MediuProgresii AritmeticeClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeProgresii Geometrice
Numerele 5x−y5x-y, 2x+y2x+y și x+2yx+2y formează o progresie aritmetică, iar numerele (y+1)2(y+1)^2, xy+1xy+1 și (x−1)2(x-1)^2 formează o progresie geometrică. Găsiți perechile (x,y)(x,y).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Condiţia de progresie aritmetică impune 2x+y=(5x−y)+(x+2y)22x+y=\dfrac{(5x-y)+(x+2y)}{2}. Din această egalitate rezultă y=2xy=2x.
24 puncte
Înlocuim y=2xy=2x în termenii progresiei geometrice: (y+1)2=(2x+1)2(y+1)^2=(2x+1)^2, xy+1=2x2+1xy+1=2x^2+1, (x−1)2(x-1)^2. Condiţia de progresie geometrică pentru trei termeni echivalează cu (2x2+1)2=(2x+1)2(x−1)2(2x^2+1)^2=(2x+1)^2(x-1)^2, adică 2x2+1=±(2x+1)(x−1)2x^2+1=\pm(2x+1)(x-1). Rezolvăm cele două cazuri: pentru semnul "+" obţinem x=−2x=-2; pentru semnul "-" obţinem x=0x=0 şi x=1/4x=1/4.
33 puncte
Calculăm perechile corespunzătoare: pentru x=−2x=-2 avem y=2x=−4y=2x=-4; pentru x=0x=0 avem y=0y=0; pentru x=1/4x=1/4 avem y=1/2y=1/2. Verificare: (−2,−4),(0,0),(1/4,1/2)(-2,-4),(0,0),(1/4,1/2) satisfac ambele condiţii.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.