MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeClasa 10

Problemă rezolvată de Algebră și Calcule cu Numere Reale

MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeTrigonometrieEcuații iraționale
Rezolvați inegalitatea în (x,y)(x,y): 12cos⁡2x y2−y+12≤1\dfrac{1}{2\cos^2 x}\,\sqrt{y^2-y+\tfrac12}\le 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Observăm că cos⁡x≠0\cos x\neq0 (dacă cos⁡x=0\cos x=0 atunci coeficientul de la stânga nu este bine definit), iar pentru cos⁡x≠0\cos x\neq0 multiplicăm cu 2cos⁡2x>02\cos^2 x>0 şi obținem y2−y+12≤2cos⁡2x\sqrt{y^2-y+\tfrac12}\le 2\cos^2 x.
23 puncte
Pătrăm (ambele părți sunt nenegative) şi rezultă y2−y+12≤4cos⁡4xy^2-y+\tfrac12\le 4\cos^4 x, echivalent cu y2−y+(12−4cos⁡4x)≤0y^2-y+\left(\tfrac12-4\cos^4 x\right)\le0.
32 puncte
Calculăm discriminantul în yy: Δ=1−4(12−4cos⁡4x)=−1+16cos⁡4x\Delta=1-4\left(\tfrac12-4\cos^4 x\right)=-1+16\cos^4 x. Pentru a avea soluții reale este necesar Δ≥0\Delta\ge0, adică 16cos⁡4x≥1  ⟺  ∣cos⁡x∣≥1216\cos^4 x\ge1\iff |\cos x|\ge\tfrac{1}{\sqrt2}.
42 puncte
Pentru xx cu ∣cos⁡x∣≥12|\cos x|\ge\tfrac{1}{\sqrt2} (adică cos⁡2x≥12\cos^2 x\ge\tfrac12) soluțiile pentru yy sunt intervalele între rădăcinile ecuatiei quadratice: y∈[1−16cos⁡4x−12, 1+16cos⁡4x−12]y\in\left[\dfrac{1-\sqrt{16\cos^4 x-1}}{2},\,\dfrac{1+\sqrt{16\cos^4 x-1}}{2}\right]; dacă ∣cos⁡x∣<12|\cos x|<\tfrac{1}{\sqrt2} nu există soluții în yy.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Algebră și Calcule cu Numere Reale

Ușor#1Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x+2∣=2(3−x)|x + 2| = 2(3 - x).
Ușor#2Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Rezolvați ecuația ∣3x−2∣+x=11.|3x - 2| + x = 11.
Ușor#3Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x∣−∣x−2∣=2.|x| - |x - 2| = 2.
Ușor#4Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Determinați cea mai mică valoare întreagă a lui x pentru care ∣x−3∣+2∣x+1∣=4.|x - 3| + 2|x + 1| = 4.
Vezi toate problemele de Algebră și Calcule cu Numere Reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Algebră și Calcule cu Numere Reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.