MediuProgresii AritmeticeClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeEcuații logaritmice
Găsiți valoarea lui xx pentru care log⁡2(5⋅2x+1)\log_2(5\cdot 2^{x} + 1), log⁡4(21−x+1)\log_4(2^{1-x} + 1) și 11 formează o progresie aritmetică.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieţi condiţia de progresie aritmetică: log⁡4(21−x+1)=log⁡2(5⋅2x+1)+12\log_4(2^{1-x}+1)=\dfrac{\log_2(5\cdot 2^{x}+1)+1}{2}. Observaţi că log⁡4y=12log⁡2y\log_4 y=\tfrac{1}{2}\log_2 y.
24 puncte
Transformaţi ecuaţia în baza 22 şi simplificaţi: log⁡221−x+15⋅2x+1=1\log_2\dfrac{2^{1-x}+1}{5\cdot 2^{x}+1}=1. Punând t=2xt=2^{x} obţineţi ecuaţia cuadratică 10t2+t−2=010t^{2}+t-2=0 cu soluţia pozitivă t=25t=\tfrac{2}{5}.
33 puncte
Concluzionaţi 2x=252^{x}=\tfrac{2}{5} şi deci x=log⁡225x=\log_2\tfrac{2}{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.