MediuArii și volumeClasa 11

Problemă rezolvată de Arii și volume

MediuArii și volumeAplicații ale trigonometriei în geometrieDerivate
Rezolvați: Baza unei piramide este un triunghi isoscel a cărui arie este S iar unghiul vârfului acut este α. Volumul piramidei este dat când unghiul dintre fiecare muchie laterală și înălțimea piramidei este β. Găsiți volumul în funcție de S, α, β și determinați pentru ce valoare a lui α volumul este minim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Determinați elementele triunghiului de bază. Pentru triunghiul isoscel cu unghiul vârfului α și arie SS avem lungimea muchiei laterale a bazei ll dată de l2=2Ssin⁡α\displaystyle l^2=\dfrac{2S}{\sin\alpha}. Raza circumscrisă a bazei (distanța de la centrul cercului circumscris la un vârf) este R=b2sin⁡α=l2cos⁡(α/2)R=\dfrac{b}{2\sin\alpha}=\dfrac{l}{2\cos(\alpha/2)}, unde bb este baza triunghiului.
23 puncte
Relacionați înălțimea piramidei cu RR și β și exprimați volumul. Pentru un vârf al piramidei situat deasupra centrului cercului circumscris, distanța de la proiecția vârfului la un vârf al bazei este RR. Din condiția unghiului dintre muchia laterală și înălțime β\beta rezultă R=htan⁡βR=h\tan\beta, deci h=Rtan⁡βh=\dfrac{R}{\tan\beta}. Volumul este V=13Sh=S3tan⁡β RV=\dfrac{1}{3}S h=\dfrac{S}{3\tan\beta}\,R. Înlocuind RR și ll obținem V(α)=S3tan⁡β⋅12cos⁡(α/2)2Ssin⁡α=S2S6tan⁡β⋅1cos⁡(α/2)sin⁡α.V(\alpha)=\dfrac{S}{3\tan\beta}\cdot\dfrac{1}{2\cos(\alpha/2)}\sqrt{\dfrac{2S}{\sin\alpha}}=\dfrac{S\sqrt{2S}}{6\tan\beta}\cdot\dfrac{1}{\cos(\alpha/2)\sqrt{\sin\alpha}}.
33 puncte
Determinați α pentru care V este minim. Observați că minimizarea lui V(α)V(\alpha) e echivalentă cu minimizarea funcției g(α)=1cos⁡(α/2)sin⁡αg(\alpha)=\dfrac{1}{\cos(\alpha/2)\sqrt{\sin\alpha}}. Folosind sin⁡α=2sin⁡(α/2)cos⁡(α/2)\sin\alpha=2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2) se ajunge la studiul funcției f(u)=sin⁡ucos⁡3uf(u)=\sin u\cos^3 u pentru u=α/2∈(0,π2)u=\alpha/2\in(0,\tfrac{\pi}{2}). Derivând, f′(u)=cos⁡2u (1−4sin⁡2u)f'(u)=\cos^2u\,(1-4\sin^2u), de unde condiția de extrem este sin⁡2u=1/4\sin^2u=1/4, adică u=π/6u=\pi/6. Rezultă α=2u=π/3\alpha=2u=\pi/3.
41 punct
Verificați că aceasta dă un minim (de exemplu prin schimbarea semnului lui f′f' sau a celei de-a doua derivate). Concluzie: Volumul în funcție de S,α,βS,\alpha,\beta este dat mai sus, iar volumul este minim pentru α=π/3\alpha=\pi/3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Arii și volume

Mediu#1Arii și volumeFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Trebuie construit un moviliu de cale ferată lung de 100 m, a cărui secțiune transversală este un trapez isoscel cu baza inferioară 5 m5\mathrm{\,m}, baza superioară cel puţin 2 m2\mathrm{\,m} şi panta laterală de 45∘45^\circ. Determinaţi înălţimea hh a moviliului astfel încât volumul excavărilor să fie cel puţin 400 m3400\mathrm{\,m^3} şi cel mult 500 m3500\mathrm{\,m^3}.
Mediu#2Arii și volumeAplicații ale derivatelor
Determinați volumul maxim VV al unui con având generatoarea de lungime aa.
Mediu#3Arii și volumeAplicații ale derivatelorTrigonometrie
Dintr-un cerc se taie un sector cu unghiul central α\alpha. Din partea rămasă a cercului se construiește un con. Pentru ce valoare a lui α\alpha volumul conului este maxim?
Greu#4Arii și volumeAplicații ale trigonometriei în geometrieAplicații ale derivatelor
Baza unei piramide este un triunghi isoscel cu unghiul de la bază α\alpha. Fiecare dintre unghiurile diedre de la bază este egal cu φ\varphi. Raza sferei înscrise în piramidă este RR. Determinați volumul piramidei. Pentru ce valoare a lui α\alpha volumul piramidei este minim?
Vezi toate problemele de Arii și volume →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Arii și volume cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.