Probleme de Progresii Aritmetice — Clasa a 9-a

Exerciții pentru școalăAlgebra • 450 probleme cu rezolvări complete
Teorie Progresii Aritmetice — Formule si exemple rezolvate

Progresiile aritmetice sunt șiruri în care diferența dintre termeni consecutivi este constantă. Se studiază în clasa a 9-a și include formule pentru termenul general și suma primilor n termeni.

Verificat de profesori de matematică

Ușor

71

probleme

Mediu

66

probleme

Grile de Progresii Aritmetice

313 întrebări cu variante de răspuns

→

Exemple de probleme

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați suma progresiei aritmetice 2+4+⋯+2x=2(1+2+⋯+x)=x(x+1)2+4+\dots+2x=2(1+2+\dots+x)=x(x+1);
23 puncte
Observați că baza 0.3∈(0,1)0.3\in(0,1), funcția ata^t este strict descrescătoare, deci inegalitatea se inversează la compararea exponenților;
34 puncte
Rezolvați x(x+1)<72x(x+1)<72, adică x2+x−72<0x^2+x-72<0 cu rădăcini −9-9 și 88, rezultând −9<x<8-9<x<8, din care pentru x∈Nx\in\mathbb{N} obțineți x∈{1,2,3,4,5,6,7}x\in\{1,2,3,4,5,6,7\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Exprimați termenii prin a1a_1 și dd, folosind an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)d, deci a2=a1+da_2=a_1+d, a3=a1+2da_3=a_1+2d, a5=a1+4da_5=a_1+4d, a9=a1+8da_9=a_1+8d.
24 puncte
Formulați și rezolvați sistemul: din prima ecuație a1+3d=10a_1+3d=10, din a doua 2a1+9d=172a_1+9d=17.
33 puncte
Calculați d=−1d=-1 și apoi a1=13a_1=13, scrieți rezultatul a1=13a_1=13, d=−1d=-1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați termenul general prin an=Sn−Sn−1a_n=S_n-S_{n-1}; observați Sn−1=2(n−1)2+3(n−1)=2n2−n−1S_{n-1}=2(n-1)^2+3(n-1)=2n^2-n-1.
23 puncte
Determinați an=Sn−Sn−1=4n+1a_n= S_n-S_{n-1}=4n+1.
33 puncte
Arătați că diferența an+1−an=4a_{n+1}-a_n=4 este constantă, concluzionați că șirul este progresie aritmetică (diferența comună d=4d=4).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați termenul general an=Sn−Sn−1a_n=S_n-S_{n-1} cu Sn−1=4(n−1)2−3(n−1)=4n2−11n+7S_{n-1}=4(n-1)^2-3(n-1)=4n^2-11n+7.
23 puncte
Determinați an=8n−7a_n=8n-7.
33 puncte
Calculați primele trei termene: a1=1a_1=1, a2=9a_2=9, a3=17a_3=17 și prezentați rezultatul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Progresii Aritmetice
Găsiți suma primilor 20 de termeni ai unei progresii aritmetice, dacă primul termen este 22 și al șaptelea termen este 2020.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
13 puncte
Determinați diferența comună: a7=a1+6d=20⇒2+6d=20⇒d=3a_7=a_1+6d=20\Rightarrow 2+6d=20\Rightarrow d=3.
27 puncte
Calculați suma S20=202(2a1+(20−1)d)=10(4+19⋅3)=10⋅61=610S_{20}=\frac{20}{2}(2a_1+(20-1)d)=10(4+19\cdot3)=10\cdot61=610, scrieți rezultatul S20=610S_{20}=610.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen și diferența unei progresii aritmetice, dacă suma primilor cinci termeni cu indice par este egală cu 1515 și suma primilor trei termeni este egală cu −3-3.
Ușor#7Progresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți suma primilor șase termeni ai unei progresii aritmetice, dacă suma primului și al cincilea termen este a1+a5=26a_1+a_5=26, iar produsul celui de-al doilea cu cel de-al patrulea termen este a2a4=160a_2a_4=160.
Ușor#8Progresii Aritmetice
Găsiți suma primilor 11 termeni ai unei progresii aritmetice, știind că suma celui de-al treilea și celui de-al nouălea termen este a3+a9=8a_3+a_9=8.
Mediu#9Progresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie o progresie aritmetică pentru care suma pătratelor celui de-al cincilea și celui de-al unsprezecelea termen este a52+a112=3a_5^2+a_{11}^2=3, iar produsul celui de-al doilea cu cel de-al paisprezecelea termen este egal cu kk (a2a14=ka_2a_{14}=k). Găsiți produsul primului cu cel de-al cincisprezecelea termen a1a15a_1a_{15} al progresiei.
Ușor#10Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Determinați progresia aritmetică pentru care suma celui de-al doilea și celui de-al cincilea termen este a2+a5=8a_2+a_5=8, iar suma celui de-al treilea și celui de-al șaptelea termen este a3+a7=14a_3+a_7=14.

Și alte 127 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Accesează toate cele 450 probleme de Progresii Aritmetice cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Alte capitole pentru clasa a 9-a

→Algebră și Calcule cu Numere Reale
511 probleme
→Aplicații ale trigonometriei în geometrie
411 probleme
→Funcția de gradul I
399 probleme
→Identități algebrice
396 probleme
→Inducție matematică
391 probleme

Câștigă XP și badge-uri rezolvând probleme

Sistem de niveluri (1-20), clasament săptămânal și serie zilnică de învățare. Începe gratuit cu 50 de credite.