MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeClasa 11

Problemă rezolvată de Algebră și Calcule cu Numere Reale

MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul IStudiul funcțiilor
Gasiti toti parametrii reali a pentru care ecuatia a3+a2∣a+x∣+∣a2x+1∣=1a^3 + a^2 |a + x| + |a^2 x + 1| = 1 are cel putin patru solutii intregi distincte.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Notam f(x)=a3+a2∣a+x∣+∣a2x+1∣−1f(x) = a^3 + a^2|a + x| + |a^2 x + 1| - 1. Punctele de schimbare a expresiilor cu modul sunt x=−ax = -a si x=−1a2x = -\frac{1}{a^2} (pentru a≠0a \neq 0). Intre aceste puncte functia este liniara. Pentru a avea cel putin patru solutii intregi, f(x)f(x) trebuie sa fie identic zero pe un interval.
23 puncte
Consideram cazul in care a+x≤0a + x \le 0 si a2x+1≥0a^2 x + 1 \ge 0, adica x≤−ax \le -a si x≥−1a2x \ge -\frac{1}{a^2}. Pe acest interval: ∣a+x∣=−(a+x),∣a2x+1∣=a2x+1.|a + x| = -(a + x), \qquad |a^2 x + 1| = a^2 x + 1. Ecuatia devine: a3−a2(a+x)+(a2x+1)=1,a^3 - a^2(a + x) + (a^2 x + 1) = 1, care se reduce la o identitate adevarata pentru orice xx din interval. Astfel, toate valorile intregi din intervalul [−1a2, −a]\left[-\frac{1}{a^2},\, -a\right] sunt solutii.
33 puncte
Numarul solutiilor intregi este numarul de intregi din acest interval. Acest numar este cel putin 4 atunci cand lungimea intervalului este cel putin 3. Conditia este: −a+1a2≥3.-a + \frac{1}{a^2} \ge 3. Rezolvand aceasta conditie (analiza pe semne si factorizare) obtinem intervalele: a≤−3sau−13≤a≤12.a \le -3 \quad \text{sau} \quad -\frac{1}{\sqrt{3}} \le a \le \frac{1}{2}. De asemenea, pentru a=0a = 0, ecuatia devine ∣1∣=1|1| = 1, adevarata pentru orice xx, deci admite infinit de multe solutii intregi; acest caz este inclus in intervalul final.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Algebră și Calcule cu Numere Reale

Ușor#1Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x+2∣=2(3−x)|x + 2| = 2(3 - x).
Ușor#2Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Rezolvați ecuația ∣3x−2∣+x=11.|3x - 2| + x = 11.
Ușor#3Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x∣−∣x−2∣=2.|x| - |x - 2| = 2.
Ușor#4Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Determinați cea mai mică valoare întreagă a lui x pentru care ∣x−3∣+2∣x+1∣=4.|x - 3| + 2|x + 1| = 4.
Vezi toate problemele de Algebră și Calcule cu Numere Reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Algebră și Calcule cu Numere Reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.