Probleme de Procente — Clasa a 10-a

Exerciții pentru școalăAlgebra • 407 probleme cu rezolvări complete
Teorie Procente — Formule si exemple rezolvate

Procentele și proporțiile sunt instrumente fundamentale de calcul aplicat. Capitolul include probleme de procentaj, regula de trei simplă și aplicații financiare.

Verificat de profesori de matematică

Ușor

82

probleme

Mediu

37

probleme

Grile de Procente

288 întrebări cu variante de răspuns

→

Exemple de probleme

Ușor#1ProcenteMatematică aplicatăEcuații exponentiale
O bancă oferă un depozit cu dobândă compusă anuală de 5%. Un client depune 1000 u.m. pe o perioadă de nn ani. Dacă după nn ani suma acumulată este de 1276.28 u.m., determinați numărul de ani nn și calculați suma după încă 3 ani, presupunând că dobânda rămâne aceeași.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scrierea formulei dobânzii compuse: S=S0(1+r)nS = S_0 (1 + r)^n, unde S0=1000S_0 = 1000, r=0.05r = 0.05, S=1276.28S = 1276.28;
23 puncte
Rezolvarea ecuației 1276.28=1000⋅(1.05)n1276.28 = 1000 \cdot (1.05)^n, adică (1.05)n=1.27628(1.05)^n = 1.27628;
32 puncte
Aplicarea logaritmilor: n⋅ln⁡(1.05)=ln⁡(1.27628)n \cdot \ln(1.05) = \ln(1.27628), deci n=ln⁡(1.27628)ln⁡(1.05)≈0.2440.04879≈5n = \frac{\ln(1.27628)}{\ln(1.05)} \approx \frac{0.244}{0.04879} \approx 5 ani;
42 puncte
Calculul sumei după încă 3 ani, deci după n+3=8n + 3 = 8 ani: S8=1000⋅(1.05)8=1000⋅1.477455≈1477.46S_8 = 1000 \cdot (1.05)^8 = 1000 \cdot 1.477455 \approx 1477.46 u.m.;
51 punct
Verificarea aproximativă: pentru n=5n=5, S5=1000⋅(1.05)5=1000⋅1.27628=1276.28S_5 = 1000 \cdot (1.05)^5 = 1000 \cdot 1.27628 = 1276.28 u.m., confirmă rezultatul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2ProcenteMatematică aplicatăȘiruri de numere reale
O investiție inițială de 5000 de lei este plasată la o rată anuală de dobândă de 6%, compusă anual. Determinați suma acumulată după 5 ani și timpul necesar pentru ca investiția să se dubleze. Presupuneți că nu se fac alte depuneri sau retrageri.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Identificarea formulei dobânzii compuse: A=P(1+r)nA = P(1 + r)^n, unde AA este suma acumulată, P=5000P = 5000 lei este principalul, r=0.06r = 0.06 este rata anuală, nn este numărul de ani.
23 puncte
Calculul sumei după 5 ani: A=5000(1+0.06)5=5000×1.065A = 5000(1 + 0.06)^5 = 5000 \times 1.06^5.
32 puncte
Evaluarea numerică: 1.065≈1.33822557761.06^5 \approx 1.3382255776, deci A≈5000×1.3382255776=6691.13A \approx 5000 \times 1.3382255776 = 6691.13 lei (rotunjit la două zecimale).
43 puncte
Găsirea timpului pentru dublare: 2P=P(1+r)n⇒2=(1.06)n2P = P(1 + r)^n \Rightarrow 2 = (1.06)^n. Aplicând logaritmi: ln⁡2=nln⁡1.06⇒n=ln⁡2ln⁡1.06≈0.6931470.0582689≈11.9\ln 2 = n \ln 1.06 \Rightarrow n = \frac{\ln 2}{\ln 1.06} \approx \frac{0.693147}{0.0582689} \approx 11.9 ani.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3ProcenteMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu o rată anuală de 5%5\%. Determinați suma disponibilă după 10 ani, dacă dobânda se capitalizează anual. În plus, dacă după 5 ani se retrag 20002000 de lei, calculați ce sumă va avea la finalul celor 10 ani.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scrierea formulei dobânzii compuse: Sn=S0⋅(1+r)nS_n = S_0 \cdot (1 + r)^n, unde S0S_0 este suma inițială, rr este rata dobânzii (sub formă zecimală), nn este numărul de ani. Aici S0=5000S_0 = 5000, r=0.05r = 0.05.
22 puncte
Calculul sumei după 5 ani: S5=5000⋅(1+0.05)5=5000⋅1.055=5000⋅1.2762815625≈6381.41S_5 = 5000 \cdot (1 + 0.05)^5 = 5000 \cdot 1.05^5 = 5000 \cdot 1.2762815625 \approx 6381.41 lei.
32 puncte
După retragere: suma rămasă este 6381.41−2000=4381.416381.41 - 2000 = 4381.41 lei.
42 puncte
Calculul dobânzii pentru următorii 5 ani: Sfinal=4381.41⋅(1+0.05)5=4381.41⋅1.055≈4381.41⋅1.2762815625≈5590.82S_{final} = 4381.41 \cdot (1 + 0.05)^5 = 4381.41 \cdot 1.05^5 \approx 4381.41 \cdot 1.2762815625 \approx 5590.82 lei.
52 puncte
Suma finală după 10 ani este aproximativ 5590.825590.82 lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4ProcenteMatematică financiarăLogaritmi
Un investitor depune o sumă de 10.000 lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă cu o rată anuală de 5%. a) După câți ani suma inițială se va dubla? b) Ce sumă va avea investitorul după 10 ani?

