MediuProgresii AritmeticeClasa 11

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeEcuații exponentialeDerivate
Determinați valorile parametrului aa: Pentru ce valori ale lui aa există valori ale lui xx astfel încât numerele 51+x+51−x5^{1+x}+5^{1-x}, a2\dfrac{a}{2}, 25x+25−x25^{x}+25^{-x} să formeze o progresie aritmetică?

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți condiția de progresie aritmetică: a2=51+x+51−x+25x+25−x2\dfrac{a}{2}=\dfrac{5^{1+x}+5^{1-x}+25^{x}+25^{-x}}{2}, deci a=51+x+51−x+25x+25−xa=5^{1+x}+5^{1-x}+25^{x}+25^{-x}.
23 puncte
Notați y=5x+5−xy=5^{x}+5^{-x} (observați y≥2y\ge 2 pentru x∈Rx\in\mathbb{R}). Atunci 51+x+51−x=5y5^{1+x}+5^{1-x}=5y și 25x+25−x=(5x)2+(5−x)2=y2−225^{x}+25^{-x}=(5^{x})^2+(5^{-x})^2=y^2-2.
33 puncte
Derivați expresia a=y2+5y−2a=y^2+5y-2 și studiați domeniul lui yy: pentru y≥2y\ge 2 funcția f(y)=y2+5y−2f(y)=y^2+5y-2 este crescătoare (derivata 2y+5>02y+5>0).
42 puncte
Determinați valoarea minimă f(2)=4+10−2=12f(2)=4+10-2=12 și conchideți că există xx cu proprietatea cerută exact pentru a≥12a\ge 12 (inclusiv a=12a=12 la x=0x=0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.