MediuProgresii AritmeticeClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie o progresie aritmetică pentru care suma pătratelor celui de-al cincilea și celui de-al unsprezecelea termen este a52+a112=3a_5^2+a_{11}^2=3, iar produsul celui de-al doilea cu cel de-al paisprezecelea termen este egal cu kk (a2a14=ka_2a_{14}=k). Găsiți produsul primului cu cel de-al cincisprezecelea termen a1a15a_1a_{15} al progresiei.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Notaţi a5=a1+4da_5=a_1+4d, a11=a1+10da_{11}=a_1+10d şi scrieţi (a1+4d)2+(a1+10d)2=3(a_1+4d)^2+(a_1+10d)^2=3, dezvoltaţi pentru a obţine 2a12+28a1d+116d2=32a_1^2+28a_1d+116d^2=3. Notaţi şi k=(a1+d)(a1+13d)=a12+14a1d+13d2k=(a_1+d)(a_1+13d)=a_1^2+14a_1d+13d^2;
26 puncte
Observaţi că 2k=2a12+28a1d+26d22k=2a_1^2+28a_1d+26d^2, scădeţi din prima relaţie pentru a obţine 3−2k=90d23-2k=90d^2, deci d2=3−2k90d^2=\dfrac{3-2k}{90}, apoi a1a15=a12+14a1d=k−13d2a_1a_{15}=a_1^2+14a_1d=k-13d^2, înlocuiţi d2d^2 şi obţineţi a1a15=116k−3990a_1a_{15}=\dfrac{116k-39}{90}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.