MediuArii și volumeClasa 11

Problemă rezolvată de Arii și volume

MediuArii și volumeVectoriAplicații ale derivatelor
Toate muchiile unei prisme triunghiulare ABCA1B1C1 sunt de aceeași lungime și unghiurile la vârf corespunzătoare punctului A din planul bazei sunt congruente. K și L sunt mijloacele muchiilor [AA1] și [AB]. Determinați unde pe muchia [AC] trebuie ales un punct M astfel încât aria triunghiului KLM să fie minimă.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Alege un sistem de coordonate facil: prin scalare se poate lua lungimea muchiilor s=1s=1. Pozitivează A(0,0,0),  B(1,0,0),  C(12,32,0),  A1(0,0,1)A(0,0,0),\;B(1,0,0),\;C\bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2},0\bigr),\;A_1(0,0,1) (baza orizontală, axa zz pe muchia AA1).
23 puncte
Determină coordonatele punctelor date: KK mijlocul lui AA1AA_1 are K(0,0,12)K(0,0,\tfrac{1}{2}), LL mijlocul lui ABAB are L(12,0,0)L(\tfrac{1}{2},0,0). Parametrizăm MM pe ACAC prin M=A+t(C−A)=(t2,t32,0)M=A+t(C-A)=\bigl(\tfrac{t}{2},\tfrac{t\sqrt{3}}{2},0\bigr), cu t∈[0,1]t\in[0,1].
33 puncte
Scrie aria triunghiului KLMKLM ca jumătate din norma produsului vectorial: cu u⃗=KL→=L−K=(12,0,−12)\vec u=\overrightarrow{KL}=L-K=\bigl(\tfrac{1}{2},0,-\tfrac{1}{2}\bigr) și v⃗=KM→=M−K=(t2,t32,−12)\vec v=\overrightarrow{KM}=M-K=\bigl(\tfrac{t}{2},\tfrac{t\sqrt{3}}{2},-\tfrac{1}{2}\bigr), calculezi u⃗×v⃗=(t34,1−t4,t34)\vec u\times\vec v=\bigl(\tfrac{t\sqrt{3}}{4},\tfrac{1- t}{4},\tfrac{t\sqrt{3}}{4}\bigr). Norma pătratică este f(t)=∥u⃗×v⃗∥2=7t216−t8+116f(t)=\|\vec u\times\vec v\|^2=\dfrac{7t^2}{16}-\dfrac{t}{8}+\dfrac{1}{16}, a aria este A(t)=12f(t)A(t)=\tfrac{1}{2}\sqrt{f(t)}, deci minimizarea ariei este echivalentă cu minimizarea f(t)f(t). Derivata f′(t)=7t−18f'(t)=\dfrac{7t-1}{8}.
42 puncte
Rezolvă f′(t)=0⇒t=17f'(t)=0\Rightarrow t=\dfrac{1}{7}. Verifică semnul derivatei (minim), concluzionezi că MM este punctul de pe ACAC cu AM=17ACAM=\dfrac{1}{7}AC (adică parametrul t=1/7t=1/7).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Arii și volume

Mediu#1Arii și volumeFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Trebuie construit un moviliu de cale ferată lung de 100 m, a cărui secțiune transversală este un trapez isoscel cu baza inferioară 5 m5\mathrm{\,m}, baza superioară cel puţin 2 m2\mathrm{\,m} şi panta laterală de 45∘45^\circ. Determinaţi înălţimea hh a moviliului astfel încât volumul excavărilor să fie cel puţin 400 m3400\mathrm{\,m^3} şi cel mult 500 m3500\mathrm{\,m^3}.
Mediu#2Arii și volumeAplicații ale derivatelor
Determinați volumul maxim VV al unui con având generatoarea de lungime aa.
Mediu#3Arii și volumeAplicații ale derivatelorTrigonometrie
Dintr-un cerc se taie un sector cu unghiul central α\alpha. Din partea rămasă a cercului se construiește un con. Pentru ce valoare a lui α\alpha volumul conului este maxim?
Greu#4Arii și volumeAplicații ale trigonometriei în geometrieAplicații ale derivatelor
Baza unei piramide este un triunghi isoscel cu unghiul de la bază α\alpha. Fiecare dintre unghiurile diedre de la bază este egal cu φ\varphi. Raza sferei înscrise în piramidă este RR. Determinați volumul piramidei. Pentru ce valoare a lui α\alpha volumul piramidei este minim?
Vezi toate problemele de Arii și volume →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Arii și volume cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.