigă XP și badge-uri rezolvând probleme

Sistem de niveluri (1-20), clasament săptămânal și serie zilnică de învățare. Începe gratuit cu 50 de credite.