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scrierea formulei dobânzii compuse: S=P(1+r)nS = P(1 + r)^n, unde SS este suma finală, P=10000P = 10000 lei este suma inițială, r=0.05r = 0.05 este rata dobânzii, iar nn este numărul de ani.
23 puncte
Pentru a) setarea ecuației de dublare: 2P=P(1.05)n2P = P(1.05)^n, de unde 2=(1.05)n2 = (1.05)^n.
32 puncte
Aplicarea logaritmilor: ln⁡2=nln⁡1.05\ln 2 = n \ln 1.05, deci n=ln⁡2ln⁡1.05≈14.21n = \frac{\ln 2}{\ln 1.05} \approx 14.21 ani; în practică, după 15 ani suma depășește dublul.
42 puncte
Pentru b) calculul sumei după 10 ani: S=10000(1.05)10≈16288.95S = 10000(1.05)^{10} \approx 16288.95 lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5ProcenteMatematică financiarăȘiruri de numere reale
Un investitor depune 10000 lei într-un fond cu o rată anuală de creștere de 8%, capitalizată anual. Determinați suma acumulată după 7 ani. Apoi, calculați timpul necesar (în ani) pentru ca suma să se dubleze, presupunând aceeași rată constantă.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Aplicarea formulei dobânzii compuse: S=P(1+r)tS = P(1 + r)^t, cu P=10000P = 10000, r=0.08r = 0.08, t=7t = 7. Calcul: S=10000(1.08)7≈10000×1.71382=17138.2S = 10000(1.08)^7 \approx 10000 \times 1.71382 = 17138.2 lei.
24 puncte
Pentru dublare, 20000=10000(1.08)t⇒2=(1.08)t20000 = 10000(1.08)^t \Rightarrow 2 = (1.08)^t. Aplicarea logaritmilor: ln⁡2=t⋅ln⁡1.08⇒t=ln⁡2ln⁡1.08≈0.69310.07696≈9.006\ln 2 = t \cdot \ln 1.08 \Rightarrow t = \frac{\ln 2}{\ln 1.08} \approx \frac{0.6931}{0.07696} \approx 9.006 ani.
32 puncte
Interpretarea: După 7 ani, suma este 17138.2 lei. Pentru dublare, este necesari aproximativ 9 ani (rotunjire la cel mai mic întreg mai mare sau egal, dar calculul exact indică puțin peste 9 ani, deci practic după 9 ani suma depășește dublul).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6ProcenteAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Un pescar trebuia să navigheze 35 km până la locul întâlnirii, iar celălalt pescar trebuia să parcurgă cu 31 3/7% mai puțin. Pentru a ajunge în același timp ca al doilea pescar, primul pescar a plecat cu o jumătate de oră mai devreme și a navigat cu o viteză cu 2 km/h mai mare decât viteza celui de-al doilea. Găsiți viteza fiecărui pescar și timpul în care a parcurs fiecare distanța.
Ușor#7ProcenteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un aliaj constă din două metale luate în raportul 1:2, iar un alt aliaj constă din aceleași metale luate în raportul 2:3. Câte părți din cele două aliaje trebuie luate pentru a obține un nou aliaj în care metalele sunt în raport 17:27?
Ușor#8ProcenteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Masa a două bucăți de alamă este 60 kg. Prima bucată conține 10 kg cupru pur, iar a doua bucată conține 8 kg cupru pur. Care este procentul de cupru în prima bucată de alamă dacă a doua bucată conține cu 15% mai mult cupru decât prima?
Mediu#9ProcenteDerivateMonotonie și convexitate
Un aliaj de cupru și cositor cu masa de 8 kg conține p% cupru. Ce cantitate dintr-un aliaj cu 40% cositor trebuie amestecată cu prima bucată pentru a obține un nou aliaj cu procentul minim de cupru, dacă masa celei de-a doua bucăți este de 2 kg?
Mediu#10ProcenteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați greutatea și procentajul de argint dintr-un aliaj argint-cupru, știind că alierea acestuia cu 3 kg argint pur dă un aliaj care conține 90%90\% argint, iar alierea lui cu 2 kg dintr-un aliaj care conține 90%90\% argint dă un aliaj care conține 84%84\% argint.

Și alte 109 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Procente cu AI

Accesează toate cele 407 probleme de Procente cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Alte capitole pentru clasa a 10-a

→Arii și volume
419 probleme
→Combinatorică
469 probleme
→Domeniul de definiție al funcțiilor
531 probleme
→Ecuații exponentiale
495 probleme
→Ecuații iraționale
340 probleme

Câștigă XP și badge-uri rezolvând probleme

Sistem de niveluri (1-20), clasament săptămânal și serie zilnică de învățare. Începe gratuit cu 50 de credite.