Probleme de Algebră și Calcule cu Numere Reale — Clasa a 9-a

Exerciții pentru școalăAlgebra • 511 probleme cu rezolvări complete
Teorie Algebră și Calcule cu Numere Reale — Formule si exemple rezolvate

Algebra și calculele cu numere reale acoperă operațiile fundamentale, proprietățile numerelor reale și identitățile algebrice. Este baza matematicii de liceu, cu aplicații directe la BAC.

Verificat de profesori de matematică

Ușor

119

probleme

Mediu

92

probleme

Greu

1

probleme

Grile de Algebră și Calcule cu Numere Reale

299 întrebări cu variante de răspuns

→

Exemple de probleme

Ușor#1Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x+2∣=2(3−x)|x + 2| = 2(3 - x).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați că partea dreaptă 2(3 - x) trebuie să fie ≥ 0, deci x ≤ 3.
24 puncte
Cazul 1: x ≥ -2. Ecuația devine x + 2 = 6 - 2x, deci 3x = 4, x = 4/3. Soluția este admisibilă. Cazul 2: x < -2. Ecuația devine -(x+2) = 6 - 2x, deci x = 8, inadmisibilă.
33 puncte
Soluția este x = 4/3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Rezolvați ecuația ∣3x−2∣+x=11.|3x - 2| + x = 11.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Cazul 1: x ≥ 2/3. Ecuația devine 3x - 2 + x = 11, deci x = 13/4.
24 puncte
Cazul 2: x < 2/3. Ecuația devine -(3x - 2) + x = 11, deci x = -9/2.
33 puncte
Soluțiile sunt x = -9/2 și x = 13/4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x∣−∣x−2∣=2.|x| - |x - 2| = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Împărțiți domeniul în intervalele (-∞,0), (0,2) și [2,∞).
24 puncte
Pentru x < 0: ecuația devine imposibilă. Pentru 0 ≤ x < 2: ecuația devine 2x - 2 = 2, soluția x = 2 nu aparține intervalului. Pentru x ≥ 2: ecuația devine 2 = 2, adevărat pentru orice x ≥ 2.
33 puncte
Soluția este [2, ∞).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Determinați cea mai mică valoare întreagă a lui x pentru care ∣x−3∣+2∣x+1∣=4.|x - 3| + 2|x + 1| = 4.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Împărțiți pe intervalele (-∞,-1], (-1,3) și [3,∞).
24 puncte
Pentru x < -1: soluția este x = -1 (neadmisibil aici). Pentru -1 ≤ x < 3: ecuația dă x = -1 (admisibil). Pentru x ≥ 3: rezultă x = 5/3 (neadmisibil).
33 puncte
Singura soluție este x = -1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul IStudiul funcțiilor
Gasiti toti parametrii reali a pentru care ecuatia a3+a2∣a+x∣+∣a2x+1∣=1a^3 + a^2 |a + x| + |a^2 x + 1| = 1 are cel putin patru solutii intregi distincte.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Notam f(x)=a3+a2∣a+x∣+∣a2x+1∣−1f(x) = a^3 + a^2|a + x| + |a^2 x + 1| - 1. Punctele de schimbare a expresiilor cu modul sunt x=−ax = -a si x=−1a2x = -\frac{1}{a^2} (pentru a≠0a \neq 0). Intre aceste puncte functia este liniara. Pentru a avea cel putin patru solutii intregi, f(x)f(x) trebuie sa fie identic zero pe un interval.
23 puncte
Consideram cazul in care a+x≤0a + x \le 0 si a2x+1≥0a^2 x + 1 \ge 0, adica x≤−ax \le -a si x≥−1a2x \ge -\frac{1}{a^2}. Pe acest interval: ∣a+x∣=−(a+x),∣a2x+1∣=a2x+1.|a + x| = -(a + x), \qquad |a^2 x + 1| = a^2 x + 1. Ecuatia devine: a3−a2(a+x)+(a2x+1)=1,a^3 - a^2(a + x) + (a^2 x + 1) = 1, care se reduce la o identitate adevarata pentru orice xx din interval. Astfel, toate valorile intregi din intervalul [−1a2, −a]\left[-\frac{1}{a^2},\, -a\right] sunt solutii.
33 puncte
Numarul solutiilor intregi este numarul de intregi din acest interval. Acest numar este cel putin 4 atunci cand lungimea intervalului este cel putin 3. Conditia este: −a+1a2≥3.-a + \frac{1}{a^2} \ge 3. Rezolvand aceasta conditie (analiza pe semne si factorizare) obtinem intervalele: a≤−3sau−13≤a≤12.a \le -3 \quad \text{sau} \quad -\frac{1}{\sqrt{3}} \le a \le \frac{1}{2}. De asemenea, pentru a=0a = 0, ecuatia devine ∣1∣=1|1| = 1, adevarata pentru orice xx, deci admite infinit de multe solutii intregi; acest caz este inclus in intervalul final.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvati inegalitatea ∣5−2x∣<1.|5 - 2x| < 1.
Ușor#7Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvati inegalitatea ∣3x−52∣≥2.|3x - \tfrac{5}{2}| \ge 2.
Ușor#8Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvati inegalitatea ∣x−2∣≤∣x+4∣.|x - 2| \le |x + 4|.
Mediu#9Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Rezolvati inegalitatea ∣2x−4∣<x−1.|2x - 4| < x - 1.
Ușor#10Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Rezolvati inegalitatea 2∣x+1∣>x+4.2|x + 1| > x + 4.

Și alte 202 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Algebră și Calcule cu Numere Reale cu AI

Accesează toate cele 511 probleme de Algebră și Calcule cu Numere Reale cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Alte capitole pentru clasa a 9-a

→Aplicații ale trigonometriei în geometrie
411 probleme
→Funcția de gradul I
399 probleme
→Identități algebrice
396 probleme
→Inducție matematică
391 probleme
→Logică matematică
398 probleme

Câștigă XP și badge-uri rezolvând probleme

Sistem de niveluri (1-20), clasament săptămânal și serie zilnică de învățare. Începe gratuit cu 50 de credite.