MediuProgresii AritmeticeClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeLogaritmiAplicații ale trigonometriei în geometrie
Fiecare dintre cele două triple de numere log⁡a,log⁡b,log⁡c\log a,\log b,\log c și log⁡a−log⁡2b,  log⁡2b−log⁡3c,  log⁡3c−log⁡a\log a-\log 2b,\;\log 2b-\log 3c,\;\log 3c-\log a este o progresie aritmetică. Pot numerele a,b,ca,b,c fi lungimile laturilor unui triunghi? Dacă da, ce fel de triunghi este și găsiți unghiurile acestuia (dacă există).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Din faptul că log⁡a,log⁡b,log⁡c\log a,\log b,\log c sunt în AP rezultă log⁡b−log⁡a=log⁡c−log⁡b\log b-\log a=\log c-\log b, deci b2=acb^2=ac.
24 puncte
Din a doua condiție, pentru X=log⁡a2b,  Y=log⁡2b3c,  Z=log⁡3caX=\log\dfrac{a}{2b},\;Y=\log\dfrac{2b}{3c},\;Z=\log\dfrac{3c}{a} având AP se obține 2Y=X+Z2Y=X+Z, adică (2b3c)2=3c2b\left(\dfrac{2b}{3c}\right)^2=\dfrac{3c}{2b}. Împreună cu b2=acb^2=ac se obține a:b:c=9:6:4a:b:c=9:6:4.
33 puncte
Verificați inegalitățile triunghiului (9+6>4 etc.) şi constatați că triunghiul există. Aplicând teorema cosinusului găsiți că unghiul opus laturii 9 este obtuz deoarece 92>62+429^2>6^2+4^2. Unghiurile aproximative sunt ≈127.28∘\approx127.28^\circ, ≈32.12∘\approx32.12^\circ, ≈20.60∘\approx20.60^\circ.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.