MediuProcenteClasa 11

Problemă rezolvată de Procente

MediuProcenteDerivateMonotonie și convexitate
Un aliaj de cupru și cositor cu masa de 8 kg conține p% cupru. Ce cantitate dintr-un aliaj cu 40% cositor trebuie amestecată cu prima bucată pentru a obține un nou aliaj cu procentul minim de cupru, dacă masa celei de-a doua bucăți este de 2 kg?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Reprezentăm cantitatea adăugată prin x∈[0,2]x\in[0,2] kg. Prima bucată are cupru 8⋅p1008\cdot\dfrac{p}{100} kg. Aliajul cu 40% cositor are 60% cupru, deci conține 0.6x0{.}6x kg cupru. Fracțiunea de cupru în amestec este F(x)=8⋅p100+0.6x8+xF(x)=\dfrac{8\cdot\dfrac{p}{100}+0{.}6x}{8+x}.
24 puncte
Observăm monotonia în funcție de semnul lui 0.6−p1000{.}6-\dfrac{p}{100}. Dacă p>60p>60 atunci 0.6<p1000{.}6<\dfrac{p}{100}, deci F′(x)<0F'(x)<0 și fracțiunea scade când xx crește, astfel procentul minim se obține pentru x=2x=2. Dacă p<60p<60 atunci 0.6>p1000{.}6>\dfrac{p}{100}, deci F′(x)>0F'(x)>0 și fracțiunea crește cu xx, astfel procentul minim se obține pentru x=0x=0. Dacă p=60p=60 atunci F(x)F(x) este constantă și orice x∈[0,2]x\in[0,2] dă același procent.
32 puncte
Concluzie: dacă p>60p>60 se amestecă 22 kg; dacă p<60p<60 nu se adaugă nimic (00 kg); dacă p=60p=60 orice cantitate între 00 și 22 kg este acceptabilă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Procente

Ușor#1ProcenteMatematică aplicatăEcuații exponentiale
O bancă oferă un depozit cu dobândă compusă anuală de 5%. Un client depune 1000 u.m. pe o perioadă de nn ani. Dacă după nn ani suma acumulată este de 1276.28 u.m., determinați numărul de ani nn și calculați suma după încă 3 ani, presupunând că dobânda rămâne aceeași.
Ușor#2ProcenteMatematică aplicatăȘiruri de numere reale
O investiție inițială de 5000 de lei este plasată la o rată anuală de dobândă de 6%, compusă anual. Determinați suma acumulată după 5 ani și timpul necesar pentru ca investiția să se dubleze. Presupuneți că nu se fac alte depuneri sau retrageri.
Ușor#3ProcenteMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu o rată anuală de 5%5\%. Determinați suma disponibilă după 10 ani, dacă dobânda se capitalizează anual. În plus, dacă după 5 ani se retrag 20002000 de lei, calculați ce sumă va avea la finalul celor 10 ani.
Ușor#4ProcenteMatematică financiarăLogaritmi
Un investitor depune o sumă de 10.000 lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă cu o rată anuală de 5%. a) După câți ani suma inițială se va dubla? b) Ce sumă va avea investitorul după 10 ani?
Vezi toate problemele de Procente →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Procente cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.