MediuProgresii AritmeticeClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați: Trei numere reale nenule formează o progresie aritmetică, iar pătratele acelor numere, luate în aceeași ordine, formează o progresie geometrică. Găsiți toate rațiile comune posibile ale progresiei geometrice.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Notăm termenii progresiei aritmetice a−d,a,a+da-d, a, a+d. Pătratele sunt (a−d)2,a2,(a+d)2(a-d)^2, a^2, (a+d)^2. Condiția de progresie geometrică conduce la ecuația a4=(a2−d2)2a^4 = (a^2 - d^2)^2. Se deduce a2=a2−d2a^2 = a^2 - d^2 sau a2=−a2+d2a^2 = -a^2 + d^2.
23 puncte
Din prima posibilitate rezultă d=0d=0, caz în care rația progresiei geometrice este r=1r=1. Din a doua se obține d2=2a2d^2 = 2a^2, adică d=±a2d = \pm a\sqrt{2}.
33 puncte
Calculăm rația r=a2(a−d)2r = \dfrac{a^2}{(a-d)^2}. Pentru d=a2d = a\sqrt{2} obținem r=3+22r = 3 + 2\sqrt{2}, iar pentru d=−a2d = -a\sqrt{2} obținem r=3−22r = 3 - 2\sqrt{2}. Concluzie: valorile posibile ale rației sunt r=1r=1, r=3+22r=3+2\sqrt{2} și r=3−22r=3-2\sqrt{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.