MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \ge 1} definit prin x1=12x_1 = \frac{1}{2} și xn+1=xn(1−xn)x_{n+1} = x_n (1 - x_n) pentru n≥1n \ge 1. Studiați convergența șirului (xn)(x_n) și calculați limita sa, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Prin inducție matematică, arătăm că 0<xn<10 < x_n < 1 pentru toți nn. Pentru n=1n=1, x1=12∈(0,1)x_1 = \frac{1}{2} \in (0,1). Presupunem 0<xn<10 < x_n < 1, atunci xn+1=xn(1−xn)>0x_{n+1} = x_n(1-x_n) > 0 și din xn<1x_n < 1, avem xn+1<xn<1x_{n+1} < x_n < 1, deci 0<xn+1<10 < x_{n+1} < 1.
23 puncte
Studiem monotonitatea: xn+1−xn=xn(1−xn)−xn=−xn2<0x_{n+1} - x_n = x_n(1-x_n) - x_n = -x_n^2 < 0, deci șirul este strict descrescător.
34 puncte
Șirul (xn)(x_n) este descrescător și mărginit inferior de 00, deci este convergent. Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n. Trecând la limită în relația de recurență, obținem L=L(1−L)L = L(1-L), adică L2=0L^2 = 0, de unde L=0L = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.