MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeClasa 11

Problemă rezolvată de Algebră și Calcule cu Numere Reale

MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-leaStudiul funcțiilor
Pentru ce valori reale ale lui aa imaginea funcției y=x+1a+x2y=\dfrac{x+1}{a+x^2} conține intervalul [0,1][0,1]?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Echivalență și cazuri. Pentru t∈[0,1]t\in[0,1] ecuația x+1a+x2=t\dfrac{x+1}{a+x^2}=t devine tx2−x+(ta−1)=0t x^2 - x + (t a -1)=0. Pentru t=0t=0 avem soluția x=−1x=-1, care dă valoarea 00 dacă și numai dacă a+(−1)2≠0a+(-1)^2\neq 0, adică a≠−1a\neq -1.
24 puncte
Discriminantul. Pentru t>0t>0 discriminantul este Δ(t)=1+4t−4at2\Delta(t)=1+4t-4a t^2. Pentru ca pentru fiecare t∈(0,1]t\in(0,1] să existe cel puțin o soluție reală cerem Δ(t)≥0\Delta(t)\ge 0 pentru orice t∈[0,1]t\in[0,1]. Determinăm condiția: minimul funcției Δ(t)\Delta(t) pe [0,1][0,1] este la un capăt şi conduce la restricția a≤54a\le\tfrac{5}{4}.
33 puncte
Condiția finală. Luăm în considerare și t=0t=0: trebuie a≠−1a\neq -1. Prin urmare imaginea conține [0,1][0,1] pentru toate a≤54a\le \tfrac{5}{4} cu excepția lui a=−1a=-1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Algebră și Calcule cu Numere Reale

Ușor#1Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x+2∣=2(3−x)|x + 2| = 2(3 - x).
Ușor#2Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Rezolvați ecuația ∣3x−2∣+x=11.|3x - 2| + x = 11.
Ușor#3Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x∣−∣x−2∣=2.|x| - |x - 2| = 2.
Ușor#4Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Determinați cea mai mică valoare întreagă a lui x pentru care ∣x−3∣+2∣x+1∣=4.|x - 3| + 2|x + 1| = 4.
Vezi toate problemele de Algebră și Calcule cu Numere Reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Algebră și Calcule cu Numere Reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.